. Các chỉ số trùng hợp tương hỗ quan sát được
và p-1 (trong trường hợp
- Pphải cókhoảngcáchluỹthừa2đủlớn.
*PhươngphápƠ le:
Phương pháp Ơle chỉcó tác dụng đốivới một lớpsố nguyên đặcbiệt cụ thể là chỉdùng phântích cho cácsố nguyên làtích của cácsố nguyên tốcùng dạng r2 + DS2. Thuật toán dựa trên cơ sở là đẳng thức của Legendre (còn gọi làđẳng thứcDiophantus)
ĐẳngthứcDiophantus:
http://www.ebook.edu.vn 87
(x2+Ly2)(a2+Lb2)=(x ±Lyb)2+ L(xbmya)2 Chứngminh:Biếnđổivếphảiđẳng thứctrên:
(xa ± Ly2) + L(xbmya)2 = x2a2 ± 2Labxy + L2y2b2 + Lx2b2 m2Labxy + Ly2a2=a2(x2+Ly2)+Lb2(Ly2+x2))= (a2+ Ly2)(x2+Ly2)
SauđóƠleđãchứng minhđượcrằng:
Định lý: Nếu n có hai biểu diễn khác nhau n = r2 + Ls2 = u2 + Lv2 với gcd() = 1thì n phântích được thànhtích của haithừasố n=p.qcùng dạng p= x2+Ly2vàq= a2+Lb2
Như vậy điều kiện nhận biết số nguyên n là tích của hai ước số đều có dạng r2 + Ls2 là n cũng có dạng đó và có hai biểu diễn khác nhau theo dạng trên.
Thứ nhất,ta thấy rằng từ n = r2 + Ls2 nên để tìm biểu diễn theo dạng đã nêu trêncủa nta cóthể tiếnhànhbằng cáchduyệt theos cớinhậnbiết n–Ls2 là số chính phương. Với phương pháp dò tìm trên thì giá trị s tối đa cần xét
n
b
Giả sử đãtìm được hai biểudiễn khác nhau của n là: n = r2 + Ls2= u2 + Lv2. Không mấttính tổng quát ta coi r,s, u,v khôngâm và r > u.Khi đó giải hệ phươngtrìnhsauđâytatìmđược x,y, a,b
x a
x a
đến là
vàđâycũnglàcậntínhtoán củathuậttoánƠle.
x b x b + − − + L y b = r v L y b = ± u y a = ± s y a = v
Dấutrừcủaphươngtrình (2)và93)đượclấykhivế tráitươngứngâm. Một điều khó khăn khi thực hiện thuật toán phân tích Ơle là vấn đề xác định tham số L. Nhìn chung việc thực hiện thuật toán Ơlư chỉ áp dụng cho những số n mà bản thân nó đã biết một biểu diễn. Tuy nhiên lại có thể bằng cáchdò tìmLchúngtacóthểthànhcôngtrongviệc phântích.
Như vậy thuật toán nay chỉ dùng cho một lớp số đặc biệt nên khó được dùngđể tạonênmộttiêuchuẩnthíchhợp chocácmodulohợp số.
http://www.ebook.edu.vn 88
*Phươngphápsàng Dyxonvà sàngbậchai
Trong phầnnày giơithiệuthuật toán phântích haisố nguyênđược coi là mạnh nhất theo nghĩa thời gian tính tốt nhất hiện nay. ý tưởng của một loạt khá lớncácthuậttoánphân tíchsốnhưphươngphápphântíchcácdạng chính phương Danien Shaks,phương phápđặc biệtcủa Ơle, phương phápkhai triển
liên phân số của Morrison và Brillhart, phương pháp sàng bậc hai của
Pomerance, Dixon… là cố tìm được x ≠ ± y mod n sao cho x2 ≡ y2 mod n, còn kỹthuật tìmcụthểnhưthếnàothìchínhlànộidungriêng củatừngthuậttoán
ThuậttoánDixonđược thựchiện nhưsau:
- Sử dụngmộttậpB chứacác sốnguyêntốbévàgọilàcơ sởphântích
- Chọn mộtvàisố nguyênxsaocho tấtcảcácthừasố nguyêntốcủa x2 mod nnằmtrongcơsởB,
- Lấy tíchcủamộtvàigiátrị xsaochomỗi nguyêntốtrongcơ sởđược sử dụng một số chẵn lần. Chính điều này dẫn đến một đồng dư thức dạng mong muốn x2 ≡ y2 modn mà ta hy vọng sẽ đưatớiviệc phân tích n và suyra gcd(x-y,n) làmộtước củan.
Vídụ:
546y= =
Giảsửchọn:n=15770708441, B={2, 3,5,7,11,13} Vàchọnbagiátrị xlà:8340934156,12044942944, 2773700011 Xétbađồngdưthức: 83409341562 ≡ 3x7(modn) 120449429442 ≡ 2x7x13(modn) 27737000112 ≡ 2x3x13(modn) Lấytíchcủaba đồngdưthứctrên:
(8340934156x12044942944x2773700011)2 ≡ (2x3x7x13)2modn Rútgọnbiểuthứcbêntrongdấungoặc trongmodulođótacó:
95034357852 ≡ 5462(mod n) Suyra x =9503435785 http://www.ebook.edu.vn 89 Tínhgcd(x-y,n)= gcd(9503435785–546,15770708441) =1157759 Tanhậnthấy115759 làmộtthừasố củan
Giảsử:
- B ={p1,…,pB}làmộtcơ sởphântích
- C lớnhơn Bmộtchút(chẳnghạn C=B+10)
- Có đồngdưthức: α1j α α
Với 1 ≤ j ≤ C, mỗij,xétvéctơ:
aj =( j =( α1jmod2, α2 jmod2,..., αBjmod2)∈(Z 2)B
Nếu có thể tìm được một tập con các aj sao cho tổng theo modulo 2 là vectơ (0, 0,…,0) thì tích của các xj tương ứng sẽ được sử dụng mỗi nhân tử trong Bmộtsốchẵnlần.
Vídụ:
Xétlạivídụ trênn=15770708441, B={2,3.5,11,13Ư Chobavectơ a1, a2,a3 :