2 Sì l÷ñc v· lþ thuy¸t ph¤m trò
4.4 Bâ c§u tróc
4.4 Bâ c§u tróc
Ta bà m§t mët sè thæng tin khi chuyºn tø v nh A sang khæng gian tæpæ
Spec(A), ch¯ng h¤n nh÷ c¡c thæng tin v· luÿ linh. º b£o to n måi thæng tin v· A, ng÷íi ta trang bà th¶m cho Spec(A) mët bâ c§u tróc.
Ta câ thº hiºu næm na bâ c§u tróc tr¶n Spec(A) nh÷ sau. Ta cho ùng vîi måi tªp mðU cõa Spec(A), v nhO(U)t§t c£ c¡c h m ¤i sè tr¶nU, t§t nhi¶n ta c¦n l m ch½nh x¡c hìn th¸ n o l h m ¤i sè sau. N¸u U0 l mët tªp mð con cõa U, th¼ ta câ thº h¤n ch¸ mët h m tr¶n U v o mët h m tr¶n
U0. Nh÷ vªy ta câ mët h m tû tø ph¤m trò c¡c tªp mð cõa Spec(A) v o ph¤m trò c¡c v nh. H m tû n y thäa m¢n mët t½ch ch§t °c bi»t l n¸u hå c¡c tªp mð {Ui}i ∈ I phõ mët tªp mð U th¼ mët h m f tr¶n U ho n to n bà x¡c ành bði c¡c h¤n ch¸fi cõa nâ v o c¡c tªp mð Ui, va hìn núa mët hå
c¡c h m fi tr¶n Ui câ thº d¡n l¤i ÷ñc th nh mët h m f tr¶n U khi v ch¿ khi fi|Ui∩Uj = fj|Ui∩Uj. C¡c h m tû nh÷ vªy gåi l c¡c bâ. Tr÷îc khi t¼m hiºu bâ c§u tróc, ta dduwa ra ành ngh¾a têng qu¡t th¸ n o l mët bâ.
Cho X l mët khæng gian tæpæ. Ti·n bâ tr¶n X l mët quy tc g¡n cho méi tªp mð U cõa X mët tªp hñpF(U)n o â v g¡n cho méi c°p hai tªp mð U ⊂V mët ¡nh x¤ F(V)→ F(U) n o â sao cho
- èi vîi c°pU =V, ¡nh x¤ t÷ìng ùngF(V)→ F(U) l ¡nh x¤ ìn và, - n¸u U ⊂ V ⊂ W, hñp th nh cõa F(W) → F(V) v F(V) → F(U) l ¡nh x¤ F(W)→ F(U) t÷ìng ùng vîi c°p U ⊂W.
Ta câ thº di¹n ¤t kh¡i ni»m ti·n bâ mët c¡ch sóc t½ch hìn nh÷ sau. X²t ph¤m trò U vîi vªt l c¡c tª÷p mð U cõa X v vîi Hom(U, V) l tªp réng n¸u U 6⊂V, l tªp hñp vîi óng mët ph¦n tû n¸u U ⊂V. Khi â mët ti·n bâ l mët h m tû F tø ph¤m trò Uopp v o ph¤m trò Set. T÷ìng tü nh÷ vªy, ti·n bâ nhâm, ti·n bâ v nh, l mët h m tû tø Uopp v o ph¤m trò c¡c nhâm hay ph¤m Ab trò c¡c v nh Ring.
Mët ph¦n tû f ∈ F(V) gåi l mët lîp ct cõa F tr¶n V. N¸u U ⊂ V, £nh cõa f ∈ F(V)trong F(U) ÷ñc kþ hi»u l f|U, v gåi l h¤n ch¸ cõa f
v o U.
ành ngh¾a 15 Bâ (nhâm, v nh) tr¶n mët khæng gian tæpæ X l mët ti·n bâ (nhâm, v nh) tho£ m¢n t½nh ch§t d¡n ÷ñc. Cho U, V l hai tªp mð cõa X, khi â b¬ng c¡ch h¤n ch¸ v o U v V, tªp F(U ∪V) câ thº çng nh§t vîi tªp con cõa F(U)× F(V) c¡c c°p (f, g)∈ F(U)× F(V) tho£ m¢n
60 CH×ÌNG 4. L×ÑC Ç APHIN
(Ui)i∈I khi â F(U) câ thº çng nh§t vîi tªp con cõa t½ch Qi∈IF(Ui) c¡c ph¦n tû (fi)i∈I sao cho vîi måi c°p i, j ∈ I ta câ fi|Ui∩Uj =fj|Ui∩Uj.
Trong tr÷íng hñp Noether th¼ ta ch¿ c¦n x²t tîi c¡c hå phõ húu h¤n. Trong sè c¡c tªp mð cõa Spec(A) câ mët h» cì sð °c bi»t ti»n lñi cho vi»c t½nh to¡n trong c¡c bâ m ta s³ gåi l tªp mð ch½nh. Méi ph¦n tûf ∈A
sinh ra mët i¶an ch½nh hfi. Tªp mð ch½nh U(f) l tªp mð t÷ìng ùng vîi i¶an ch½nh hfi hay nâi c¡ch kh¡c l tªp c¡c i¶an nguy¶n tè p cõa A sao chof /∈p. Nh÷ ta ¢ bi¸t, tªp mð ch½nh U(f)câ thº çng nh§t vîi tªp c¡c i¶an nguy¶n tè cõaA[f−1]; khæng gian tæpæ c£m sinh l¶n U(f) công ¯ng c§u chu©n tc vîi khæng gian tæpæ Spec(A[f−1].
Bê · 16 Giao hai tªp mð ch½nh l mët tªp mð ch½nh. Vîi måi iºm x ∈
Spec(A)v vîi måi tªp mð U chùa iºm n y, tçn t¤i mæt tªp mð ch½nhU(f)
sao cho x∈U(f) v U(f)⊂U.
Kh¯ng ành thù nh§t l hiºn nhi¶n v¼
U(f1)∩U(f2) =U(f1f2).
Kh¯ng ành sau công ch¿ l vi¸t l¤i c¡c ành ngh¾a. Gi£ sû iºmxt÷ìng ùng vîi i¶an nguy¶n tèp v tªp mð U t÷ìng ùng vîi i¶an I. Gi£ thi¸t x /∈U
t÷ìng ÷ìng vîi I 6⊂p. Vªy n¶n tçn t¤i mët ph¦n tû f ∈I m f /∈p. Khi â hiºn nhi¶n x∈U(f) v U(f)⊂U.
Bê · 17 Måi tªp mðU cõaSpec(A)·u câ thº phõ ÷ñc bði mët hå, khæng nh§t thi¸t húu h¤n, c¡c tªp mð ch½nh. N¸u A l v nh Noether, måi tªp mð
U cõa Spec(A) ·u câ thº phõ ÷ñc bði mët hå húu h¤n c¡c tªp mð ch½nh. N¸u U l tªp mð t÷ìng ùng vîi i¶an I v n¸u I sing bði måt hå c¡c ph¦n tû (fi)i∈I, khi â U =Si∈IU(fi). N¸u A l v nh Noether, måi i¶an
I câ mët h» sinh bao gçm mët sè húu h¤n c¡c ph¦n tû f1, . . . , fn khi â
U =U(f1)∪ · · · ∪U(fn).
ành lþ 18 ChoA l mët v nh giao ho¡n b§t ký. Tçn t¤i duy nh§t, vîi sai kh¡c l mët ¯ng c§u duy nh§t, mët bâ v nh O tr¶n Spec(A) g¡n vîi méi tªp mð ch½nhU(f) v nhA[f−1]l v nh àa ph÷ìng ho¡ cõa A theo tªp nh¥n
4.4. BÂ CU TRÓC 61 Ta câ thº phõ måi tªp mð U cõaSpec(A)b¬ng mët hå c¡c tªp mð ch½nh
U = Si∈IU(fi). Giao U(fi)∩U(fj) = U(fifj) công l mæt tªp mð ch½nh. Th¸ cho n¶n v nh c¡c lîp ct cõa O tr¶n U nh§t thi¸t ph£i b¬ng v nh c¡c bë (ai)i∈I ∈ Qi∈IA[f−1
i ] sao cho vîi måi c°p ch¿ sè i, j ∈ I, £nh cõa ai v
aj ð trongA[f−1 i f−1
j ]b¬ng nhau.
Ta c¦n ph£i chùng minh r¬ngO(U)ành ngh¾a nh÷ tr¶n khæng phö thuëc v o phõ U bði c¡c tªp mð ch½nh m ta chån. Muèn vªy ta ph£i x²t mët phõ kh¡c cõa U = Sj∈J U(gj) rçi x²t t½nh ch§t d¡n èi vîi phõ cõa U(fi) bði c¡c tªp mð U(fi)∩U(gj) vîi j ∈ J. Thay A b¬ng A[fi−1] ta qui v· chùng ming bê · sau ¥y.
Bê · 19 Gi£ sû Spec(A) câ thº phõ ÷ñc b¬ng mët hå c¡c tªp mð ch½nh S
j∈J U(gj). Khi â h¤n ch¸ v o c¡c U(gj) cho ph²p ta çng nh§t A vîi v nh con cõa Qj∈J A[g−1
j ] c¡c ph¦n tû (aj) sao cho £nh cõa ai v aj trong
A[g−1 i g−1
j ] b¬ng nhau.
V¼ Spec(A) = Sj∈J U(gj), theo bê · ph¥n ho¤ch ìn và, tçn t¤i mët sè húu h¤n c¡c ch¿ sè j = 1, . . . , n ∈ J sao cho 1 = b1g1 +· · ·+bngn vîi c¡c ph¦n tû b1,· · ·, bn ∈A n o â. Khi â ta câ Spec(A) =Snj=1U(gj) v ta câ thº qui v· tr÷íng hñp tªp ch¿ sè J húu h¤n.
Gi£ sõ cho aj ∈ A[g−1
j ] sao cho £nh cõa ai v aj trong A[g−1 i g−1
j ] b¬ng nhau. Chån m¨u sè th½ch hñp cho ph²p ta vi¸t aj ð d¤ng aj = cj
gN
j vîi mët sè tü nhi¶n N õ lîn èi vîi måi aj, v sao cho
cigNj =cjgiN
vîi måi c°p i, j ∈ {1, . . . , n}. V¼ U(fN
j ) = U(fj) cho n¶n theo bê · ph¥n ho¤ch ìn và ta câ thº t¼m ÷ñc b1, . . . , bn sao cho
b1gN
1 +· · ·+bngN n = 1.
°t a = b1c1 +· · ·+bncn ∈ A. Ta muèn chùng minh r¬ng £nh cõa a
trong A[g−1 j ] b¬ng aj. Thªt vªy agN j = Pni=1bicigN j = cjPni=1bigN i = cj
62 CH×ÌNG 4. L×ÑC Ç APHIN Nh÷ vªy ta ¢ chùng minh ÷ñc t½nh to n ¡nh. T½nh ình ¡nh công chùng minh t÷ìng tü nh÷ vªy. Cho a ∈ A vîi £nh trong c¡c àa ph÷ìng ho¡ A[gj−1] b¬ng 0. Tùc l tçn t¤i N õ lîn sao cho vîi måi
j = 1, . . . , n ta câ agN
j = 0. L¤i dòng bê · ph¥n ho¤ch ìn và ta câ
a= 0. ¤
M»nh · 20 ChoA l mët mi·n nguy¶n v gåiK l tr÷íng c¡c th÷ìng cõa
A. Vîi måi tªp mð U cõa Spec(A), O(U) l v nh con cõa K bao gçm c¡c ph¦n tû f ∈ K sao cho vîi måi i¶an nguy¶n tè x ∈ U ⊂ Spec(A), ta câ
f ∈Ax, vîi Ax xem nh÷ l mët v nh con cõa K
O(U) = \
x∈U
Ax.
Cho mët tªp mð U cõa Spec(A) v cho mët phõ cõa U bði c¡c tªp mð ch½nhU(gi)vîi c¡c ch¿ sè ich¤y trong mët tªpI, khæng nh§t thi¸t húu h¤n. Theo c¡ch x¥y düng cõa bâ c§u tróc O, mët ph¦n tû f ∈ O(U) l mët håfi ∈A[g−1
i ], sao chofi|U(gigj)=fj|U(gigj). V¼
A l mi·n nguy¶n cho n¶n c¡c v nh A[g−1
i ] ·u câ thº coi l v nh con cõa K. i·u ki»n fi|U(gigj) =fj|U(gigj) t÷ìng ÷ìng vîi vi»c £nh cõa c¡c fi
trongK ±u nh÷ nhau. Vªy n¶n
O(U) = \
i∈I
A[g−1 i ].
Cho mët iºm x ∈ U, tçn t¤i i ∈ I sao cho x ∈U(gi) tùc l gi khæng n¬m trong i¶an nguy¶n tèx, gi(x)6= 0. Khi â A[g−1
i ]⊂Ax v ta suy ra
O(U)⊂ \
x∈U
Ax.
Ng÷ñc l¤i vîi måi f ∈Tx∈UAx, vîi måi x∈U, f câ thº vi¸t d÷îi d¤ng
f =cx/gx vîi cx, gx ∈A v gx ∈/ x. Nh¥n th¶m gx vîi mët h m b¬ng khæng tr¶n ph¦n bò cõa U, ta câ thº gi£ sû U(gx) ⊂ U. Nh÷ vªy ta câ mët phõ cõa U b¬ng hå c¡c tªp mð ch½nh U(gx) v h m f ∈A[g−1
x ] theo xx¥y düng cõa bâ c§u tróc O l mët ph¥n tû cõaO(U). ¤
Bâ O tr¶n Spec(A)x¥y düng nh÷ tr¶n gåi l bâ c§u tróc cõa Spec(A). V nh c¡c lîp ct cõa O tr¶n Spec(A)l¤i l A cho n¶n c°p(Spec(A),O), ch¿ phö thuëc v o A, v công chùa måi thæng tin v· A. Nâi c¡ch kh¡c l nâi
4.5. THÎ CÕA B V THÎ CÕA B CU TRÓC 63ho n to n t÷ìng ÷ìng vîi A. Ta câ thº °t c¥u häi r¬ng t¤i sao ta l¤i i