Hệ thống bài tập khá phong phú, bao gồm các đạng:
- Tìm nguyên hàm của các hàm số.
- Tỉnh tích phân của các hàm số.
- Chứng minh bat dang thức tích phân.
- Tính diện tích hình phẳng và thé tích của các vật thé.
Các bài tập đưa ra nhiều mức độ từ dé đến khó giúp HS rèn luyện kĩ năng tỉnh toán, đồng thời biết vận dụng linh hoạt các phương pháp trong các tình tình huống quen thuộc.
SGK còn đưa ra phan “Bai tập ôn tập chương III” là cần thiết, vì giúp HS hệ thống hóa
lại các kiến thức, rèn luyện khả năng thay đổi phương pháp giải đối với các đạng toán khác
nhau.
Tóm lại: SGK chính lý hợp nhất đã trình bày khá đây đủ, cụ thé và logic về chủ dé
tích phân đông thời qua cách trình bày chúng ta cũng thấy được SGK đã quan tâm đến việc cho HS tích cực suy nghĩ, tim ti và khám phá kiến thức mới đồng thời cho HS thấy được
tằm quan trọng và ứng dụng của tích phân. Tuy nhiên, SGK cần quan tâm nhiều hơn nữa đến việc phát huy tính tích cực của HS, bằng cách đưa thêm nhiều hoạt động cho HS để HS tự
mình khám phá ra tri thức mới, chứ không phải học một cách gượng ép, máy móc, đồng thời
nên bổ sung thêm một số dang bài tập vận dụng tích phân hoặc liên quan đến tích phân, từ
đó HS sẽ thấy được nhiều điều lý thú khi học về tích phân, và do đó s3 tích cực, chủ động học tập. Do đó, khi dạy học, người GV cần xây dựng các biện pháp dạy học thích hợp dé
phát huy được tính tích cực, tự giác của HS trong học tập.
Il. SÁCH GIAO KHOA THÍ DIEM: (SGKTD)
SGKTD trình bảy nội dung nguyên hàm - tích phân theo thứ tự: nguyên hàm, các
phương pháp tính nguyên hàm, tích phân, các phương pháp tính tích phân, ứng dụng của tích
phân trong hình học.
1. Hệ thống lý thuyết:
1.1 Nguyén ham, các phuong pháp tính nguyên hàm :
SVTH: Phạm Thị Hoài Thương 40 GVHD: TS.Lê Văn Phúc
Phát huy tính tích cực, tự giác của HS thông qua day hoc chu dé nguyên hàm - tích phân Trước khi định nghĩa nguyên ham, SGKTD đã đưa ra nhiều hoạt động cho HS hon
SGK chinh lý hợp nhất. Chang hạn như:
Hoạt động 1( SGKTD bộ 2 trang 131): “Tim ham số F(x) sao cho F*(x)=fẹx). nếu;
a) fx)=3XỶ với xe(—s,+#})
— VỚI x€(- = ve
cos’ x 22
Tir những hoạt động đó, HS dé dang thấy được mối liên hệ giữa nguyên hàm và đạo
ham, vả cùng dé dang tiếp nhận khái niệm đạo ham hơn. Ngoài ra SGKTĐ bộ 2 dành cho
ban KHTN nên đã nêu lên các hoạt động cho HS tự chứng minh một số định lý chứ SGKTĐ
bộ 2 không chứng minh, đông thời còn nêu nhiều khái niệm khác cho HS như: đạo hàm một
bên,nguyên ham trên một đoạn.
Khác với SGK chính lý hợp nhất, SGKTD đã giới thiệu cho HS 2 phương pháp tinh
nguyên hàm là phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phan, vả giới thiệu rất nhiều ví dụ. Vì vậy SGKTD đã không cần phái trình bay bảng nguyên ham của các hàm sé hợp, đồng thời HS có thé tìm được nguyên hàm của các hàm số phức tạp hơn, và không
bở ngỡ khi học bài các phương pháp tính tích phân. Hơn nữa SGKTD bộ 2 còn đưa ra nhiều
hoạt động cho HS để HS có thể hiểu sâu hơn và nhanh chóng nắm vững kiến thức hơn.
Chẳng hạn:
Hoạt động 8 (SGKTD bộ 2 trang 139): “Hay lập bang theo mẫu dưới đây và điển u và dv thích hợp vào ô trống theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần
| a a a Fe
b) f(x) = ya
chung khi gặp những dang toán trên, chứ không phải GV hay SGK nêu ra công thức cho các em. Khi thực hiện hoạt động trên, HS sẽ tự mình trả lời các câu hỏi: phải áp dung phương
pháp tích phân từng phan như thé nào? Chọn u, dv làm sao? Thông qua đó HS sẽ hiểu được
SVTH: Phạm Thị Hoài Thương GVHD: TS.Lê Văn Phúc41
Phát huy tỉnh tích cực, tự giác của HS thông qua day học chủ dé nguyên ham — tích phân
ban chất của phương pháp tích phân từng phan, đồng thời rèn luyện được khả năng linh hoạt,
sang tao khi gặp các dang toán khác nhau.
Hoạt động 10 (SGK TĐ bộ 2 trang 141): “ Lập bang nguyên hàm tương ứng với bảng
nguyên hàm đã cho ở mục §, bài 1, néu hàm sé sơ cap viết ở dang hàm hợp f{u) với u=u(x).
Ching hạn fae = In|x|+€ => F = In|u(x)jJ+€ .”
Như vậy khác với SGK chỉnh lý hợp nhất, thay vi SGK dua ra bảng nguyên hàm của các ham số hợp thi SGKTD bộ 2 đã đưa ra hoạt động đẻ chính HS hình thành được bảng
nguyên hàm các ham số hợp, HS sé dé hiểu và nhớ được lâu hơn. Như vậy SGKTD đã đặt
HS ở vai trò trung tâm của mọi hoạt động, GV chi là người hướng dẫn chi bao dé HS tự hình thành kiến thức cho minh.
1.2 Tích phân, các phương pháp tính tích phân:
Cũng giếng SGK chỉnh lý hợp nhất, SGKTD bộ 2 đã đưa ra các hoạt động dé HS tìm được công thức tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đô thị hàm số y=f{x), trục Ox, 2 đường thing x=a.x=b; còn SGKTD bộ | đo trình bay cho HS ban KHXH nên trình bày đơn
giản hon, chỉ xét trường hợp đơn giản khi y=f{x)=kx+p là 1 hàm bậc nhất. Sau đó SGKTĐ đưa ra định nghĩa tích phân giống như SGK chỉnh lý hợp nhất. Tuy cũng định nghĩa tích
phân theo công thức Newton — Leibniz nhưng SGKTD đã giới thiệu sơ lược cho HS hiểu hơn vẻ định nghĩa đúng của tích phân, lịch sử hình thành tích phân và giới thiệu sơ lược về tiểu sử cúa 2 nhà toán học Newton, Leibniz trong các bài đọc thêm. (SGKTD bộ | trang
128-129, 144-147 ; SGKTD bộ 2 trang 159, 161-163, 177). Hiểu thêm về định nghĩa tích
phân, biết thêm vẻ tiểu sử các nhà toán học liên quan, điều này sẽ tạo cho HS nhiều hứng thú
học tập, nghiên cứu hơn về chủ đẻ này.
1.3 Ứng dụng tích phân trong hình học:
SGKTD đã lược bỏ phần ứng dụng vật lý của tích phân và trình bày ứng dụng hình học cũng tương đối gọn gang, ngắn gọn hơn. Trước khi vào bài, SGKTD bộ | đã nêu lên một số ứng dụng và tim quan trọng của tích phân trong thực tiển. Điều này sẽ làm cho HS có 1 sự
thích thú khi học bài này. Đông thời khi vào bài, SGKTD bộ | cũng chi đưa ra các công
thức, sau đó nêu ra nhiễu ví dụ để HS áp dụng, trong đó có những ví dụ để HS kiểm tra được
SVTH: Phạm Thị Hoài Thương 42 GVHD: TS.Lê Văn Phúc
công thức tính điện tích elip, công thức tinh thé tích hình chóp thé tích khối cau, thé tích
hình nón. Qua những vi dụ đỏ HS dé dàng năm được công thức. SGK TĐÐ bộ 2 cùng chỉ đưa
ra công thức sau đó là các ví dụ. trong đỏ có ví dụ vẻ diện tích elip, thé tích khối lãng trụ, the
tích khối chóp và khối chóp cut, thể tích khối cầu, thé tích hình nón. SGKTD cũng không
hướng dẫn kỉ việc tính Í|//(x)- /;(x@& mà chi cho HS làm nhiều ví dụ để nắm được cách
làm. Như vậy ở phản ứng dụng cua tích phân, SGKTD đã loại bó những phần không can thiết và gây khó khăn đổi với HS, đồng thời đưa ra nhiều ví dụ để qua đó HS tự minh hinh thành phương pháp tính diện tích cũng như thé tích của các hình bằng phương pháp tích
phân. SGK TÐ chi yêu cầu ở HS là nắm được cách tính diện tích, thé tích và điều quan trọng nhất là thay được ứng dụng của tích phân trong hình học là rat rộng rãi.
2. Hệ thống bài tập:
Cũng như SGK chỉnh lý hợp nhất, SGKTĐ đã đưa ra rất nhiều bài tập đa dạng va
phong phú. Ngoài ra do SGKTD trình bày riêng cho ban KHTN và KHXN nên hệ thống bài tập đưa ra đã có sự phân loại riêng, đối với ban KHXH các bài tập tương đối đơn gián hơn,
côn đối với ban KHTN thi bài tập có phần khó hơn, phức tạp hơn, đòi hỏi sự tư duy cao hơn.
Chang hạn đối với ban KHXH, SGK không đưa ra dang bài tập chứng minh bắt ding thức
tích phân, còn đối với ban KHTN, SGK đã đưa ra 2 bài về chứng minh bắt đẳng thức tích phân ( Bài 6 trang 161, bài 5 trang 174 SGKTD bộ 2). Đồng thời do yêu cầu ở HS là phải hiểu sâu kiến thức chứ không chi là biết tính toán, do đó SGKTĐ đã đưa ra một số bài tập dạng lý thuyết dé HS khắc sâu kiến thức hơn (Chẳng hạn: bài 1,2 trang 173 SGKTD bộ 2 ;
bai 8 trang 127, bai 9 trang 128, bai 32 trang 148 SGKTD bộ 1;...). Ngoài ra SGKTĐ còn
đưa ra nhiều bải toán nói về ứng dụng của tích phân trong các lĩnh vực khác nhau (chẳng hạn
bài 3.15, 3.16, 3.17, 3.32, 3.33 sách bài tập giải tích 12 - SGKTĐ dành cho ban KHTN), từ
đó HS sẽ thấy được ứng dụng rộng rãi của tích phân trong cuộc sống, do đó sẽ kích thích
được tính tích cực, chủ động của HS trong hoạt động nhận thức.
Tóm lại:
SGKTD đã khắc phục được một số hạn chế của SGK chỉnh ly hợp nhất, đông thời đã quan tâm nhiều hơn đến việc phát huy tích tích cực chủ động của HS. Điều đó thé hiện qua
SVTH: Phạm Thị Hoài Thương 43 GVHD: TS.Lê Văn Phúc
Phát huy tính tích cực, tự giác của HS thông qua day học chủ dé nguyên hàm - tích phân việc nhiều hoạt động được đưa ra hơn cho HS, giới thiệu cho HS nhiều điều lý thú hơn về bai học thông qua các bai đọc thêm. Đông thời hệ thống bài tập phong phú, đa dạng, nhiều
mức độ hơn.
Tuy nhiên, SGKTD cũng chưa đưa ra được nhiễu bai tập liên quan đến tích phân hoặc
vận dụng tích phân đẻ HS thấy được cái hay vả lý thú khi học vẻ tích phân cũng như sự
thông nhất, liên quan giữa các kiến thức toán học với nhau. (chẳng han bài tập về tim đạo
ham dudi dấu tích phần, ứng dụng của phương pháp đổi biến số đẻ lấy tích phân của những ham cỏ tinh chat đặc biệt)
VDI:Tìm đạo ham của F(x) = fineat
1
Giải:
Hàm f=lnt liên tục V¿ > I.
Tacó: F(x) = /(x)=lnx.
VD2: Tính đạo ham của F(x) = fea
Giai:
Đặt : x` =u = x=Vu(x>0)
Từ đó: F(x)= fe" đe F(Vu)= [e “# = g(u)
|
=> [F'(x)] = (g{u])' = g (w).u'(x) (Theo công thức đạo ham của hàm hợp)
=e" 2x =2xeTM
VD3:Chứng minh rằng nếu f(x) là hàm số chin liên tục trên đoạn [-a;a] thì ta có:
[expe =2 [foes
Áp dụng: Chứng minh rằng : femae = 2 fedei Ù
Giải:
Ta biết rằng ham f là ham chin nếu thỏa 2 tính chất:
—e.—>————————r-rnx-r-rx-r-=—xcrcrcr-—---r-cr-crcrc—-sr-crỶ-scrỶ-—-.
SVTH: Phạm Thị Hoài Thương 44 GVHD: TS.Lê Văn Phúc
Phát huy tính tích cực, tự giác của HS thông qua dạy học chủ dé nguyên hàm - tích phân - Miễn xác định D có tính chất đối xửng: Vxe D;-xe D
- Và f(x)=Í(-x); Vxe D
Ta có: [ro&= [fey + [ards
Nhung ff(x)de= [f(-x)de (* (dof(x)=f-x)
Đặt L=-x => dr = di
Khi (8B
x=0=/:=0
(*)tré thành:
[Zâ& = Nưn, = [roar = [#¿ằ&
Vậy Í/(6)á= [/œwk+ [/(x)&=3[fœ)&
Áp dụng: Chứng minh: ferme = 2 fea
Xét hàm /(x) =e" với xe|-l;l]
Ham f{x) là hàm chẵn vì: - Có miễn xác định đếi xứng D={-1;1 ]
- f(-x)e =e" f(x)
Hon nữa f còn là ham liên tục trên [-1;1] vậy theo trên hiển nhiên ta có kết quả.
YD4:Chứng minh rằng nếu f{x) là hàm lẻ liên tục trên [-a;a thì: f /(x)đ=0
Áp dụng: Chứng minh: