. Các chỉ số trùng hợp tương hỗ quan sát được
αx(mod p).
để tìm γ. Đây là bài toán chưa có lời giải nào.Tuy nhiên, dường như nó chưa được gắn với đến bài toánđã nghiên cứukĩ nào nên vẫncó khả năng có cách nào đó để tính δ và γ đồng thời để (δ, γ) là một chữ kí. Hiện thờikhông ai tìm được cáchgiải song cũng aikhông khẳng định được rằngnó không thể giảiđược.
http://www.ebook.edu.vn 102
Nếu Oscar chọn δ và γ và sau đó tự giải tìm x,anh ta sẽ phải đối mặt với bài toán logarithm rời rạc, tức bài toán tính logα Vì thế Oscar không thể kí một bức điện ngẫu nhiên bằng biện pháp này. Tuy nhiên, có một cách để Oscar có thể kí lên bức điện ngẫu nhiên bằng việc chọn γ, δ và x đồng thời: giả thiết i và j là các số nguyên 0 ≤ i ≤ p-2, 0 ≤ j ≤ p-2 và UCLN(j,p-2) = 1. Khiđó thựchiện cáctínhtoánsau:
γ = αi βjmodp
δ = -γ j-1mod(p-1) x= -γ ij-1mod(p-1)
Trong đó j-1 được tính theomodulo (p-1) (ở đây đòihỏi j nguyên tốcùng nhauvớip-1).
Ta nói rằng (γ, δ ) là chữkí hợp lệcủa x. Điều này được chứng minhqua việckiểm traxácminh:
Tasẽminhhoạbằng mộtvídụ:
Giống như ví dụtrước chop = 467, α = 2, β =132. Giả sữOscar chọn i = 99,j =179;khi đój-1mod(p-1)=151.Anhtatínhtoánnhưsau:
δ=-117 ×151mod466=51. x= 99 ×41mod466= 331
Khi đó (117, 41) là chữ kí hợp lệ trên bức điện 331 như thế đã xác minh quaphép kiểmtrasau:
13211711741 ≡ 303(mod 467)
và 2331 ≡ 303(mod 467)
Vìthế chữkí làhợplệ.
Sau đây là kiểu giả mạo thứ hai trong đó Oscar bắt đầu bằng bức điện được Bob kítrước đây. Giảsử (γ, δ ) làchữkí hợp lệtrên x.Khiđó Oscarcó khả năngkílênnhiều bứcđiệnkhácnhau. Giảsửi, j, h làcácsốnguyên, 0 ≤
h,i, j ≤ p-2vàUCLN(h γ -j δ,p-1)=1.Tathựchiệntínhtoánsau: http://www.ebook.edu.vn 103