5. ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG TIẾP XÚC
5.2. Phân bố ứng suất do tải trọng
Trong hầu hết các nghiên cứu chúng ta thường quan tâm nhiều đến tính chất của những lớp bề mặt ngoài cùng với độ sâu khoảng một mm, tính chất của vật liệu ở độ sâu khoảng một centimét trở lên từ bề mặt được xếp vào hàng thứ yếu. Lý thuyết về ứng suất và biến dạng tiếp xúc là một trong những vấn đề phức tạp. Cách tiếp cận thông thường bắt đầu từ lực tác dụng lên mặt phẳng là biên của các vật thể nửa vô hạn (semi- infinite). Đó là các vật thể thể rắn có thể mở rộng đến vô cùng từ một mặt phẳng. Điều này giúp chúng ta tập trung nghiên cứu sâu vào bản chất tiếp xúc bề mặt của vật rắn hơn là hình dáng hình học toàn khối của chúng dẫn đến sự đơn giản hoá đáng kể về mặt toán học.
Hình 1-10. Phân bố ứng suất do tải trọng phân bố tác dụng lên vật thể semi-infinite.
Khảo sát tác dụng của tải trọng pháp tuyến phân bố đều p theo y trong mặt phẳng o'xz (o' là điểm đặt lực) tại điểm có toạ độ (E, O) của một vật thể rắn semi- infinite (Hình 1-10(a)). Vùng biến dạng đàn hồi trong mặt phẳng này giới hạn bởi đường nét đứt. Khảo sát tác dụng của p trên một đơn vị chiều dài theo phương y thì P = 1.p, ứng suất hướng kính σ xác định theo lý thuyết đàn hồi như sau:
Các ứng suất tiếp σθ và τrθ đều bằng 0.
Đây là trạng thái ứng suất nén đơn phụ thuộc vào cả r và θ. Sử dụng vòng tròn Mohr cho trạng thái ứng suất phẳng (Hình 1-10(b)), ta xác định được các thành phần ứng suất theo các trục toạ độ o'x và o'z như sau.
Chuyển toạ độ của các thành phần ứng suất theo hệ toạ độ OXZ (gốc O cách o' một khoảng là E ta có:
Hình 1-11: Ứng suất sinh ta do tải trọng tiếp tuyến đơn tác dụng
trên vật thể rắn nửa vô hạn (sellzi-infinite).
Với cách tiếp cận tương tự ứng suất hướng kính do một tải trọng đường đơn T tác dụng ở o' xác định như sau:
Ứng suất ấy cũng phụ thuộc vào cả r và θ'.
Tương tự ta cũng xác định được các thành phần ứng suất theo phương các trục toạ độ của hệ trục toạ độ đề các OXZ:
Thay T = fP trong đó: f là hệ số ma sát thích hợp, các thành phần ứng suất do cả P và T gây ra tại một điểm có toạ độ (X, Z) sẽ cho quy luật phân bố ứng suất gây ra bởi tiếp xúc ma sát đơn giản. Việc giải bài toán này tuy nhiên còn gặp phải một trở ngại đáng kể bởi vì tại r = 0 (tại O') ứng suất tiến tới vô cùng và điều đó không phù hợp với thực tế. Thực ra trong các tiếp xúc thực luôn tồn tại một diện tích tiếp xúc giới hạn nào đó giữa hai vật thể làm thay đổi điều kiện biên này và giá trị ứng suất tại đây là hữu hạn.
5.2.2. Tải trọng phân bố
Khảo sát tải trọng phân bố đều gây ra áp suất tiếp xúc trên vùng từ O đến a trên bề mặt vật rắn semi-infinite. Nếu lấy kích thước khảo sát theo phương y bằng 1 đơn vị thì tải trọng tổng hợp P sẽ:
Khảo sát một phân tố diện tích chiều dài dε tại toạ độ (ε, O), lực tác dụng lên phân tố này là pdε (Hình 1-12(a)). Ứng suất tại điểm có toạ độ (X, Z) xác định theo công thức (1-42) với tải trọng p được thay bằng pdε.
Rõ ràng ứng suất tại điểm có toạ độ (X Z) do dàn lực phân bố đều sẽ là tổng ứng suất do pdε gây ra khi E biến thiên từ 0 đến a.
Khảo sát tải trọng tiếp tuyến T = fP phân bố đều trên vùng từ 0 đến a và tại mỗi điểm trong khoảng (0,a) lực ma sát sẽ là tdε = fpdε (Hình 1- 12(b)) nên:
Tương tự như tải trọng pháp tuyến, ứng suất do dàn lực tiếp tuyến phân bố đều t được xác định theo công thức (1-42) như sau:
Hình 1-12: Sơ đồ tải trọng phân bố pháp tuyển và tiếp tuyến tác dụng trên vật thể rắn semi-infinite.
Ứng suất do cả tải trọng pháp tuyến và tiếp tuyến gây ra sẽ là tổng đại số các ứng suất tương ứng trong các phương trình (1-44) và (1-46).
Khi tải trọng pháp tuyến và tiếp tuyến trên vùng tiếp xúc phân bố theo một quy luật bất kỳ thì ứng suất tổng hợp tại một điểm (X, Z) vẫn được xác định theo nguyên tắc trên với p = p(ε) và t = t(ε).
Hình 1-13: Sơ đồ các đường đẳng áp suất các đại hằng số.
Trong tất cả các phương trình trên ta đã giả thiết rằng biến dạng ở chỗ tiếp xúc của các vật thể là đàn hồi, nhưng ngay cả trong những trường hợp này ta vẫn phải quan tâm đến cả ảnh hưởng có thể của biến dạng dẻo.
Tiêu chuẩn đơn giản nhất để biến dạng dẻo bắt đầu xảy ra là ứng suất tiếp cực đại đạt tới ứng suất tiếp giới hạn của vật liệu k, k = Y/2, trong đó Y là giới hạn chảy của vật liệu khi kéo đơn. Trong trường hợp biến dạng phẳng nêu trên, ứng suất tiếp cực đại nằm trong mặt phẳng OXZ và có trị số bằng bán kính của vòng tròn Mohr ứng suất.
Tất cả các điểm có cùng τmax sẽ nằm trên vòng tròn có đường kính b chỉ ra trên Hình 1 - 13 (a) và
Điều đó có nghĩa rằng ứng suất tiếp cực đại bằng hằng số tại mọi điểm trên vòng tròn đường kính b. Từ đây ta có thể vẽ các đường đẳng ứng suất và xác định được vị trí mà tại đó τmax = k là vị trí mà biến dạng dẻo xảy ra đầu tiên.
Mô hình này hoàn toàn phù hợp với kết quả thí nghiệm phân tích ứng suất sử dụng photoelastic.
Khi tải trọng pháp tuyến tập trung hoặc phân bố đều, các tính toán về τmax cho các kết quả như trên Hình 1-13(b, c). Có thể thấy rằng trong cả hai trường hợp vật liệu sẽ đạt trạng thái giới hạn đầu tiên tại bề mặt khi tăng tải đến mức Tmax = k.