II. NĂNG LỰC TƯ DUY TOÁN HỌC 2.1 Toán học về phương diện một khoa học
2.1.2. Bản chất của toán học
Phân tích đối tượng của toán học, ta nhận thấy toán học là một khoa học rất thực tiễn, vì toán học nghiên cứu các quan hệ thực tiễn, trong đó có quan hệ số lượng và hình dạng không gian của thế giới khách quan. Loài người đã có
những kiến thức toán học ngay từ giai đoạn lịch sử đầu tiên, do ảnh hưởng, nhu cầu của hoạt động sản xuất sơ khai.
Tuy nhiên đối tượng của toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa liên tục. Muốn nghiên cứu một đối tượng hay một hiện tượng nào đó bằng công cụ toán học thì phải gạt bỏ tất cả các đặc điểm về chất của đối tượng và hiện tượng mà chỉ giữ lại những gì đặc trưng cho quan hệ số lượng và hình dạng của chúng. Chẳng hạn, ta có “điểm” là cái gì mà không có kích thước, “đường” là cái không có bề dày, bề rộng, những x và y, a và b, những đại lượng không đổi và những đại lượng biến thiên. Trong quá trình phát triển, toán học khảo sát những đối tượng mà quan hệ số lượng và hình dạng không gian ngày càng trừu tượng. Trong các lý thuyết toán học hiện đại, các quan hệ về số và hình là rất trừu tượng, người ta nói đến các tập hợp những phần tử mà các tính chất của chúng và quy tắc thực hiện phép tính về chúng được cho bằng một hệ tiên đề.
Tính trừu tượng của đối tượng toán học chỉ “che đậy” nguồn gốc thực tế khách quan (thường phức tạp, nhiều nấc thang, gián tiếp) của mọi khái niệm toán học, chứ không xóa bỏ nguồn gốc đó. Lịch sử phát triển xã hội loài người chứng tỏ rằng nhu cầu hoạt động thực tiễn của con người là điều quyết định chủ yếu sự phát triển của toán học.
Phạm vi của quan hệ số lượng và hình dạng không gian mà toán học nghiên cứu không ngừng được mở rộng, trong mối liên hệ chặt chẽ với những nhu cầu của kỹ thuật và khoa học tự nhiên làm cho nội dung định nghĩa tổng quát về toán học ngày càng thêm phong phú. Tất nhiên, toán học không phải là sự bịa đặt trống rỗng của các nhà thông thái. Ngược lại thì thực tiễn, đặc biệt là kỹ thuật, lại là một phương tiện hỗ trợ không thể thay thế được trong việc nghiên cứu toán học và có tác dụng làm thay đổi nhiều bộ mặt của toán học (chẳng hạn tác dụng của máy tính điện tử đối với sự phát triển của toán học).
Bắt nguồn từ hiện thực, các quan hệ số lượng và hình học không gian được trí óc con người trừu tượng hóa và nghiên cứu trong những mối liên hệ nhiều hình, nhiều vẻ giữa chúng với nhau bằng con đường thuần túy logic. Khi lý tính sáng tạo ra toán học bằng con đường logic thì không phải đã xa rời hiện thực, mà chính lại càng gần hiện thực hơn và có tác dụng đối với hiện thực. Tính trừu tượng của toán học càng cao thì phạm vi ứng dụng của toán học càng mở rộng. Về nguyên tắc, không thể nêu ra giới hạn của sự mở rộng này.
Lịch sử loài người đã chứng tỏ, nhiều phát minh toán học đi trước khoa học và kỹ thuật khá lâu, có khi đến hàng thế kỷ. Chẳng hạn, lý thuyết hàm biến số phức ra đời từ cuối thế kỷ XVIII, nhưng đến cuối thế kỷ XIX mới được áp dụng vào thủy động học và khí động học và từ đó đi vào công nghiệp hàng không hiện đại. Hình học Phiơcli ra đời từ giữa thế kỷ XIX nhưng đến thế kỷ XX mới được áp dụng vào lí thuyết tương đối trong vật lý. Logic toán học ra đời từ cuối thế kỷ XIX nhưng đến giữa thế kỷ XX mới được sử dụng để chế tạo máy tính điện tử. Có thể nói, bộ máy toán học phục vụ cho cách mạng kỹ thuật lần thứ nhất đã được chuẩn bị trước đó một thế kỷ.
Bộ máy toán học chuẩn bị cho cuộc cách mạng kỹ thuật lần thứ hai đã có trước đó nửa thế kỷ, rõ ràng không có lý thuyết tập hợp, đại số hiện đại, logic toán,.. thì không thể có xibecnetric và máy tính điện tử.
Với sự phát triển của máy tính điện tử, loài người hiện nay đang sống trong nền văn minh tin học, và theo dự báo, sau đó sẽ là nền văn minh sáng tạo. Các nhà toán học đã có công đầu trong việc xây dựng “khoa học sáng tạo” (creativity), tiếp đó là các nhà tâm lý học, giáo dục học,..
Vì vậy, về vai trò của toán học đối với thực tiễn, cần có nhận thức đúng đắn, rộng rãi, không thể chỉ thấy tác dụng trước mắt mà còn nhìn cả tác dụng lâu dài. Theo quan điểm điều khiển học, toán học đã xâm nhập vào nhiều ngành khoa học tự nhiên và cả khoa học xã hội, ngày càng phát huy hiệu lực của phương pháp toán học trong các ngành đó và trong xã hội sáng tạo tương lai.