7. Cấu trúc luận văn
2.4.1. Các nguyên tắc để xây dựng các biện pháp
Nguyên tắc 1: Những biện pháp được đề xuất nhằm quán triệt các
mục tiêu dạy học toán ở trường phổ thông
Xuất phát điểm của nguyên tắc là: Để đạt được mục đích dạy, học Toán trong nhà trường phổ thông chúng ta đưa ra nhiều cách thức và biện pháp thực hiện. Dù dưới cách thức nào đi chăng nữa thì cũng cần đáp ứng được những mục đích trong dạy học Toán ở nhà trường phổ thông là: Giúp học sinh lĩnh hội và phát triển một hệ thống kiến thức, kỹ năng thói quen cần thiết cho:
Cuộc sống hàng ngày với sự đòi hỏi đa dạng của cá nhân, gia đình và xã hội.
Tiếp tục học tập, tìm hiểu toán dưới bất kì hình thức nào của giáo dục thường xuyên.
Hình thành và phát triển các phẩm chất tư duy cần thiết của một người có học vấn trong xã hội, cùng với các phẩm chất thói quen khác như sự sáng tạo, tính chính xác…
Hiểu rõ nguồn gốc thực tiễn của toán học và vai trò của nó trong quá trình phát triển văn hóa, văn minh nhân loại cùng với những tiến bộ của khoa học kĩ thuật.
Nguyên tắc 2: Các biện pháp đề xuất trên cơ sở tôn trọng chương
trình SGK hiện hành
Xuất phát từ nguyên tắc là: Chương trình SGK môn Toán được xây dựng trên cơ sở kế thừa những kinh nghiệm tiên tiến ở trong và ngoài nước, theo một hệ thống quan điểm nhất quán về phương diện Toán học cũng như là phương diện Sư phạm, đã thực hiện thống nhất trong phạm vi toàn quốc trong nhiều năm và được điều chỉnh nhiều lần cho phù hợp với thực tiễn nước ta.
Trong dạy học phải đảm bảo sự tôn trọng, kế thừa và phát triển tối ưu chương trình SGK hiện hành.
Khai thác triệt để các tình huống còn ẩn tàng trong SGK để thực hiện mục đích của giờ dạy.
Nguyên tắc 3: Trong dạy học phát triển năng lực huy động kiến
thức cho học sinh phải dựa trên định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay
Giáo viên là người hướng dẫn, tổ chức cho học sinh tự mình khám phá kiến thức mới, dạy cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp học, trong đó cơ bản là phương pháp tự học.
Định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay là: “Học tập trong hoạt động và bằng hoạt động” bao hàm một loạt ý tưởng lớn đặc trưng cho
phương pháp dạy học hiện đại đó là:
Thứ nhất: Xác lập vị trí chủ thể của người học, đảm bảo tính tự giác
tích cực của người học là chủ thể chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kĩ năng, rèn luyện kĩ năng, hình thành thái độ chứ không phải là nhân vật bị động hoàn toàn làm theo lệnh thầy giáo. Hoạt động tự giác, tích cực của người học thể hiện ở chỗ học sinh học tập thong qua những hoạt động hướng đích và gợi động cơ để biến nhu cầu của xã hội chuyển hóa thành nhu cầu nội tại của chính bản thân mình.
Thứ hai: Dạy học dựa trên sự nghiên cứu tác động của những quan
niệm và kiến thức sẵn có của người học.
Thứ ba: Dạy việc học, dạy cách học thông qua toàn bộ quá trình dạy học.
Mục đích dạy học không phải chỉ ở những kết quả cụ thể của quá trình học tập, ở tri thức và kĩ năng bộ môn mà điều quan trọng hơn là ở bản thân việc học, ở cách học, ở khả năng đảm nhiệm, tổ chức và thực hiện những quá trình học tập một cách có hiệu quả.
Dạy tự học đương nhiên chỉ có thể thực hiện được trong một cách dạy học mà người học là chủ thể, tự họ hoạt động để đáp ứng nhu cầu của xã hội đã chuyển hóa thành nhu cầu của chính bản thân họ.
Thứ năm: Xác định vai trò mới của người thầy với tư cách là người
thiết ké, ủy thác, điều khiển và thể chế hóa.
Thiết kế và lập kế hoạch, chuẩn bị quá trình dạy học cả về mục đích, nội dung, phương pháp, phương tiện và hình thức tổ chức.
Ủy thác là biến ý đồ dạy của thầy thành nhiệm vụ học tập tự nguyện, tự giác của trò, chuyển giao cho trò không phải là những tri thức có sẵn mà là những tình huống để trò hoạt động và thích nghi.
Điều khiển, kể cả điều khiển về mặt tâm lý, bao gồm sự động viên, hướng dẫn trợ giúp và đánh giá.
Thể chế hóa là xác nhận những kiến thức mới phát hiện, đồng nhất hóa những kiến thức riêng lẻ mang màu sắc cá thể, phụ thuộc hoàn cảnh và thời gian của từng học sinh thành tri thức khoa học của toàn xã hội, thể chế cho tri thức được chiếm lĩnh, hướng dẫn khả năng vận dụng và cách ghi nhớ hoặc cho phép giải phóng khỏi trí nhớ.
Nguyên tắc 4: Trong dạy học phát triển năng lực huy động kiến thức
chú trọng đến các tình huống gợi vấn đề và chú trong vào vấn đề học sinh kiến tạo, khám phá; độc lập tìm tòi phát hiện vấn đề và độc lập giải quyết vấn đề
Thầy giáo tạo ra tình huống có vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác để giải quyết vấn đề và thông qua đó kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng và đạt được các mục đích dạy học.
2.4.2. Các biện pháp nhằm phát triển năng lực huy động kiến thức
cho học sinh nhằm kiến tạo kiến thức khi dạy hình học không gian
Biện pháp 1: Chú ý đặc biệt tới việc dạy các định lí, các quy tắc theo
a. Chú ý khai thác các ứng dụng
Trong dạy học thì việc truyền thụ cho học sinh kiến thức cơ bản là rất quan trọng, đó là những định nghĩa, định lí hay các quy tắc. Nhưng học sinh nắm vững khái niệm định lí hay quy tắc mà không biết vận dụng chúng thì cũng không có kết quả gì. Cần làm cho học sinh biết vận dụng kiến thức. Có nhiều kiến thức học sinh có thể vận dụng được ngay nhưng cũng có rất nhiều kiến thức học sinh không biết vận dụng.
Trong dạy học người giáo viên cần làm rõ những ứng dụng của các kiến thức đi kèm với nó là những ví dụ cụ thể sinh động để học sinh nhận ra các ứng dụng.
Xét định lí Talet trong không gian:
Các ứng dụng của định lí
- Chứng minh các bài toán về tỉ số - Chứng minh quan hệ song song
Bài toán: Một đường thẳng chuyển động luôn luôn song song với mặt
phẳng ( )α cố định và tựa trên hai đường thẳng chéo nhau a, b tại hai điểm
M, N . Tìm tập hợp các điểm I thuộc đoạn thẳng MN sao cho IM k
IN = (k là số dương cho trước).
Giải:
Không làm mất tính tổng quát giả sử a, b cắt ( )α tại hai điểm M , N và 1 1 I là1
điểm sao cho 1 1 1 1 I M k I N = . & a M0 b I0 I1 N0 N E I K M1 K1 N1 E1 M
Theo định lí đảo của định lí Talet thì I,I thuộc mặt phẳng song song1 với a, b đó là mặt phẳng (I ,E ,I ) với 0 1 1 I thuộc 0 M N sao cho: 0 0 0 0
0 0 I M
k I N = .
Trong mặt phẳng này ta sẽ chứng minh I ,I,I thẳng hàng. Như vậy, chúng ta0 1 chuyển về bài toán phẳng: trong đó I ,E,E thuộc đường thẳng song song với0 1 a, E1∈ α( ) và MK // M K // M N .1 1 0 0 Theo định lí Talét phẳng thì 0 0 0 1 0 1 1 1 I E N K KN I E = N K = K N (1) Mặt khác ta có EI ME KN =MK và 1 1 1 1 1 1 1 1 E I M E K N = M K . Từ đó: 1 1 1 1 EI KN E I =K N (2) Từ (1) và (2) suy ra: 0 1 1 0 1 EI I E
E I = I E nên I ,I,I thẳng hàng vậy I thuộc 0 1 I I0 1 Ngược lại chúng ta chứng minh được nếu I thuộc I I thì tồn tại đoạn0 1 MN sao cho MN // ( )α , M a, N b∈ ∈ và IM k
IN = .
Vậy tập hợp các điểm I là đoạn thẳng I I (trừ điểm 0 1 I ).1
Bài toán: Tìm quỹ tích trọng tâm tam giác ABC sao cho A, B, C lần
lượt thuộc ba đường thẳng đôi một chéo nhau a, b, c và mặt phẳng (ABC) song song với mặt phẳng (P) cho trước.
Giải:
Giả sử M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi đó quỹ tích của M sao cho
AB // (P) và MA 1
MB = là đường thẳng ∆
(theo bài toán)
Gọi G là trong tâm tam giác ABC. Khi đó ta có C, M (ABC)∈ suy ra
CM // (P) mặt khác GM 1
GC = 2, vậy quỹ tích G là đường thẳng ω với C c, M∈ ∈∆.
P c a b G M C B C' A' B' A
Phép chiếu song song:
Phép chiếu song song ứng dụng chủ yếu của nó để chứng minh các bất biến, cụ thể là các bất biến sau:
- Ba điểm thẳng hàng (không thuộc đường thẳng song song với phương chiếu)
- Đường thẳng, đoạn thẳng, tia, tam giác, tứ giác… - Tỉ số của hai đoạn cùng phương
- Hai đường thẳng song song (không thuộc mặt phẳng song song với phương chiếu)
- Hình bình hành
- Độ dài đoạn thẳng song song với mặt phẳng chiếu - Diện tích các hình đa giác
- Chuyển các bài toán không gian về các bài toán hình học phẳng.
* Phép chiếu vuông góc có bất biến: Góc vuông biến thành góc vuông khi và chỉ khi có một cạnh song song với mặt phẳng chiếu hoặc thuộc mặt phẳng chiếu và cạnh kia không vuông góc với mặt phẳng chiếu.
Bài toán: Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau a, b, c . Dựng đường
thẳng ∆ cắt a, b, c lần lượt tại A, B, C sao cho BA k
BC = (k > 0 cho trước) Giải: b a' a c c' A' B A C J I K C' a' c' c" O' O A' C' J
Lấy ba điểm bất kì I, J, K trên a, b, c sao cho I, J, K xác định một mặt phẳng (P). Thực hiện phép chiếu song song theo phương b lên mặt phẳng (P). Khi đó ảnh của đường thẳng a là đưòng thẳng a ' , ảnh của đường thẳng b là điểm J, ảnh của đường thẳng c là đường thẳng c'. Khi đó ta có bài toán phẳng: “Cho hai đường thẳng cắt nhau a ' và c', một điểm J nằm trong mặt phẳng ( J a ',J c'∉ ∉ ). Dựng đường thẳng d đi qua J cắt a ' tại A' và cắt c' tại
C' sao cho JA ' k JC' = ” Xét phép vị tự VJ−k: k J V− : Oa O' k J V− : c'a c"
Khi đó A' là giao của a ' và c",C' là giao của đường thẳng JA ' và đường thẳng c'. Đường thẳng d là đường thẳng A'C'.
Khi đó mặt phẳng tạo bởi đường thẳng d và đường thẳng b cắt a và c tại A và C, nối A và C cắt b tại B đó chính là đường thẳng ∆ phải tìm.
Bài toán: Tứ diện ABCD có diện tích các mặt bằng nhau. Chứng minh
rằng các cặp cạnh đối diện của tứ diện đó bằng nhau từng đôi một.
P N' N M A O D C C' K H B D'
Giả sử MN là đường vuông góc chung của AB, CD . Vẽ các đường cao CH, DK . Từ giả thiết suy ra CH DK= và CH, DK, MN cùng song song với mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng AB.
Thực hiện phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P): Các điểm A, K, M, H, B có ảnh là O, N có ảnh là N'; DK song song với (P) có ảnh là OD' và OD' DK= ; CH song song với (P) có ảnh là OC' và OC' CH= . Từ đó
OD' OC'= .
Ta có MN // (P) , DC không vuông góc với (P) nên ON 'D' 90· = 0. Từ tam giác cân OC'D'∆ suy ra N ' là trung điểm C'D'. Từ đó suy ra N là trung điểm CD. Lập luận tương tự cho phép chiếu vuông góc theo phương CD lên mặt phẳng (Q) vuông góc với CD ta có M là trung điểm cạnh AB, từ đó các đường vuông góc chung của các cặp cạnh khác cũng đi qua trung điểm của chúng. Thực hiện phép đối xứng trục MN (DMN) ta có: MN D :A a B, Da C suy ra AD BC= MN D :B a A, Da C suy ra BD AC= Tương tự ta có: AB CD= . Giải: Trước hết ta chứng minh mệnh đề: “Nếu tứ diện có diện tích các mặt bằng nhau thì đường vuông góc chung của các cặp cạnh đối diện đi qua trung điểm của mỗi cạnh đó”.
b. Thành lập nên hệ thống các bài toán gốc
Để nâng cao chất lượng học tập của học sinh, trước tiên phải trang bị cho các em có nền kiến thức cơ bản phổ thông vững chắc, có kỹ năng giải các dạng bài tập toán. Người giáo viên phải vận dụng mọi phương pháp dạy học nhằm đưa các em vào môi trường hoạt động tích cực, xem hoạt động là một quá trình tự khám phá liên tục đầy thú vị. Học tập là một nhu cầu tự giác, tích cực, chủ động. Luôn nhìn vấn đề dưới con mắt động trong xu thế phát triển, luôn xem xét vấn đề bằng nhiều góc độ. Để đạt được những điều trên xây dựng hệ thống các dạng toán cơ bản, hệ thống bài toán gốc nhằm cũng cố, khắc sâu kiến thức và định hướng giải các bài toán khác nhau là một con đường hiệu quả.
1) Để chứng minh A, B, C thẳng hàng ta dùng các quy trình sau:
* A, B, C thẳng hàng ⇔ AB, BC cùng song song với đường thẳng ∆
nào đó AB// BC // ∆ ∆ ⇔ A, B, C thẳng hàng.
* A, B, C thẳng hàng ⇔ A, B, C thuộc hai mặt phẳng phân biệt (P), (Q) A,B,C (P) A,B,C (Q) ∈ ∈ ⇔ A, B, C thẳng hàng.
* A, B, C thẳng hàng ⇔ AB kACuuur= uuur.
* A, B, C thẳng hàng ⇔ phương trình đường thẳng AB nghiệm đúng tọa độ của C.
2) Chứng minh tập hợp điểm thuộc một mặt phẳng:
* A, B, C, D thuộc một mặt phẳng ⇔ AB, AC, AD cùng song song với một mặt phẳng ( )α
AB//( ) AC //( ) AD //( ) α α α ⇔ A, B, C, D đồng phẳng.
* A, B, C, D thuộc một mặt phẳng ⇔ AB, AC, AD cùng vuông góc với cùng một đường thẳng ∆ AB AC AD ⊥ ∆ ⊥ ∆ ⊥ ∆ ⇔ A, B, C, D đồng phẳng. * A, B, C, D thuộc một mặt phẳng ⇔ AB và CD cắt nhau { } AB CD∩ = I ⇔ A, B, C, D đồng phẳng.
* A, B, C, D thuộc một mặt phẳng ⇔ các véctơ AB,AC,CDuuur uuur uuur đồng phẳng.
* A, B, C, D thuộc một mặt phẳng ⇔ phương trình mặt phẳng ( )α
chứa A, B, C nghiệm đúng tọa độ của D.
3) Chứng minh n đường thẳng đồng quy:
* n đường thẳng đồng quy ⇔ ba đường thẳng bất kì trong chúng đồng quy.
* n đường thẳng đồng quy ⇔ có một điểm mà tất cả các đường thẳng đều đi qua.
4) Để chứng minh hai đường thẳng a, b trong không gian song song chúng ta có thể chứng minh theo các cách:
* Chứng tỏ a, b thuộc mặt phẳng ( )α nào đó và sử dụng các phương
pháp đã biết trong mặt phẳng.
* Chứng minh a, b cùng song song với đường thẳng c nào đó a // c
b // c
* Chứng tỏ a, b là giao tuyến của mặt phẳng (R) với hai mặt phẳng song song (P), (Q) (P) //(Q) a (P) (R) b (Q) (R) = ∩ = ∩ ⇒ a // b .
* Xem b là giao tuyến của mặt phẳng chứa a với mặt phẳng (P) song song với a a (Q) a //(P) b (P) (Q) ⊂ = ∩ ⇒ a // b .
* Chứng minh a, b cùng vuông góc với mặt phẳng (P) nào đó a (P) b (P) ⊥ ⊥ ⇒ a // b .
* Chứng minh a, b là hai trong ba giao tuyến của ba mặt phẳng cắt nhau (P), (Q), (R) mà có hai giao tuyến không cắt nhau
(P) (Q) a (Q) (R) b a // b (R) (P) c a // c ∩ = ∩ = ⇒ ∩ = .
5) Để chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) ta có thể chứng minh theo các cách:
* Chứng minh a và (P) không có điểm chung.