VÀ ỨNG DỤNG
1.6.1. Lý thuyết chung của phƣơng pháp PTLT
Để nghiên cứu động lực học các kết cấu dầm, tấm, vỏ … ta có thể sử dụng các phƣơng pháp số khác nhau nhƣ: phƣơng pháp ma trận truyền, phƣơng pháp phần tử hữu hạn, phƣơng pháp phần tử biên v.v…
Phƣơng pháp phần tử hữu hạn là một phƣơng pháp tổng quát và hữu hiệu cho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau. Trên thế giới có nhiều phần mềm phƣơng pháp phần tử hữu hạn nổi tiếng nhƣ: NASTRAN, ANSYS, ABAQUS, SAP 2000, SAMCEF v.v… Tuy nhiên một khó khăn gặp phải là đánh giá sai số của phƣơng pháp phần tử hữu hạn. Đây là một vấn đề lớn, nhất là với các kết cấu phức tạp mà ta không biết đƣợc lời giải chính xác.
Trong vài chục năm gần đây, khi nghiên cứu phát triển phƣơng pháp ma trận độ cứng động cho kết cấu ngƣời ta phát hiện ra rằng, phƣơng pháp phần tử hữu hạn chỉ là một sự gần đúng của phƣơng pháp độ cứng động. Trong phƣơng pháp phần tử hữu hạn, trƣờng chuyển vị xấp xỉ trong phần tử là trƣờng chuyển vị tĩnh, tức là bỏ qua yếu tố động lực học của trƣờng chuyển vị. Nếu các trƣờng chuyển vị này là tĩnh, thì phƣơng pháp phần tử hữu hạn sẽ cho kết quả chính xác nhƣ kết quả giải tích. Rõ ràng, khi ấy không cần phải đánh giá sai số của phƣơng pháp PTHH nữa. Chính phƣơng pháp độ cứng động cho kết cấu đƣợc phảt triển trên cơ sở ý tƣởng này. Nhƣ vậy, có thể nói phƣơng pháp độ cứng động là phƣơng pháp PTHH, trong đó các hàm dạng đƣợc chọn là trƣờng chuyển vị động của phần tử. Tuy nhiên để có thể chọn các hàm dạng động một cách đơn giản và khả thi, thì ta phải xét bài toán động của phần tử này trong miền tần số. Các nghiên cứu bằng phƣơng pháp ma trận độ cứng động tại Việt Nam đƣợc thực hiện trƣớc tiên bởi Nguyễn Xuân Hùng [12], Nguyễn Tiến Khiêm và Trần Văn Liên [14],... Các bài toán đƣợc đề cập đến đầu tiên là các nghiên cứu cho dầm kim loại.
Để giải quyết bài toán dao động của dầm ngƣời ta sử dụng một kỹ thuật gọi là "Phƣơng pháp ma trận truyền" và đây có thể đƣợc coi là một phiên bản đầu tiên của phƣơng pháp độ cứng động.
Ý tƣởng đặt ra là xây dựng một ma trận truyền để liên kết các lực và chuyển vị (chuyển vị, góc xoay, mô-men và lực) ở hai đầu của một dầm. Ma trận truyền này thu đƣợc
11 bằng cách nhân ma trận đơn giản cho phép giải quyết các bài toán về dầm kể cả trong trƣờng hợp các tiết diện hoặc tính chất của vật liệu thay đổi.
Phƣơng pháp giải này tồn tại dƣới nhiều tên gọi khác nhau: "Phƣơng pháp độ cứng động” Cloug [47-(1975)], "Phƣơng pháp độ cứng động lực" Hallauer [59-(1985)], "Phƣơng pháp phần tử hữu hạn giải tích" Kulla [75-(1985)], “phƣơng pháp phần tử liên tục” Kulla [76- (2003)]. Mục tiêu chung của các phƣơng pháp này là khắc phục những hạn chế của các phƣơng pháp tính toán truyền thống trong nghiên cứu tìm lời giải số “chính xác” cho bài toán dao động của dầm.
Các nghiệm "chính xác" cho bài toán dao động của dầm đã đƣợc biết đến từ lâu. Đó là lý do tại sao trong trƣờng hợp này, trong các mối liên hệ ma trận không xuất hiện các chuỗi. Do đó, áp dung phƣơng pháp Phần tử liên tục cho dầm sẽ đƣợc lời giải hoàn toàn chính xác.
Những biểu thức giải tích đầu tiên cho độ cứng ở hai đầu của một dầm thẳng đƣợc biểu diễn dƣới dạng hàm siêu việt của tần số đã đƣợc giới thiệu bởi V. Koloušek từ đầu những năm 40. Nhờ các biểu thức này, chúng ta có thể tính đƣợc các lực và mô men ở một đầu dầm khi đầu kia chịu một chuyển vị bằng một đơn vị. Các hàm này đã đƣợc thiết lập và lập thành bảng cho các mô hình dầm Euler-Bernoulli và Timoshenko [72-(1973)].
Phƣơng pháp chung xây dựng ma trận độ cứng động đối với dầm đã đƣợc giới thiệu bởi Cloug và Penzien [47-(1975)]. Trong bài toán dao động uốn của dầm, chuyển vị uốn đƣợc tính theo William và Kennedy [116-(1987)], các tác giả đã xác định đƣợc ma trận độ cứng động của một dầm chịu uốn đặt trên nền đàn hồi. Banerjee [35-(1989)] có tính đến các tƣơng tác uốn-xoắn trong xây dựng ma trận độ cứng động cho dầm Euler - Bernoulli. Banerjee [34-(1996)] đã đƣa thêm các hiệu ứng cong vênh của các tiết diện vào mô hình phần tử liên tục, dẫn đến một phƣơng trình vi phân bậc 8, trong đó chỉ chứa các đạo hàm bậc chẵn. Tuy nhiên, các mô hình phức tạp hơn sẽ dẫn đến phƣơng trình không thể giải đƣợc bằng giải tích mà phải nhờ đến các phƣơng pháp số trong thiết lập lập ma trận độ cứng động và giải các phƣơng trình liên quan.
Khi Capron và Williams [39-(1988)] dùng phƣơng pháp số để nghịch đảo và nhân ma trận để xây dựng ma trận độ cứng động lực cho một dầm đặt trên nền đàn hồi. Montalvao [94- (1988)] cũng sử dụng kỹ thuật trên để phát triển phần tử liên tục cho bài toán dao động của dầm trong mặt phẳng không chứa nó.
Friberg [52-(1983)] sử dụng phƣơng pháp số để giải phƣơng trình vi phân nhằm tạo ra một phần tử liên tục của dầm có tính đến ứng xử uốn Bernoulli và mô hình xoắn Saint- Venant. Các phƣơng pháp số đƣợc sử dụng ở đây để tìm nghiệm của các đa thức đặc trƣng của phƣơng trình vi phân.
Một trong các nghiên cứu toàn diện nhất về các loại dầm cùng với kỹ thuật lắp ghép Phần tử liên tục của dầm đƣợc thực hiện bởi Casimir [41-(1996)]. Đây là một thƣ viện khá đầy đủ của các phần tử liên tục số cho dầm. Đó cũng chính là hạt nhân của phần mềm ETAPE đƣợc phát triển bởi DCN Cherbourg của Hải quân Pháp.
12 Khi áp dụng PTLT cho vỏ dày, Gorman [57-(1982)] đã đề xuất một lý thuyết cho phép mô tả đƣợc các hàm chuyển vị tƣơng ứng với tổ hợp của tất cả các điều kiện biên. Nội dung của phƣơng pháp này là phân các tấm hình chữ nhật với điều kiện biên phức tạp thành các tấm cơ bản với các điều kiện biên đơn giản hơn nhằm thu đƣợc lời giải dƣới dạng chuỗi. Gorman đã thu đƣợc biểu thức giải tích của các véc tơ riêng và các dạng dao động. Tiếp theo, Gorman [56-(1996)] đã áp dụng phƣơng pháp phân tích tấm vào phƣơng trình tấm dày của Mindlin và kết nối phƣơng pháp này với phƣơng pháp Galerkin.
Dựa vào phƣơng pháp của Gorman, tác giả Hagedorn, Kelkel và Wallaschek [58- (1996)] đã nghiên cứu dao động của tấm chữ nhật bốn cạnh tự do, có xét đến tính đối xứng của các dạng dao động. Tấm đƣợc xét đến trong bài toán này là tấm kim loại.
Một nghiên cứu chi tiết nhất về phần tử liên tục cho tấm mỏng là công trình của Kulla [76-(2003)]. Trong các bài báo về vấn đề này, Kulla biểu diễn các nghiệm của phƣơng trình tấm uốn dƣới dạng chuỗi Levy và là hàm chứa các hệ số.
Nguyen Manh Cuong [48-(2003)] đã thành công trong việc xây dựng Phần tử liên tục cho tấm dày bằng kim loại. Gần đây, nhóm nghiên cứu của Boscolo [38-(2012)] đã áp dụng phƣơng pháp này để giải hệ phƣơng trình của tấm composite lớp đối xứng, trực hƣớng và xây dựng đƣợc thuật toán tính ma trận độ cứng động lực cho kết cấu. Sau đó, thuật toán ghép nối của PTHH đƣợc áp dụng để tính toán dao động của tấm kim loại và composite đối xứng trực hƣớng có độ dày thay đổi hoặc có gân gia cƣờng dạng đơn giản.
Một mô hình tham chiếu để xây dựng các "Phần tử liên tục" cho vỏ tròn xoay đƣợc dựa trên các nghiên cứu của Kalnins [65-(1964)]. Kalnins đã thiết lập các phƣơng trình chung cho vỏ mỏng và vỏ dày tròn xoay.
Nguyen Manh Cuong và Casimir [40-(2007)] đã thành công trong việc xây dựng mô hình các phần tử liên tục cho vỏ dày tròn xoay bao gồm vỏ trụ và vỏ nón bằng kim loại. Mới đây, Casimir [40-(2007)] cũng đã thiết lập đƣợc ma trận độ cứng động lực cho các kết cấu vành tròn kim loại.
1.6.2. Các bƣớc giải bài toán bằng phƣơng pháp Phần tử liên tục
Nhƣ vậy "Phƣơng pháp Phần tử liên tục" có thể hiểu là một phƣơng pháp xác định ma trận quan hệ biểu diễn ứng xử động lực học của kết cấu, trong đó thuật ngữ "phần tử" liên tƣởng đến các kết cấu đơn giản có thể đƣợc lắp ghép lại để biểu diễn một kết cấu có dạng hình học phức tạp hơn. Thuật ngữ "liên tục" phản ánh đúng thực tế rằng kết cấu là một miền liên tục với vô số bậc tự do.
Ở đây, ứng xử động lực học của kết cấu đƣợc biểu diễn bởi các mối quan hệ ma trận giữa các lực và chuyển vị. Sử dụng các phép nhân đơn giản và nghịch đảo ma trận, ta sẽ thu đƣợc một ma trận đƣợc gọi là "ma trận độ cứng động lực" (DSM). Từ đó ngƣời ta có thể dễ dàng xác định đáp ứng động của kết cấu.
13 Trên cơ sở thuật toán phần tử liên tục, Casimir, Nguyễn Mạnh Cƣờng,… đã xây dựng đƣợc các Phần tử liên tục cho các bài toán dầm, tấm dày bằng kim loại vỏ dày tròn xoay bao gồm vỏ trụ và vỏ nón bằng kim loại.
Với kết cấu vỏ trụ, vỏ nón cụt có thể tóm tắt các bƣớc tính toán tần số dao động riêng theo các bƣớc sau :
Bước 1: Lựa chọn véc tơ trạng thái y(s,,z,,t) bao gồm 8 hoặc 10 thành phần tùy thuộc lý thuyết sử dụng. Ở đây s là biến độc lập thƣờng đƣợc chọn là chuyển vị dọc theo đƣờng sinh của vỏ trụ hoặc vỏ nón, và z là hai tọa độ còn lại của hệ trục tọa độ, t là biến thời gian và là tần số dao động.
Bước 2: Dựa vào các phƣơng trình liên hệ giữa lực-chuyển vị và phƣơng trình chuyển động của vỏ, tính các đạo hàm của véc tơ trạng thái đối với biến độc lập s:
( , , , , )s z t s y (1.1)
Bước 3: Chọn dạng nghiệm dùng phƣơng pháp phân ly biến số và chuỗi Lévy, chuyển đạo hàm riêng của véc tơ trạng thái theo biến s thành đạo hàm toàn phần và biểu diễn dƣới dạng phƣơng trình vi phân bậc nhất nhƣ sau:
( , ) ( , ) ( , ) m m m s s s d ds A y y (1.2) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bước 4: Để giải phƣơng trình này cần có ma trận truyền Tm() liên hệ véc tơ trạng thái của hai đầu vỏ (s=0) và (s=L) với L là chiều dài vỏ và cần thỏa mãn điều kiện biên: Tm(0,
) = [I]. Ma trận truyền đƣợc tính theo công thức:
0 ( , ) L m m s ds e A T (1.3)
Bước 5: Ma trận truyền đƣợc chia thành 4 khối nhƣ sau:
11 12 21 22 m m T T T T T Bước 6: Xây dựng ma trận độ cứng động: 1 1 12 11 12 1 1 21 22 12 11 22 12 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m m T T T K T T T T T T (1.4)
Thiết lập phƣơng trình chuyển động của kết cấu:
Fm = K() Um (1.5)
Trong đó: K() là ma trận độ cứng động của kết cấu phụ thuộc tần số .
Fm: véc tơ lực tổng quát.
Um: véc tơ các biến trạng thái.
14
1.7. TỔNG QUAN VỀ CÁC NGHIÊN CỨU TẠI VIỆT NAM
Ở Việt Nam trong những năm gần đây, cùng với sự phát triển nhanh chóng về ứng dụng của vật liệu composite trong kỹ thuật và đời sống, các nghiên cứu về vật liệu Composite và kết cấu bằng vật liệu Composite đã thu hút đƣợc sự quan tâm đặc biệt của các nhà khoa học trong nƣớc. Nhiều nhóm nghiên cứu chuyên sâu về lĩnh vực này bắt đầu đƣợc hình thành tại các trung tâm khoa học của nƣớc nhà: các viện nghiên cứu, trƣờng đại học, trung tâm ứng dụng,…
Tại Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà nội, Giáo sƣ Đào Huy Bích cùng các cộng sự [1, 2] đã có nhiều nghiên cứu đƣợc công bố. Các kết quả ban đầu của Phạm Thị Toan [24] về đặc trƣng hiệu quả của vật liệu Composite lớp ứng dụng trong tính toán kết cấu, của Vũ Khắc Bảy [1] về tấm Composite lớp lƣợn sóng, của Vũ Đỗ Long [2, 15], Khúc Văn Phú [21, 22], về ổn định và dao động của tấm, vỏ Composite lớp phần lớn đều bằng phƣơng pháp giải tích. Gần đây nhóm nghiên cứu của Đào Văn Dũng [6] cũng bắt đầu công bố những kết quả về phân tích phi tuyến kết cấu tấm, vỏ bằng vật liệu FGM cũng bằng phƣơng pháp giải tích.
Nhóm nghiên cứu ở Đại học Bách khoa Hà nội đứng đầu là Giáo sƣ Trần Ích Thịnh đã công bố một số kết quả về ứng xử tĩnh và động của kết cấu tấm, vỏ composite lớp, chủ yếu bằng phƣơng pháp phần tử hữu hạn [13, 27, 28,…]. Phó giáo sƣ Ngô Nhƣ Khoa [13, 27] về mô hình hóa và tính toán số tấm Composite lớp, Phó giáo sƣ Trần Minh Tú [28] về độ bền và ổn định của tấm, vỏ composite lớp kể đến ảnh hƣởng của nhiệt độ, độ ẩm. Mô hình PTHH cũng đã đƣợc Tiến sĩ Trần Hữu Quốc [23, 26] xây dựng để tính toán tấm composite có gân gia cƣờng, Tiến sĩ Lê Kim Ngọc [20] phân tích tĩnh và động tấm composite bằng vật liệu áp điện, Bùi Văn Bình [3] tính toán tấm composite lƣợn sóng và gấp nếp.
Nhóm nghiên cứu tại Học viện kỹ thuật Quân sự cũng đã công bố nhiều kết quả tính toán cơ học liên quan đến vật liệu và kết cấu composite, trong đó có thể kể đến Giáo sƣ Hoàng Xuân Lƣợng [4], [5], [10], [16]..., Phó giáo sƣ Nguyễn Thái Chung [4], [5], [10], [16], [17], [18] và các cộng sự nghiên cứu về lực khí động tác dụng lên kết cấu, tấm, vỏ Composite, về dao động và uốn của tấm Composite áp điện. Phạm tiến Đạt [9, 10] dùng mô hình Phần tử hữu hạn để tính toán số tấm composite lớp và tấm composite có gân gia cƣờng.
Giáo sƣ Nguyễn Đình Đức [11], Đại học Quốc gia Hà nội cùng nhóm nghiên cứu đã có những kết quả đáng khích lệ về vật liệu và kết cấu Composite lớp ba pha và vật liệu Composite FGM. Đinh Khắc Minh [19] tính toán uốn tấm Composite ba pha trong kết cấu tàu thủy, Hoàng Văn Tùng [29] nghiên cứu giải tích về ổn định của vỏ composite FGM.
Nguyễn Văn Đạt [7] nghiên cứu bài toán chống rung trong thiết kế hệ thống bệ máy đáy tàu thủy bằng vật liệu composite mang tính ứng dụng cao.
Có thể nói rằng trong vài chục năm gần đây, các nghiên cứu về vật liệu và kết cấu composite ở Việt Nam đƣợc rất nhiều các nhóm nghiên cứu, các nhà khoa học quan tâm với nhiều đối tƣợng, mô hình và phƣơng pháp nghiên cứu khác nhau. Tuy nhiên, các nghiên cứu về kết cấu composite tƣơng tác với chất lỏng vẫn chƣa đƣợc các tác giả trong nƣớc đề cập đến.
15
1.8. KẾT LUẬN CHƢƠNG 1
Từ những nghiên cứu tổng quan trình bày ở trên ta thấy:
Dao động tự do của kết cấu tấm, vỏ trụ tròn và vỏ nón cụt kim loại ngâm trong chất lỏng đã đƣợc nghiên cứu từ lâu bằng nhiều lý thuyết và phƣơng pháp khác nhau nhƣ: giải tích, phƣơng pháp phần tử hữu hạn, phần tử biên, phần tử liên tục, thực nghiệm v.v…
Dao động tự do của một số kết cấu tấm Composite tiếp xúc với chất lỏng cũng bắt đầu đƣợc nghiên cứu từ hơn chục năm nay. Các nghiên cứu này dựa trên lý thuyết tấm cổ điển, lý thuyết tấm Mindlin, bằng phƣơng pháp giải tích hoặc phần tử hữu hạn.
Dao động tự do của vỏ trụ tròn Composite tƣơng tác với chất lỏng mới đƣợc nghiên cứu bằng phƣơng pháp giải tích và phƣơng pháp PTHH bởi một số ít tác giả.
Từ những nghiên cứu tổng quan đã trình bày ở trên, nội dung nghiên cứu của luận án đƣợc đặt ra là: Xây dựng thuật toán và chƣơng trình máy tính để tìm lời giải số cho một số bài toán bằng phƣơng pháp phần tử liên tục:
+ Bài toán dao động riêng của tấm Composite lớp chữ nhật chịu các điều kiện biên khác nhau ngâm trong chất lỏng.
+ Bài toán dao động riêng của tấm Composite lớp chữ nhật chịu các điều kiện biên khác nhau đặt trên nền đàn hồi.
+ Bài toán dao động riêng của vỏ trụ tròn Composite lớp chứa chất lỏng. + Bài toán dao động riêng của vỏ nón cụt Composite lớp chứa chất lỏng.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});