6. Cấu trúc khóa luận
2.4. Dạng toán về cắt, ghép hình
Cơ sở để thực hiện các bài toán cắt hình là dựa vào tính chất sau: tổng diện tích của các mảnh cắt ra bằng diện tích của hình ban đầu.
Ta thƣờng gặp ở hai dạng sau:
+ Cắt một hình cho trƣớc thành các hình nhỏ có kích thƣớc và hình dạng cho trƣớc.
+ Cắt một hình cho trƣớc thành các hình nhỏ có hình dạng tùy ý.
Ví dụ 1: Cho một mảnh bìa hình tam giác. Hãy cắt mảnh bìa thành hai tam
giác có diện tích bằng nhau.
Phân tích - tìm lời giải:
Đề bài cho biết: Một mảnh bìa hình tam giác.
Đề bài yêu cầu: Cắt mảnh bìa hình tam giác thành hai tam giác có diện tích bằng nhau.
Dựa vào tính chất của phƣơng pháp diện tích: Hai hình tam giác có cùng số đo cạnh đáy và có cùng số đo đƣờng cao thì diện tích của chúng bằng nhau. Ta xác định chung điểm của một cạnh một, rồi kẻ một đƣờng thẳng từ góc đối diện với cạnh đó đến trung điểm vừa xác định, tiến hành cắt theo đƣờng kẻ ta sẽ đƣợc hai tam giác bằng nhau.
Lời giải
Trên cạnh BC ta lấy điểm I sao cho BI = IC. Nối A với I rồi dùng kéo cắt theo chiều mũi tên trên. Ta có SΔABI=SΔACI (vì chung đƣờng cao hạ từ A và đáy BI = IC).
Chú ý: Ngoài cách cắt trên ta còn có thể cắt từ điểm B tới trung điểm
cạnh AC hay cắt từ điểm C tới trung điểm cạnh AB.
C A
Ví dụ 2: Hãy cắt một mảnh bìa hình tứ giác thành hai mảnh có diện tích
bằng nhau.
Phân tích – tìm lời giải:
Đề bài cho biết: Một mảnh bìa hình tứ giác.
Đề bài yêu cầu: Chia mảnh bìa hình tứ giác thành hai mảnh có diện tích bằng nhau.
Bài toán yêu cầu ta chia mảnh bìa hình tứ giác thành hai mảnh có diện tích bằng nhau, để thực hiện đƣợc yêu cầu này, trƣớc tiên ta sẽ chia hình tứ giác thành hai hình tam giác. Sau đó, dựa vào tính chất hai tam giác có cùng số đo cạnh đáy và có cùng số đo đƣờng cao thì diện tích của chúng bằng nhau, ta lần lƣợt chia từng tam giác thành hai tam giác bằng nhau, từ đó ta sẽ chia đƣợc hình tứ giác thành hai hình có diện tích bằng nhau.
Lời giải
Nối AC. Trên AC lấy điểm I sao cho AI = IC. Nối BI và DI. Cắt theo chiều mũi tên.
Ta có:
SΔABI=SΔIBC
(chung đƣờng cao hạ từ B và cạnh đáy AI = IC) SΔADI=SΔIDC
(chung đƣờng cao hạ từ D và cạnh đáy AI = IC) Suy ra: SΔABI+SΔADI=SΔIBC+SΔIDC
B
C I
D A
Chú ý: Ngoài cách chia nhƣ trên, ta còn có thể nối cạnh BD, xác định chung điểm M của cạnh BD, rồi tiến hành chia tƣơng tự nhƣ cạnh AC.
2.4.2. Ghép hình
Cơ sở để thực hiện các bài toán về ghép hình là dựa theo tính chất sau: Tổng diện tích các hình đem ghép bằng diện tích của hình đƣợc ghép. Vì vậy, dựa vào tổng diện tích các hình đem ghép, ta sẽ xác định đƣợc kích thƣớc của hình cần ghép.
Ví dụ 1: Cho 2 mảnh gỗ hình chữ nhật, 2 mảnh gỗ hình vuông lớn và 5
mảnh gỗ hình vuông nhỏ có kích thƣớc nhƣ hình vẽ. Hãy ghép 9 mảnh gỗ nói trên để đƣợc một hình vuông.
Phân tích - tìm lời giải:
Đề bài cho biết: - 2 mảnh gỗ hình chữ nhật, chiều dài 3cm, chiều rộng 2cm. - 2 mảnh gỗ hình vuông lớn, cạnh 2cm.
- 5 mảnh gỗ hình vuông nhỏ, cạnh 1cm.
Đề bài yêu cầu: Ghép 9 mảnh gỗ nói trên để đƣợc một hình vuông.
2cm 3cm 2cm 2cm 1cm 1cm B C D A M
Dựa vào tính chất: Nếu ghép các hình nhỏ để đƣợc một hình lớn thình diện tích hình lớn bằng tổng diện tích của các hình nhỏ. Vì vậy, khi ghép 9 hình thành một hình vuông thì diện tích hình vuông sẽ bằng tổng diện tích của các hình nhỏ. Biết đƣợc diện tích hình vuông ta sẽ tính đƣợc cạnh của hình vuông. Dựa vào đó sẽ xếp đƣợc hình vuông tƣơng ứng.
Lời giải
Tổng diện tích của 9 mảnh gỗ là:
2 x 3 x 2 + 2 x 2 x 2 + 1 x 1 x 5 = 25(cm2) Vậy cạnh của hình vông mới đƣợc ghép là 5cm.
Chú ý: Ngoài cách ghép trên, ta còn có nhiều cách ghép khác, dƣới đây là một số cách ghép:
Ví dụ 2: Cho 4 mảnh gỗ hình thang vuông, 4 mảnh gỗ hình tam giác
vuông và 5 mảnh gỗ hình vuông có kích thƣớc nhƣ hình vẽ. Hãy ghép 13 mảnh gỗ nói trên để đƣợc một hình vuông.
2cm
1cm 2cm
Phân tích - tìm lời giải
Đề bài cho biết: - 4 mảnh gỗ hình thang vuông, đáy nhỏ 1cm, đáy lớn 2cm, chiều cao 2cm.
- 4 mảnh gỗ hình tam giác vuông, cạnh góc vuông 2cm. - 5 mảnh gỗ hình vuông có cạnh 1cm.
Đề bài yêu cầu: ghép 13 mảnh gỗ trên để đƣợc một mảnh gỗ hình vuông. Để thực hiện đƣợc bài toán này, trƣớc hết ta ghép 4 mảnh hình thang thành 2 mảnh hình chữ nhật có chiều dài 3cm, chiều rộng 2cm và 4 mảnh tam giác thành 2 hình vuông, cạnh 2cm.
Tƣơng tự nhƣ ví dụ 1, dựa vào tính chất: Nếu ghép các hình nhỏ để đƣợc một hình lớn thì diện tích hình lớn bằng tổng diện tích của các hình nhỏ. Vì vậy, khi ghép 13 hình thành một hình vuông thì diện tích hình vuông sẽ bằng tổng diện tích của các hình nhỏ. Biết đƣợc diện tích hình vuông ta sẽ tính đƣợc cạnh của hình vuông. Dựa vào đó sẽ xếp đƣợc hình vuông tƣơng ứng.
Lời giải
Trƣớc hết ta ghép 4 mảnh hình thang vuông thành 2 mảnh hình chữ nhật và 4 mảnh tam giác vuông thành 2 hình vuông nhƣ hình vẽ:
Sau đó tiến hành ghép tƣơng tự nhƣ ví dụ 1.
Một số bài luyện tập:
Bài 1. Cho hai mảnh bìa hình tam giác. Hãy cắt mảnh bìa đó thành hai hình tam
giác sao cho:
a.Mảnh này có diện tích gấp hai lần mảnh kia. b.Mảnh này có diện tích gấp ba lần mảnh kia.
Bài 2. Cho hai mảnh bìa hinh tứ giác. Hãy cắt mảnh bìa đó thành hai hình tam
giác sao cho:
c. Mảnh này có diện tích gấp hai lần mảnh kia.
2cm
2cm
2cm 3cm
d. Mảnh này có diện tích gấp ba lần mảnh kia.
Bài 3. Cho một mảnh bìa hình chữ nhật. Hãy cắt mảnh bìa thành những mảnh nhỏ để ghép lại ta đƣợc một hình tam giác.
a. Hãy giải bài toán trên bằng 8 cách khác nhau. b. Bài toán trên có thể giải bằng bao nhiêu cách.
Bài 4. Cho một mảnh bìa hình thang.
a. Hãy cắt mảnh bìa đó thành những mảnh nhỏ để ghép lại ta đƣợc một hình chữ nhật.
b. Hãy cắt mảnh bìa đó thành các mảnh nhỏ để ghép lại ta đƣợc hai hình chữ nhật.
c. Hãy cắt mảnh bìa đó thành các mảnh nhỏ để ghép lại ta đƣợc hai hình tam giác có diện tích bằng nhau.
Bài 5. Cho ba mảnh bìa hình vuông. Hãy cắt mảnh bìa đó thành các mảnh nhỏ để ghép lại đƣợc một hình vuông.
Bài 6. Cho một mảnh bìa hình tam giác. Hãy cắt mảnh bìa đó thành các mảnh
nhỏ để:
a. Ghép lại ta đƣợc một hình thang.
b. Ghép lại ta đƣợc hai hình thang có diện tích bằng nhau.
TIỂU KẾT
Dựa vào tầm quan trọng của việc dạy các bài toán có yếu tố hình học cho học sinh lớp 5, tác giả đi sâu vào nghiên cứu và phân loại các dạng bài tập và đề suất phƣơng pháp dạy học thích hợp. Mỗi dạng bài tập có những ví dụ minh họa và một số bài luyện tập để ngƣời học có thể vận dụng giải, giúp học sinh làm quen và nắm vững cách giải một số bài trong dạng bài này, từ đó nâng cao kĩ năng giải toán cho bản thân.
CHƢƠNG 3
THỬ NGHIỆM SƢ PHẠM 3.1. Mục đích thử nghiệm
Mục đích thử nghiệm sƣ phạm nhằm bƣớc đầu đánh giá kết quả việc vận dụng các tính chất của phƣơng pháp diện tích trong giải một số bài toán có yếu tố hình học cho học sinh lớp 5.
3.2. Phƣơng pháp thử nghiệm
- Thử nghiệm có đối chứng.
3.3. Nội dung thử nghiệm
- Dạy giải bài tập về diện tích hình học. - Số tiết thử nghiệm: 2 tiết.
- Trên cơ sở phân phối chƣơng trình, nội dung sách giáo khoa, mỗi tiết thử nghiệm đƣợc soạn thảo, chỉ dẫn tƣơng ứng với một tiết học theo quy định của BDG – ĐT về các kiến thức và kĩ năng cơ bản cần thiết cho học sinh, đƣợc kết hợp với nội dung thử nghiệm nhƣ sau:
Giáo án 1: Soạn theo tinh thần vận dụng các tính chất của phƣơng pháp diện tích đã trình bày ở chƣơng 2.
Giáo án 2: Soạn theo chƣơng trình giảng dạy bình thƣờng.
3.4. Tiến hành thử nghiệm
Tôi tiến hành da ̣y hai tiết, mô ̣t tiết thƣ̉ nghiê ̣m và mô ̣t tiết đối chƣ́ng cùng một bài kiểm tra hai lớp 5 của Trƣờng Tiểu học 8 – 4, Mộc Châu – Sơn La.
- Thời gian thử nghiêm từ ngày 10/03/2014 tới ngày 15/03/3014.
Trƣớc khi tiến hành thử nghiệm tôi có tiến hành điều tra một số đặc điểm của hai lớp, kết quả cho bởi bảng sau: (Bảng 2 – tr.13)
Bảng 2 Tên Trƣờng Lớp Số học sinh Học lực
Giỏi Khá Trung bình Yếu
TH 8 – 4
5A 28 9 15 4 0
5B 32 8 17 7 0
Theo kết quả điều tra ban đầu thì trình độ học sinh ở hai lớp là gần nhƣ nhau, điều này sẽ tạo điều kiện tốt cho việc thử nghiệm.
Trong quá trình thử nghiệm chúng tôi sử dúng trực tiếp những bài tập đã xây dựng trong chƣơng 2 với các mức độ từ dễ đến khó, hƣớng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải theo từng bƣớc nhƣ đã nêu trong lí luận. Từ đó hình thành kĩ năng phân tích, giải bài tập cho học sinh theo các dạng đã đƣa ra.
Sau khi hƣớng dẫn các phƣơng pháp giải toán về diện tích các hình, tôi ra đề kiểm tra một tiết để lấy kết quả tiếp thu bài của học sinh. Cùng một đề dành cho học sinh của hai lớp, lớp 5B áp dụng các kĩ năng giải toán, lớp 5A vẫn làm bài bình thƣờng. (phụ lục)
3.5. Kết quả thử nghệm
Bài kiểm tra đƣợc chấm theo thang điểm 10. Từ 0 điểm đến 4 điểm xếp loại yếu, từ 5 điểm đến 6 điểm xếp loại trung bình, từ 7 điểm tới 8 điểm xếp loại khá và từ 9 điểm tới 10 điểm xếp loại giỏi.
Sau khi chấm bài, lớp 5B có 19 bài đạt loại giỏi, 11 bài đạt loại khá, 2 bài đạt loại trung bình và không có bài xếp loại yếu. Lớp 5A có 13 bài đạt loại giỏi, 7 bài đạt loại khá, 8 bài đạt loại trung bình và không có bài xếp loại yếu.
Bảng 3
Lớp thử nghiệm (lớp 5B) Lớp đối chứng (lớp 5A) Xếp loại học sinh Xếp loại học sinh
Giỏi Khá Trung bình Yếu Giỏi Khá Trung bình Yếu 19 11 2 0 13 7 8 0
Nhận xét
Nhìn vào bảng kết quả ta thấy, khi tiến hành thử nghiệm tại lớp 5B thì số học sinh vận dụng thành thạo và linh hoạt các tính chất của diện tích tăng lên số bài trung bình giảm hơn so lớp đối chứng. Tóm lại kết quả đã có sự thay đổi theo chiều hƣớng tích cực, chất lƣợng học sinh ở lớp thử nghiệm cao hơn so với lớp đối chứng.
- Kiến thức: Qua thử nghiệm cho thấy khả năng nắm vững và ghi nhớ các cách giải các bài toán có yếu tố hình học của học sinh có tiến bộ hơn, tuy nhiên với những bài toán có yêu cầu khó hơn thì các em vẫn còn gặp khó khăn trong việc tìm hƣớng giải.
- Kĩ năng: Sau khi đƣa ra các bài tập có yếu tố hình học các em có khả năng phân tích đề bài, so sánh với những bài tập mình đã làm, dựa vào những kiến thức đã có để giải bài toán.
- Thái độ: Nhìn chung các em có thái độ hăng hái, nhiệt tình, có ý thức tự giác làm bài tập, bên cạnh đó vẫn còn những em lƣời suy nghĩ, chƣa chủ động làm bài.
Đánh giá kết quả thử nghiệm ban đầu
Kết quả trên đây tuy chƣa thật cao, song phần nào phản ánh đƣợc hiệu quả của việc vận dụng các tính chất của diện tích vào giải có yếu tố hình học với học sinh lớp 5. Tuy nhiên để khẳng định một cách chính xác, nâng cao chất lƣợng học tập, kĩ năng làm bài của học sinh thì cần phải có thời gian, có sự chuẩn bị về con ngƣời, cơ sở vật chất và nhiều yếu tồ khác.
KẾT LUẬN
Các tính chất của phƣơng pháp diện tích là một trong những tính chất thƣờng dùng, có vai trò quan trọng trong việc giải các bài tập có yếu tố hình học ở Tiểu học. Vì vậy, vấn đề mà khóa luận nghiên cứu đã phần nào đáp ứng đƣợc yêu cầu của việc giảng dạy, giải bài tập toán nói chung và giải bài tập có yếu tố hình học nói riêng ở Tiểu học hiện nay.
Khóa luận đã nghiên cứu đƣợc một số vấn đề về cơ sở lí luận có liên quan nhƣ: vai trò của giải toán trong quá trình dạy học, vai trò của yếu tố hình học trong giảng dạy và thực tiễn, phƣơng pháp chung để giải toán, phƣơng pháp diện tích trong việc giải toán ở Tiểu học, thực trạng việc vận dụng các tính chất của phƣơng pháp diện tích trong dạy học hình học ở một số trƣờng Tiểu học…. Trên cơ sở đó khóa luận cũng đã đƣa ra đƣợc bốn dạng toán có vận dụng các tính chất của diện tích để giải, mỗi dạng toán đều kèm theo ví dụ trình bày chi tiết việc phân tích tìm lời giải để minh họa. Đồng thời đƣa vào một số các bài luyện tập để ngƣời học có thể vận dụng giải, nâng cao kĩ năng giải toán cho bản thân. Khóa luận cũng đã tiến hành thực nghiệm sƣ phạm bƣớc đầu kiểm nghiệm kết quả của vẫn đề nghiên cứu. Hi vọng khóa luận sẽ là tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên khoa Tiểu học và giáo viên các trƣờng Tiểu học – Mầm non Trƣờng Đại học Tây bắc.
Do thời gian nghiên cứu hạn hẹp và trình độ bản thân còn hạn chế, nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em mong nhận đƣợc những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn đọc để khóa luận thêm phần hoàn thiện.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Ánh, Đỗ Trung Hiệu, Vũ Dƣơng Thụy – Luyện gải toán 5.
2. Trần Diên Hiển – Thực hành giải toán Tiểu học tập 2, NXB ĐHSP, 2004. 3. Trần Diên Hiển – Toán bồi dưỡng 5, NXB Đại học sƣ phạm, 2006.
4. Đỗ Trung Hiệu, Vũ Dƣơng Thụy, Nguyễn Danh Ninh – Toán nâng cao lớp 5
tập 2, 1995.
5. Đỗ Trung Hiệu, Lê Tiến Thành – Tuyển tập đề thi học sinh giỏi bậc Tiểu học, NXB Giáo dục, 2004.
PHỤ LỤC
ĐỀ KIỂM TRA (Thời gian: 30 phút)
Câu 1: (Bài 2 – trang 18). Tính diện tích một mảnh đất có kích thƣớc nhƣ hình vẽ bên:
Câu 2: (Ví dụ 2 - trang 24) Cho hình thang ABCD có diện tích 96 2
cm . Đáy lớn AD gấp 3 lần đáy nhỏ BC. Hai đƣờng chéo AC và BD cắt nhau tại O. Tính diện tích tam giác AOB.
5cm
5cm
50cm
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm Câu:1 (4 điểm) Chia mảnh đất thành một hình vuông và một hình chữ nhật. Diện tích hình vuông là 5 x 5 = 25 (cm2) Diện tích hình chữ nhật là 20 x 30 = 600 (cm2) Diện tích mảnh đất là 25 + 600 = 625 (cm2) Đáp số: 625 (cm2) 0,75 1 1 1 0,25 Câu 2 (6 điểm)
Diện tích tam giác ABC là 96 : 4 = 24 (cm2)
Diện tích tam giác ABC là 24 x 3 = 72 (cm2)
Diện tích tam giác AOB là 72 : 4 = 18 (cm2) Đáp số: 18cm2 1,75 2 2 0,25