III. Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh phổ thông qua dạy học môn Toán
3.2.2.2. Bồi dưỡng năng lực khái quát hóa toán học
“Khái quát hóa là suy luận chuyển từ khảo sát một tập hợp đối tượng đến một tập hợp đối tượng lớn hơn, chứa tập hợp ban đầu làm tập con”.
Không có khái quát hóa thì không có khoa học, học sinh không được bồi dưỡng và rèn luyện khái quát hóa thì không biết cách học. Trừu tượng hóa, khái quát hóa được coi là năng lực tinh thần cơ bản nhất của tư duy con người. Trong việc nhận thức các mặt, hiện tượng giáo dục học toán học, các nhà khoa học giáo dục môn Toán, các sách về dạy học toán đã xuất bản đều đặc biệt coi trọng năng lực khái quát hóa toán học của học sinh. Năng lực khái quát hóa toán học là một năng lực đặc biệt. Nó chủ yếu để chỉ khả năng khái quát các tài liệu toán học, các mối quan hệ toán học, khái quát các vấn đề và các cách giải quyết vấn đề toán học.
Năng lực khái quát hóa toán học của người giáo viên Toán phải đạt mức độ cao, toàn diện, trên cơ sở phân tích và tổng hợp ở trình độ lý tính, có năng lực tách bản chất khỏi hiện tượng, cái chung khỏi cái riêng, và liên kết lại thành các vấn đề toán học, các vấn đề dạy học toán thành một hệ thống chỉnh thể, từ đó đi đến kết luận về những tư tưởng toán học, tư tưởng dạy học Toán ở phổ thông. Có
hai phương thức để diễn đạt khái quát hóa toán học, phương thức thứ nhất là dùng ngôn ngữ thông thường, phương thức khác là dùng ngôn ngữ của toán học để diễn đạt. Các mặt khái quát hóa toán học là:
(1) Khái quát các quan hệ toán học: Các quan hệ toán học có rất nhiều, bởi vì quan hệ cũng là đối tượng nghiên cứu của toán học. Có thể kể ra các quan hệ thường gặp như: Quan hệ thứ tự; quan hệ bằng nhau; quan hệ tương đương; quan hệ tương ứng; quan hệ vị trí; quan hệ hàm số; quan hệ có cùng cấu trúc,…
Ví dụ 13: Xét hai biểu thức n! và an, về hình thức khác nhau, ý nghĩa bản chất cũng khác nhau, nếu ta xét về quan hệ hàm số với đối số nguyên ta thấy:
Nếu đặt F(n) = n! thì F(0) = 0! = 1; F(n + 1) = (n + 1)! = (n + 1).n! = (n +1).F(n)
Nếu đặt G(n) = an thì G(0) = a0 = 1 ; G(n + 1) = an + 1 = a. an = a.G(n)
Hai hàm này có chung một kỹ thuật định nghĩa gọi là định nghĩa theo đệ quy.
Đối với nhiều khái niệm, định lý, quy tắc, các bài toán, nếu nắm vững các mối quan hệ, chú ý phân tích, so sánh và liên hệ thì người học có thể tự độc lập khái quát thành nhiều kiến thức mới, phương pháp mới, các quan hệ mới. Ví dụ 14: Từ việc tính: 02 = ?, (- 1)2 = ?, 2 9 4 = ?, 2 3 1 − = ?, ( 2)2= ? Học sinh rút ra mệnh đề: “Bình phương của một số thực là một số không âm”. Để khái quát thành mệnh đề tổng quát, học sinh cần tách đặc điểm số mũ chẵn khỏi đặc điểm số mũ bằng 2.
(2) Khái quát đặc điểm của các vấn đề toán học: Khái quát một cách khoa học đặc điểm của vấn đề làm cho ta nhận thức nhiều vấn đề bề ngoài có vẻ khác nhau, nhưng bản chất là giống nhau, tức là thống nhất được các vấn đề, ta đã nhận thức được tính đồng nhất của các vấn đề. Phương pháp này giúp người học giảm nhẹ gánh nặng về trí nhớ, nâng cao hiệu quả tư duy, hiểu rõ được vấn đề chính xác, dễ dàng hơn, giúp học sinh phát triển được năng lực phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề.
Bài toán 1: Với năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số trong đó số 1 có mặt hai lần, các số khác còn lại một lần.
Bài toán 2: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta muốn lập các số gồn 8 chữ số khác nhau. Có bao nhiêu số trong đó: Chữ số 1 có mặt hai lần, chữ số 2 có mặt hai lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng 1lần.
Bài toán 3: Có thể nhận được bao nhiêu xâu khác nhau bằng cách sắp xếp
lại các chữ cái của từ SUCCESS.
Bài toán 4: Có bao nhiêu cách chia những xấp bài 5 quân cho mỗi người trong 4 người chơi từ một cỗ bài chuẩn 52 quân?
Các bài toán trên có chung phương pháp giải, từ đó ta có các bài toán tổng quát:
“Sắp xếp k phần tử vào n vị trí (n ≥ k) sao cho mỗi vị trí có nhiều nhất 1 phần tử. Phần tử thứ nhất lặp lại n1 vị trí, phần tử thứ hai là n2 vị trí, …, phần tử thứ k là nk vị trí, với n1 + n2 +…..+ nk = n, thế thì, số cách sắp xếp đó là: ! !.... ! ! 2 1 n nk n n ”
“Số cách chia n đồ vật khác nhau vào trong k hộp khác nhau sao cho có ni đồ vật được đặt vào hộp thứ i (i=1, 2,…,k), với n1 +n2 +…+nk= n bằng:
! !.... ! ! 2 1 n nk n n .”
“Số các hoán vị n phần tử trong đó có ni phần tử thuộc loại i (i = 1,2,.., k), với n1 + n2 +…..+ nk = n bằng ! !.... ! ! 2 1 n nk n n ”.
Vậy, từ các vấn đề cụ thể, ta biết gạt bỏ những chi tiết không quan trọng để rút ra hệ thống vấn đề cốt lõi nhất, tìm ra phương pháp chung để giải quyết hệ thống các vấn đề.
(3) Khái quát hướng suy nghĩ và phương pháp giải quyết vấn đề: Sự khái quát đặc điểm nói trên là vô cùng quan trọng, nhưng sự khái quát hướng suy nghĩ và phương pháp giải quyết vấn đề còn quan trọng hơn. Bởi, đây là tri thức phương pháp
mà giáo viên được cần được trang bị để hướng dẫn học sinh. Từ hướng suy nghĩ và cách giải quyết vấn đề này mà ta có thể dùng để chỉ đạo giải quyết một loạt các vấn
đề cùng loại hay mở rộng hơn. Vì thế, khi dạy học một khái niệm, ngoài việc hiểu, nắm vững khái niệm, cần khái quát hướng suy nghĩ vận dụng khái niệm, khi nghiên cứu một định lý, nguyên lý, ngoài việc nắm vững cách chứng minh, thuộc nhớ định lý thì cần phải khái quát được cách vận dụng như thế nào. Đặc biệt, sau khi giải một bài toán cần chú ý khái quát hướng suy nghĩ và cách giải cho học sinh.
Ví dụ 16: Quá trình giải một bài toán hình học thông thường phải trải qua
các bước: tìm hiểu đề toán; tìm tòi lời giải của bài toán; trình bày lời giải của bài toán; nhìn lại bài toán. Giáo viên thông qua tự nghiên cứu giải các bài toán cụ thể có thể khái quát các hướng suy nghĩ chung việc giải bài toán hình học, từ đó hướng dẫn học sinh suy nghĩ khái quát. Có thể tóm tắt như sau:
Việc tìm hiểu đề toán, Để hiểu rõ đề toán, trước hết phải nắm vững các khái niệm được đưa vào trong bài toán. Cần phải nhớ lại để biết các khái niệm đó được định nghĩa như thế nào hoặc có thể định nghĩa bằng nhiều cách khác nhau như thế nào? Chẳng hạn: trong đề toán người ta cho G là trọng tâm tam giác ABC. Thế thì, ít nhất học sinh cũng phải nhớ được một số định nghĩa tương đương về trọng tâm tam giác (G là giao điểm của ba đường trung tuyến; giao điểm của hai đường trung tuyến bất kỳ; G thuộc một đường trung tuyến và chia đường trung tuyến theo tỷ số 2 : 1 tính từ đỉnh; G là điểm sao cho GA+GB+GC =0; với điểm O bất kỳ thì