Lý thuyết tập mờ

CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT TẬP MỜ VÀ CHUỖI THỜI GIAN MỜ

2.1. Lý thuyết tập mờ

Trong phần này, chúng tôi sử dụng các khái niệm về lý thuyết tập mờ trong tài liệu của Fullér [10].

2.1.1. Định nghĩa tập mờ

Tập mờ A xác định trên tập vũ trụ X là một tập mà mỗi phần tử của nó là một cặp các giá trị (x, A(x)), trong đó x X và A là ánh xạ:

A: X [0,1]

Ánh xạ A đƣợc gọi là hàm thuộc hoặc hàm liên thuộc ( hoặc hàm thành viên - membership function) của tập mờ A. Tập X đƣợc gọi là cơ sở của tập mờ A.

A(x) là độ phụ thuộc, sử dụng hàm thuộc để tính độ phụ thuộc của một phần tử x nào đó, có hai cách:

- Tính trực tiếp nếu A(x) ở dạng công thức tường minh.

- Tra bảng nếu A(x) ở dạng bảng.

Kí hiệu:

A=(A(x)x): xX

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

Các hàm thuộc A(x) có dạng “trơn” đƣợc gọi là hàm thuộc kiểu S. Đối với hàm thuộc kiểu S, do các công thức biểu diễn A(x) có độ phức tạp lớn nên thời gian tính độ phụ thuộc cho một phần tử lớn. Trong kỹ thuật điều khiển mờ thông thường, các hàm thuộc kiểu S thường được thay gần đúng bằng một hàm tuyến tính từng đoạn.

Một hàm thuộc có dạng tuyến tính từng đoạn đƣợc gọi là hàm thuộc có mức chuyển đổi tuyến tính.

Hình 2.1. Hàm thuộc A(x) có mức chuyển đổi tuyến tính

Hàm thuộc nhƣ trên với m1 = m2 và m3 = m4 chính là hàm thuộc của một tập vũ trụ.

Ví dụ 1: Một tập mờ B của các số tự nhiên nhỏ hơn 5 với hàm thuộc B(x) có dạng nhƣ hình 2.2 định nghĩa trên tạp vũ trụ X sẽ chứa các phần tử sau:

B = {(1,1), (2,1), (3,0.95), (4,0.7) }

Hình 2.2. Hàm thuộc của tập B

Ví dụ 2: Xét X là tập các giá trị trong thang điểm 10 đánh giá kết quả học tập của học sinh về môn Toán, X = {1, 2, …, 10}. Khi đó khái niệm mờ về năng lực học môn toán giỏi có thể đƣợc hiển thị bằng tập mờ A sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

A= 0.1/4 + 0.2/5 + 0.4/6 + 0.7/7 + 0.9/8 + 1.0/9 +1.0/10

Trong trường hợp tập mờ rời rạc ta có thể biểu diễn tập mờ ở dạng bảng.

Chẳng hạn, đối với tập mờ A ở trên ta có bảng nhƣ sau:

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A 0 0 0 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.0 1.0

2.1.2. Một số khái niệm cơ bản của tập mờ

 Miền xác định: Biên giới tập mờ A, ký hiệu là Supp(A), là tập rõ gồm các phần tử của X có mức độ phụ thuộc của x vào tập mờ A lớn hơn 0.

 Miền tin cậy: Lõi tập mờ A, ký hiệu là core(A), là tập rõ gồm các phần tử của X có mức độ phụ thuộc của x vào tập mờ A bằng 1

Hình 2.3. Miền xác định và miền tin cậy của tập mờ A.

 Độ cao tập mờ: Độ cao tập mờ A, ký hiệu: h(A), là mức độ phụ thuộc cao nhất của x vào tập mờ A.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

Một tập mờ có ít nhất một phần tử có độ phụ thuộc bằng 1 đƣợc gọi là tập mờ chính tắc, tức là h(A) = 1 , ngƣợc lại một tập mờ A với h(A) < 1 đƣợc gọi là tập mờ không chính tắc.

2.1.3. Các phép toán trên tập mờ 2.1.3.1 Phần bù của tập mờ

Cho tập mở A trên tập vũ trụ X, tập mờ bù củ A là tập mờ A , hàm thuộc

A(x) đƣợc tính từ hàm thuộc A(x)

Hình 2.4: tập bù A của tập mờ A.

A) Hàm thuộc của tập mờ A.

B) Hàm thuộc của tập mờ A.

Một các tổng quát để tìm A(x) từ A(x), ta dùng hàm bù c:[0,1] -> [0,1] nhƣ sau:

2.1.3.2. Phép hợp các tập mờ

Cho tập mờ A,B trên tập vũ trụ X, tập mờ hợp của A và B là một tập mờ, ký hiệu là C = AB.

Theo phép hợp chuẩn ta có c(x) từ các hàm thành viên A(x), B(x), nhƣ sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

Hình 2.5. Hợp hai tập mờ có cùng tập vũ trụ.

Một các tổng quát ta dung hàm hợp u: [0,1] x [0,1] -> [0,1]. Hàm thành viên C(x ) có thể đƣợc suy từ hàm thành viên A(x), B(x) nhƣ sau:

2.1.3.3.Giao của các tập mờ

Cho tập mờ A,B trên tập vũ trụ X, tập mờ hợp của A và B là một tập mờ, ký hiệu là I = AB.

Theo phép hợp chuẩn ta có I(x) từ các hàm thành viên A(x), B(x), nhƣ sau:

Hình 2.6. Giao hai tập mờ có cùng tập vũ trụ.

Một các tổng quát ta dung hàm hợp i: [0,1] x [0,1] -> [0,1]. Hàm thành viên i(x ) có thể đƣợc suy từ hàm thành viên A(x), B(x) nhƣ sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

2.1.4. Các phương pháp giải mờ

Trong điều khiển mờ cũng nhƣ trong lập luận trong các hệ chuyên gia với các luật tri thức mở, dữ liệu đầu ra nhìn chung đều là những tập mờ. Thực tế chúng ta cũng thường gặp nhu cầu chuyển đổi dữ liệu mờ đầu ra thành giá trị thực một cách phù hợp. Phương pháp chuyển đổi như vậy được gọi là phương pháp giải mờ.

Căn cứ theo những quan niệm khác nhau về phần tử đại diện xứng đáng mà ta sẽ có các phương pháp giải mờ khác nhau. Trong điều khiển người ta thường dung hai phương pháp chính:

 Phương pháp điểm cực đại

 Phương pháp điểm trọng tâm 2.1.4.1. Phương pháp điểm cực đại

Tư tưởng chính của phương pháp giải mờ điểm cực đại là tìm trong tập mờ có hàm thuộc R(y), một phần tử y0 với độ phụ thuộc lớn nhất, tức là:

Tuy nhiên, việc tìm y0 theo công thức trên có thể đƣa đến vô số nghiệm (hình 2.7b), nên ta phải đƣa thêm yêu cầu cho phép chọn trong số các nghiệm đó một giá trị y0 cụ thể để chấp nhận được. Việc giải mờ theo phương pháp cực đại gồm hai bước:

 Xác định miền chứa giá trị rõ y0 . Giá trị rõ y0 là giá trị mà tại đó hàm thuộc đạt giá trị cực đại, tức là miền:

 Xác định y0 có thể chấp nhận đƣợc từ G

Trong hình 2.7b thì G là khoảng [y1 ,y2] của tập nền R. Trường hợp có vô số nghiệm của thì để tìm y0 ta có hai cách:

1, Xác định điểm trung bình:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

Nếu các hàm thuộc đều có dạng hình tam giác hoặc hình thang thì điểm y0 xác định theo phương pháp này sẽ không quá bị nhạy cảm với sự thay đổi của giá trị đầu vào rõ x0. Do đó rất thích hợp với các bài toán có nhiễu biên độ nhỏ tại đầu vào.

2, Xác định điểm cận trái hoặc cận phải

Nếu các hàm thuộc đều có dạng hình tam giác hoặc hình thang thì điểm y0 sẽ phụ thuộc tuyến tính vào giá trị rõ x0 tại đầu vào.

Hình 2.7. Giải mờ bằng phương pháp điểm cực đại.

2.1.4.2. Phương pháp điểm trọng tâm

Phương pháp điểm trọng tâm sẽ cho kết quả y0 là hoành độ của điểm trọng tâm, miền được bao phủ bởi trục hoành và đường R(y) – Hình 2.8a. Phương pháp điểm trọng tâm xuất phát từ ý tưởng mọi giá trị của S đều được đóng góp với trọng số vào việc xác định giá trị khử mờ của tập mờ R, ở đây trọng số của nó là độ thuộc của phần tử vào tập mờ R. Theo định nghĩa thông thường của trọng tâm, công thức tính giá trị khử mờ có dạng sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

Với:

là miền xác định của tập mờ R.

Đây là phương pháp hay được sử dụng nhất. Nó cho phép ta xác định giá trị y0 với sự tham gia của tất cả các tập mờ đầu ra của luật điều khiển một cách bình đẳng và chính xác. Tuy nhiên, phương pháp này lại không để ý được tới độ thỏa mãn của mệnh đề điều khiển cũng nhƣ thời gian tính lâu. Ngoài ra một trong những nhược điểm của phương pháp này là giá trị y0 xác định được lại có độ thuộc nhỏ nhất, thậm chí bằng 0 ( hình 2.8b).