1.1 Bài “Nguyên hàm”:
Vì khái niệm nguyên hàm có liên quan chặt chẽ với khái niệm đạo hàm nên trước khi
định nghĩa nguyên hàm, SGK đặt ra bài toán với yêu cầu ngược lại với bài toán khi học vẻ
đạo ham ở chương | bài 1, đó là : “Cho hàm sé f{x) xác định trên khoảng (a,b). Tìm các hàm
số F(x) sao cho trên khoảng đó, F'(x)=f(x)” (trang 111). Sau đó SGK định nghĩa: “ Ham số F(x) được gọi là nguyên hàm của f{x) trên khoảng (a,b) néu Wx € (a,6), ta có F'(x)=fx)"
(trang 112). Từ bai toán, SGK muốn HS thấy được mối liên hệ giữa đạo hàm vả nguyên
ham, tử đó tự minh hình thành được khái niệm nguyên hàm. Hơn nữa, khi đưa ra bai toán
như vậy, HS sẽ mong muến giái quyết được bài toán, từ đó kích thích tính tò mò, ham muốn
tìm hiểu của HS. Như vậy, SGK đã quan tâm đến việc phát huy tinh tích cực, tự giác của
HS.
Tiếp đó, SGK đưa vào chứng minh 4 tính chất quan trọng của nguyên ham va thừa
nhận sự tổn tại của nguyên ham. Dựa vào các tinh chất và bang đạo ham của các ham số
thường gặp. SGK đưa ra bảng nguyên hàm bao gồm các hàm số sơ cấp thường gặp va các
hàm số hợp. Tử bang nguyên ham và các tính chất HS có thé tìm được nguyên hàm của một
———————---
SVTH: Phạm Thị Hoài Thuong 3Ị GVHD: TS.L.ê Văn Phúc
Phát huy tinh tích cực, tự giác của HS thông qua dạy học chủ để nguyên ham - tích phân
số hàm số đơn giản, nhưng vẫn còn rất nhiều ham số phức tạp hon ma việc tìm nguyên ham của chúng không thé áp dụng được trực tiếp bảng nguyên ham. Do đó SGK nên đưa thêm
vào day các phương pháp tính nguyên hàm ( 2 phương pháp đôi biến số và tích phân từng phần) và những vi dy cy thé dé HS có thé làm được các bai tập nâng cao và bước đầu làm quen với 2 phương pháp điển hình này trong việc tính tích phân vẻ sau.
Sau đó SGK đưa ra 7 ví dụ, 3 vi dụ đầu đơn giản, HS dễ tiếp thu vi áp dụng trực tiếp bang nguyên ham các ham số sơ cấp thường gặp, 4 ví dụ sau hơi khó, sẽ gây khó khan cho
HS khi áp dụng nguyên ham của hàm số hợp. vì kiến thức vẻ ham số hợp đã học từ lâu nên
HS đã quên hoặc có thê không nắm vững. Nếu SGK đưa ra phương pháp tính nguyên hàm
bảng cách đổi biến số thi HS để dàng tiếp thu và SGK không cần trình bày bảng nguyên hàm của hàm số hợp và tính chat 4 của nguyên ham, vừa dé hiểu, vừa gon gang, mà còn giúp HS
khỏi b& ngỡ khi học bai "các phương pháp tính tích phân”.
1.2 Bài “tích phan”:
Trước khi định nghĩa tích phân, SGK đưa ra bai toán tính diện tích hình thang cong và
đưa ra cách giải rồi từ đó đưa ra kết qua 1a định lý: “Giả sử y=f(x) là 1 hàm số liên tục va
#(x)>0 trên [a,b]. Thể thì điện tích của hình thang cong giới hạn bởi đỗ thị của hàm số
y=fx), trục Ox và 2 đường thẳng x=a, x=b là S=F(a)-F(b), trong đó F(x) là | nguyên hàm
bắt ki của f(x) trên đoạn [a,b]"( trang 122). Ở đây, SGK đưa ra lý thuyết về điện tích hình
thang cong nhưng không dựa vào đó để định nghĩa tích phân mà chỉ dùng dé nêu lên ý nghĩa hình học của tích phân. Đông thời SGK trình bày rất rd ràng về cách giải quyết bai toán đưa ra ban đầu, qua đó HS hiểu rõ vẻ cách tính diện tích hình thang cong, va nhờ đó có thẻ tính điện tích của những hình phẳng bắt ki (bằng cách chia thành nhiều hình thang cong dé tinh ).
SGK trình bay như vậy là nhằm mục dich cho HS thấy ngay ý nghĩa, tam quan trọng của tích phân. từ đó gây hứng thú cho HS khi học vẻ chủ dé tích phan, Nhu vậy SGK định nghĩa
nguyên hàm và tích phân rất dé hiểu, SGK đã tránh đưa ra định nghĩa chỉnh thức của tích phân mà dùng công thức Newton-Leibniz để định nghĩa. SGK đưa vào như vậy vì định
nghĩa như thé thì dé hiểu, HS có thé năm được, phủ hợp với trình độ HS phê thông. Tuy nhiên định nghĩa như vậy có những hạn ché:
SVTH: Phạm Thị Hoai Thương 32 GVHD: TS.Lê Văn Phúc
- HS không thay được ban chất đích thực của tích phân. không thấy được lý do tích
phan lại có được ứng dụng rộng rai như vậy. Do đó HS chỉ biết tính tích phan theo công thức
một cách máy móc và sẽ không biết áp dụng tích phân vào các vấn để thực tiển một cách
linh hoạt.
- GV khó có thẻ giải thích cho HS nguồn gốc của hi hiệu Í
- Không thé chứng minh được rằng mọi ham số liên tục đều có nguyên ham.
Vi vậy, SGK nên giới thiệu thêm cho HS trong các bài đọc thêm dé chi cho HS biết
rằng đây không phải là định nghĩa đúng của tích phân ma chi là | công thức. Diéu này cũng giúp HS khỏi bờ ngỡ khi được học về định nghĩa tích phan ở bậc đại học.Đông thời nên giới thiệu thêm vai nét về lịch sử ra đời của tích phân.kí hiệu tích phân, tên gọi của công thức
Newton-Leibniz đồng thời giới thiệu sơ lược vẻ tiểu sử 2 nha toán học này. Điều này sẽ tạo được nhiều hứng thú hơn cho HS trong học tập.
Khi nghiên cứu các tính chất của tích phân, SGK đưa ra 9 tính chất, và chứng minh tính chất 4,6,7,8 còn các tính chất khác HS chứng minh tương tự vi cũng đơn giản. Như vậy SGK luôn trình bay va chứng mình rõ ràng các kết quả, định lý để HS hiểu rõ bản chất chứ không chí là học cho biết. Sau đó SGK đưa ra 1 ví dụ về tích phân ham da thức, | ví dy ham lượng
giác. | ví dụ hàm chứa giá trị tuyệt đối, 1 ví dụ về chứng minh bắt đẳng thức tích phân. Đó
là những vi dụ đơn giản, có thé áp dụng trực tiếp bảng nguyên hàm. Trong bai này, SGK không đưa ra những ví dụ phức tạp vi sẽ được nghiên cửu ở bai tiếp theo.
1.3 Bài “Các phương pháp tính tích phân”:
Trong bai nay, SGK đưa ra 2 phương pháp tính tích phân cơn bản là phương pháp đôi biến số và phương pháp tích phân từng phan. Đây là 2 phương pháp tính tích phân điển hình
nhất trong việc giải các bài toán tính nguyên hàm - tích phân. Nếu như SGK đưa ra các phương pháp tính nguyên hàm sau khi học về nguyên hàm thì đến đây việc đưa ra các
phương pháp tính tích phân dễ đàng hơn đối với HS.
Đối với phương pháp đổi biến số.SGK néu ra 2 dạng đôi biến số, với mỗi dang SGK
đều đưa ra cơ sở lý thuyết, quy tắc đổi biến số rất rd rang vả các ví dụ minh họa day đủ.
SGK đưa ra $ ví dy minh họa cho phương pháp đôi biến số dang |.
OO I wh
SVTH: Phạm Thị Hoài Thương 33 GVHD: TS.Lê Văn Phúc
Phát huy tính tích cực, tự giác của HS thông qua dạy học chú dé nguyên hàm - tích phân
VDI: Tính ÍýI-x'&
de
VD2: Tính {—— (trang 131)lex?
VD3: Tinh eed
° -
VD4: Tinh [—-^“
/x'+exr*+l
Š 2 :
VDS: Chứng minh rang Joos” xdx = [sin" xảy
0 °
VDI, VD2 là 2 vi dụ kinh dién của phép đổi biến số trong việc tinh tích phân.
VD3,VD4 là bài toán mở rộng của VDI, VD2. Qua việc giải quyết VD3, VD4 HS tự minh hình thành được cách tìm tích phân mà những hàm số dưới dấu tích phân có chứa
V4° —x' hay a® +x", đó là đặt x=asint ( hoặc acost) và đặt x=atant ( hoặc acots ). SGK chi
đưa ra vi dụ mang tinh chất minh họa chứ không trình bay như 1 dang toán cụ thé, vì dụng ý của SGK là cho HS tự mình hình thành được kha năng linh hoạt, mén dẻo, sáng tạo trong
quá trình tìm lời giải đối với các dạng khác nhau. Do đó trong khi dạy học, GV can phát huy
được tính tích cực, chủ động của HS bằng cách cho HS tự mình rút ra được phương pháp giải đối với một số dạng.
VD5 cũng là ví dụ điển hình trong việc chứng minh đẳng thức tích phân của hàm lượng
giác. Lợi dụng mối quan hệ của 2 hàm sinx và cosx trong trường hợp 2 góc phụ nhau dé đưa tích phân của hàm sinx về tích phân của hàm cosx và ngược lại, từ đó tim ra mối quan hệ
giữa chúng. Phương pháp này áp dụng khá nhiều trong việc tính tích phân mà hàm dưới dấu
tích phân chỉ chứa sinx và cosx và cận tích phân từ 0 đến =.
..
Giải VDS:
Đật xeS-t>&=-dt
SVTH: Phạm Thị Hoài Thương 34 GVHD: TS.Lê Văn Phúc
Phát huy tính tích cực, tự giác của HS thông qua dạy học chủ để nguyên ham - tích phân
=> Joos” xdx = [e=€ —t}‡k = sin” tdt = [sin xdx
LJ ; 0 "
SGK dua VDS là rất hay, tuy nhiên SGK nên đưa thêm | ví dụ mở rộng hơn, và bằng cách sử dụng phương pháp tương tự hoặc vận dụng VD5, HS sẽ giải quyết được bai toán, chẳng hạn ví dụ sau:
‡ 5 2 a |
VD: Tinh / = [2° XÃ và y = [0 sk_
¿ Sinx+COSxX ọ sin x+cosx
Chứng minh tương tự VDS ta cỏ: I=J
Thật vậy, đặt oo
3% ' =
sys] “os C- a Vị Như. sin’ tdt ee sin’ xẻ oe
*sin(% 1) +005 ~) j€O@sf+sin? 7 sinx+cosx
Ngoài ra
‘sin’ x + cos” x ;
I+J =f dx = [isin’ x+cos” x—sin xeos x)dx
¿ sinx+cosx ?
l+Js = Jq-sshoexs œ+ e2 ô as;
Vay: /=J~#—Ì
Qua VDS, HS sẽ nghĩ ngay đến việc vận dụng nó dé giải bài toán trên. Như vậy, nếu
chúng ta dua vi dụ trên vào ngay sau VDS, HS sẽ tích cực suy nghĩ và tự minh giải quyết tốt
bài toán đó, hơn là việc đưa bài toán trên vào trong giờ bài tập, vì HS sẽ khó tận dụng được
kiến thức này | cách nhanh chóng mà cần phải có sự hướng dẫn của GV, điều đó sẽ làm
giám kha năng tích cực suy nghỉ cũng như khả năng linh hoạt của HS.
Đối với dạng 2, SGK đưa ra 6 ví dụ.
SVTH: Phạm Thị Hoài Thương 35 GVHD: TS.Lê Văn Phúc
_ A 2x
VD2: Tinh j cos(3x = Se
,
dk
VD3: Tính i xinx
VD4:Tính a)ƒ—“ nf-<
?(2x-
;2x-l
VD5: Tinh | Aare" D
x +x)
VD6: Tinh f eres
1x -x-
VDI, VD2, VD4 mà SGK để cập đến là các vi dy rit đơn giản và tương tự nhau đã
được để cập đến trong bài nguyên ham mà không dùng đến phép đổi biến số. GV chi cần lấy 1 ví dụ dạng này va làm theo 2 cách là đủ. Riêng VD3 rất cần thiết để HS nắm rõ phương
pháp đổi biến sé trong trường hợp ham số đưới dau tích phân là tích của 2 loại hàm sé khác nhau, Ngoài ra nên đưa thêm | sé ví dụ tích của hàm đa thức và ham số mũ, đa thức và ham
lượng giác,... mà dùng phương pháp đổi biến số. Ví dụ như:
1 Pa ue
Tính [@x+l)e'“*"4; f —eos(ln xjdr; - [3x°sinx`~z)#
° ! bà
Điều này sẽ giúp HS khi học vẻ tích phân từng phần, HS sẽ biết lựa chọn khi nào nên dùng đổi biến số, khi nào nên dùng tích phân từng phan.
VDS, VD6 là trường hợp ham phân thức, ma ở VD5 là dùng ngay phương pháp đôi
biến số, còn VD6 HS phải dùng phương pháp đồng nhất thức để đưa tích phân ban đầu thành tổng của các tích phân những phân thức đơn gián hơn rồi mới dùng đối biến số được. Do đó
SGK đưa như vậy là rất hay, HS sé hình dung ra được nếu không đổi biển số ngay được thi phải đồng nhất thức trước đã. Tuy nhiên phương pháp đồng nhất thức còn xa lạ với HS, do đó khi dạy học, GV cần đưa thêm nhiễu vi dụ để HS khỏi bờ ngờ khi gặp phải dạng này.
SVTH: Phạm Thị Hoài Thương 36 GVHD: TS.Lê Văn Phúc
Phát huy tính tích cực, tự giác của HS thông qua dạy học chủ đề nguyên hàm - tích phân
Ngoài ra, khi day học. GV nên cho HS tự hình thành | số công thức sau dé HS có thé
làm nhanh đối với những bai toán đơn gián:
= == 1 fA) ôLinx +4) +0
ax+b ax+b a
[tax+ằ dent ~ fiac+by" d(ax+b)=— Cl) +ca nei
“+ " ˆ fen" dax +b)= ne" +c
[cos(ax +b)dr = LU foos(ax +b)d(ax+b)= J tert) +e
a a
[sin(ax +b)d = 1 — fsintax +b)d(ax+b)= al el ete BYE
a
dx | d(ax +b) iil,
le ?(ax +b) =i "(ax +b) Arete
dy d(ax +b) 1
es |————— ~ —-— b +
lim *(ax+6) “fa *(ax+b) Pana đấu
Phương pháp tich phân từng phần SGK trình bay rất ngắn gọn gồm đúng | định lý có
kém chứng minh va 3 ví dụ minh họa.
VDI: Tinh 2%$
lá
.2
VD2: Tính |xcos xdx
VD3: Tinh [xe&i 0
Đây là 3 vi dụ rất điển hình cho phương pháp tích phân từng phần. Vì ở phần phương pháp đôi biến số SGK đã nêu lên dạng tích phân mà biểu thức dưới dấu tích phân là tích các ham số khác nhau mà dùng đôi biến số rồi, do đó khi gặp những ví dụ trên HS sẽ thấy được
là không thẻ dùng phương pháp đổi biến số mà phải dùng | phương pháp khác. Từ đó
phương pháp tích phân timg phần được giới thiệu | cách tự nhién.Ngoai ra SGK cũng nên
đưa thêm một số vi dụ vẻ tích phân luân hồi như sau:
VD: Tính 1)J= fe* sin xdx 2)1 = [eos(In x)d&
SVTH: Phạm Thị Hoài Thương 37 GVHD: TS.Lê Văn Phúc
Phát huy tính tích cực, tự giác của HS thông qua dạy học chủ để nguyên hàm - tích phân
Giải:
|# = sinx du = cos xdx
me vee’
Suy ra J =e" sin xỈ” - fe cos xét = —J,
3
Với J, = Íe' cosx&
©
Linh J); Dat u=COSX du = ~sin xdx
=
dv =e'dx vee
Suy ra J, =e" cosx| + fe" sinxdx=-e" -1+J
q
=SJse°+li-J2Jô^ +*.
2) Đặt va - = cos(Ìn x) , = —Ì satin x)dy=> x
Suy ra:
[= xcos(in xf + fsin(in x)de
'
=-¢" -1+/,
Với /, = Í sin(In x)dx
1 : BDTinh l;: Dat bung
vex
u = sin(ln x) # = 1 sos(n x)dx=> x
>= xsin(inx - Ícostn x)#&t =~Í
SVTH: Phạm Thị Hoài Thương 38 GVHD: TS.Lê Văn Phúc
Phát huy tính tích cực, tự giác của HS thông qua dạy học chủ để nguyên hàm - tích phân
Tích phân từng phan [4 | phương pháp rat quan trọng dé tính tích phân, do đó khi dạy
GV cân làm cho HS hiểu được bản chất của phương pháp nay, từ đó HS sẽ tự hình thành cho
minh | kha nang lính hoạt khi gặp các bai tính tích phân.
1.4 Bài “Ứng dụng hình học và vật lý của tích phân”
Dựa vào diện tích hình thang cong đã biết ở bài tích phân, SGK dẫn dắt đến công thức tính diện tich hình phẳng giới hạn bởi dé thị hàm y=f{x), 2 đường thẳng x=a, x=b va trục Ox
là S= Í f(x) dx. Tiếp đó SGK đã đưa ra công thức tính tích phân hình phẳng giới hạn bởi 2 đường thing x=a, x=b và dé thị của 2 hàm số y, = /(x);y; = /;(x) liên tục trên {a;b] là :
S= | /4(œ)= /;(x)#x,đồng thời SGK còn hướng dẫn kĩ hơn nữa về cách tinh tích phân trên.iJ
Tiếp đó SGK đã đưa ra 2 ví dụ minh họa và 2 ví dụ yêu cầu tính diện tích hình tròn,
elip. Các ví dụ này | lan nữa giúp HS nắm vững kiến thức hơn, mặt khác cho HS thấy được sự đúng đắn của công thức đưa ra và kiểm tra được những công thức điện tích các hình đã
được học từ trước đó. Ngoài ra, khi dạy học, GV có thé lấy thêm nhiêu ví dụ về công thức điện tích khác nữa dé HS kiểm tra như: hình vuông, hình chữ nhật,...như vậy sẽ tạo cho HS sự thích thủ và HS nắm vững kiến thức dé dang hơn.
Ở phần tính thé tích của vật thé, SGK đã đưa ra công thức tinh thể tích: V = [So
sau đó SGK đưa ra ví dy minh họa là tinh thể tích khối nón, khối chóp, khếi nón cụt (chóp cụt). Sau đó SGK đưa ra tiếp công thức tính thể tích vật thể tròn xoay mà không chứng
minh, và cũng đưa ra 3 ví dụ trong đó có 1 ví dụ là tính thể tích khối cầu. Như vậy, ở đây
SGK không chú trọng việc cho HS chứng minh những công thức trên mà chỉ đưa ra những
ví dụ minh họa đồng thời cho HS nắm được các công thức, qua đó kiểm tra được những công thức tinh thể tích các hình đã học. Cuối cùng SGK nêu lên 2 bai toán cho thấy ứng
đụng vật ly của tích phân, sau đó trình bay cách tính 2 tích phân đó. Tuy nhiên 2 bai toán đó
chưa nói lên được nhiều về ứng dụng vật lý của tích phân cả, mà chỉ như là dé HS luyện tập
tính tích phân. Do đó SGK không nên trình bày việc tính 2 tích phân đó mà chỉ nên giới
thiệu 2 bai toán đó và giới thiệu thêm 1 số ứng dụng vật lý khác nữa. Như vậy, HS sẽ thấy
—=—ù———————-ềớ...ỳ-s=
SVTH: Phạm Thị Hoài Thương 39 GVHD: TS.Lé Văn Phúc
Phát huy tính tích cực, tự giác của HS thông qua day học chủ để nguyên ham — tích phân
được nhiều ứng dụng của tích phân hơn, tir đó thay được tam quan trong cúa tích phân và có hứng thú học hơn vẻ chủ dé nay.