Trong phần này sẽ mô tả một hệ mật thay thế đa biểu khác được gọi là mật mã Hill. Mật mã này do Lester S.Hill đưa ra năm1929. Giả sửm là một số nguyên dương, đặt P = C = (Z26)m . Ý tưởng ởđây là lấy m tổ hợp tuyến tính của m ký tự trong một phần tử của bản rõ để tạo ra m ký tự ở một phần tử của bảnmã.
Vídụnếum= 2tacóthểviết mộtphầntửcủabảnrõ làx= (x1,x2)và một phần tửcủa bản mã lày = (y1,y2), ởđây, y1cũng như y2 đều là mộttổ hợp tuyến tínhcủax1và x2.Chẳnghạn, cóthểlấy
y2= 8x1+7x2
Tấtnhiêncóthể viếtgọnhơntheoký hiệumatrậnnhưsau
http://www.ebook.edu.vn 23
(y1y2)=(x1x2)
11 8
3 7
Nói chung, có thể lấy mộtma trận K kích thước m ×m làm khoá.Nếu một phầntửởhàngi vàcột jcủaK làki,jthìcó thểviết K= (ki,j),với x =(x1,x2,... ,xm)∈ Pvà K∈K,tatínhy=eK(x)=(y1,y2,... ,ym)nhưsau:
(y1,...,ym)(x1,... ,xm) k1,1 k1,2 ... k1,m k2,1 k2,2 ... k2,m ... ... ... .. km,1 km,2 ... km,m Nóimộtcáchkhácy =xK.
Chúng ta nói rằng bản mã nhận được từ bản rõ nhờ phép biến đổi tuyến tính. Ta sẽ xét xem phải thực hiện giải mã như thế nào, tức là làm thế nào để tínhxtừy. Bạnđọcđã làmquenvớiđạisốtuyến tínhsẽthấyrằng phảidùngma trậnnghịchđảoK-1để giảmã.Bảnmãđược giảimãbằngcôngthứcyK-1 .
Sau đây là một số định nghĩa về những khái niệm cần thiết lấy từ đại số tuyến tính. Nếu A = (xi,j) là một ma trận cấp l ×m và B = (b1,k) là một ma trận
m c1, k =
Σ a i,jbj,k j=1
Với 1 ≤ i ≤ l và 1 ≤ k ≤ l. Tứclà các phần tử ở hàng i và cột thứk của AB được tạo ra bằng cách lấy hàng thứ i của A và cột thứ k của B, sau đó nhân tương ứng các phần tử với nhau và cộng lại. Cần để ý rằng AB là một ma trận cấpl ×n.
http://www.ebook.edu.vn 24
Theo địnhnghĩa này, phép nhân matrận là kết hợp (tức (AB)C = A(BC)) nhưngkhônggiao hoán (khôngphải lúcnào AB= BA, thậmchí đốivới ma trận vuôngAvàB).
Ma trận đơn vị m ×m (ký hiệu là Im) là ma trận cấp m ×m có các số 1 nằmởđường chéochínhvàcácsố0ởvịtrícònlại. Matrậnđơn vịcấp2là:
1 0 0 1
Im được gọilà ma trận đơn vị vìAIm = Avới mọi matrận cấp l ×m và ImB =B với mọi ma trận cấp m ×n. Ma trận nghịch đảo của ma trận A cấp m ×m (nếutồn tại) là matrận A-1 sao choAA-1 = A-1A = Im.Không phải mọi matrận đềucónghịchđảo,nhưngnếutồn tạithìnóduynhất.
Với các định nghĩa trên, có thể dễ dàng xây dựng công thức giải mã đã nêu:Vìy=xK,tacóthểnhâncảhaivế củađẳngthứcvớiK-1 vànhậnđược:
yK-1=(xK)K-1 =x(KK-1)=xIm =x (Chúýsửdụngtínhchất kếthợp)
12 8 -1 8 18
3 7 = 23 11
Cóthểthấyrằng, matrậnmã hoáởtrêncó nghịchđảotrongZ26:Vì