6. Cấu trúc khóa luận
2.3.Dạng toán so sánh diện tích
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB bằng AC. Trên AC lấy điểm M, kéo dài
cạnh AB lấy điểm N sao cho CM bằng BN. Nối M với N, đoạn MN cắt cạnh BC tại I. Hãy chứng tỏ rằng MI bằng NI.
Phân tích – tìm lời giải
Đề bài cho biết: - Tam giác ABC có AB = AC - CM = BN
- MN cắt BC tại I
Đề bài yêu cầu: chứng minh đoạn thẳng NI = IM
Do tam giác ABC có AB = AC nên đƣờng cao hạ từ B và C tới hai cạnh bên AB, AC của tam giác ABC bằng nhau (cùng bằng diện tích tam giác ABC chia cho một cạnh bên).
SBMC = SBCN (do có cạnh đáy CM = BN, chiều cao ứng với hai đáy bằng nhau) Mặt khác hai tam giác này có chung đáy BC, suy ra đƣờng cao hạ từ M và N xuống cạnh đáy BC bằng nhau.
A
N
C M
Suy ra SBNI = SBIM (do có chung đáy BI, đƣờng cao hạ từ N và M xuống cạnh đáy BC bằng nhau).
Mặt khác, hai tam giác này có chung đƣờng cao hạ từ B, nên hai cạnh đáy NI = MI.
Lời giải
Diện tích tam gác BMC bằng diện tích tam giác BCN. Diện tích tam giác BNI bằng diện tích tam giác BIM. Vậy cạnh MI bằng NI.
Chú ý bài toán có thể cho dƣới dạng:
Bài 1. Cho tam giác ABC, trên cạnh AC lấy điểm M, kéo dài cạnh AB lấy
điểm N sao cho CM bằng BN. Đoạn MN cắt BC tại I. Chứng tỏ rằng AB bằng AC, biết NI bằng MI.
Bài 2. Cho tam giác ABC có AB bằng AC. Lấy điểm N trên cạnh AC và
kéo dài canh AB lấy điểm M sao cho MN cắt BC tại I và NI bằng MI. Chứng tỏ rằng BN bằng CN.
Bài 3. Cho tam giác ABC, hình vuông MNPQ có đỉnh M trên cạnh AC, hai
dỉnh P, Q trên cạnh đáy BC. Kéo dài cạnh CN cắt cạnh đáy AB tại K, từ K hạ đƣờng cao KL vuông góc với BC tại L. Chứng minh rằng KE bằng KL.
Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD, các điểm M, N, P, Q lần lƣợt là điểm chính giữa của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng tỏ rằng diện tích tứ giác MNPQ bằng 1
2 diện tích tứ giác ABCD.
Phân tích - tìm lời giải
A Q M B N P D
Đề bài cho biết: MA = MB; NB = NC; PC = PD; AQ = QD. Đề bài yểu cầu:
Chứng tỏ rằng diện tích tứ giác MNPQ bằng 1
2 diện tích tứ giác ABCD. Nhìn vào hình vẽ ta thấy:
SMNPQ=SABCD-SΔAMQ-SΔMBN-SΔCNP-SΔQDP (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
SΔMBN= S1 ΔABN
2
(do hai tam giác có chung đƣờng cao hạ từ đỉnh N, đáy BM = 1
2BA)
SΔABN= S1 ΔABC
2
(do hai tam giác có chung đƣờng cao hạ từ đỉnh A, đáy BN = 1
2BC)
Suy ra: SΔMBN= S1 ΔABC 4 (1)
SΔQDP= S1 ΔQDC
2
(do hai tam giác có chung đƣờng cao hạ từ đỉnh Q, đáy DP =1
2DC)
SΔQDC= S1 ΔADC
2
(do hai tam giác có chung đƣờng cao hạ từ đỉnh C, đáy DQ = 1
2DA)
Suy ra: SΔQDP= S1 ΔADC 4 (2) Từ (1) và (2) ta có: SΔMBN+SΔQDP=1(SΔABC+SΔADC)= S1 ABCD
4 4
Tƣơng tự ta cũng có: SΔAMQ+SΔCNP= S1 ABCD 4
SΔAMQ+SΔMBN+SΔCNP+SΔQDP= S1 ABCD+ S1 ABCD= S1 ABCD
4 4 2
Vậy: SMNPQ=SABCD- S1 ABCD= S1 ABCD
2 2
Diện tích tam giác MBN là: SΔMBN= S1 ΔABC 4
Diện tích tam giác QDP là: SΔQDP= S1 ΔADC 4
Tổng diện tích tam giác MBN và QDP là: SΔMBN+SΔQDP= S1 ABCD 4
Diện tích tam giác AMQ là: SΔAMQ= S1 ΔABD 4
Diện tích tam giác CNP là: SΔCNP= S1 ΔCBD 4
Tổng diện tích tam giác MBN và QDP là: SΔAMQ+SΔCNP= S1 ABCD 4 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Diện tích tứ giác MNPQ là: SABCD- 1SABCD- 1SABCD= 1SABCD
4 4 2
Một số bài luyện tập
Bài 1. Cho tứ giác ABCD, trên AD lấy hai điểm M, N sao cho AM bằng MN
bằng ND. Trên BC lấy hai điểm P, Q sao cho BP bằng PQ bằng QB. Nối MP, NQ. Chứng minh diện tích tứ giác MPQN bằng 1
3diện tích tứ giác ABCD.
Bài 2. Cho hình tam giác ABC. Trên đáy BC lấy một điểm D sao cho BD gấp
đôi DC. So sánh diện tích của hai tam giác ABD và ABC.
Bài 3. Cho hình tam giác ABC có đƣờng cao AH, hình tam giác BDC có đƣờng
cao DK và điểm D nằm trên cạnh AC. Cho AD bằng 1
3AC, so ạnh đoạn thẳng AH và DK.
Bài 4. Cho tam giác ABC, trên BC lấy điểm M sao cho BM bằng MC, N là điểm
trên cạnh CA sao cho NC bằng 2 lần NA. Kéo dài MN cắt AB tại K. Hãy so sánh hai đoạn thẳng AK và AB.
Bài 5. Cho hình vuông ABCD. Các điểm M, N lần lƣợt là trung điểm của AB,
AD. So sánh diện tích tam giác AMN với diện tích hình vuông ABCD.