1.4 Thực trạng sử dụng học liệu số và quan điểm về mô hình lớp học đảo ngược
2.1.4.3 Đề xuất một cách tiếp cận khác cho khái niệm tích phân
Cách tiếp cận truyền thống trong việc dạy học khái niệm tích phân ở trường trung học phô thông có những bat cập trong cách xây dựng định nghĩa ( Lê Thị Hoài Châu; ,
Ngô Minh Đức, 2019). Cách định nghĩa khái niệm tích phân qua nguyên hàm (cách mà
hai sách giáo khoa lựa chọn) và cách định nghĩa tích phân theo giới hạn của tông Riemann với bài toán tính diện tích hình thang cong (bài toán mở đầu được đề xuất ở sách giáo khoa Cùng khám phá) đều tỏ ra hạn chế và phát sinh nhiều vấn đề.
Cách tiếp cận khái niệm tích phân thông qua nguyên hàm không chỉ làm mat đi ban chất đặc trưng của giải tích mà còn giới hạn lại khả năng ứng dụng tích phân của học sinh cho các lĩnh vực nằm ngoài toán học. Ý nghĩa hình học của tích phân xuất hiện trong cách tiếp cận này không thẻ hiện được nguồn gốc sinh ra của nó, từ đó học sinh khó thay được các mô hình tương tự trong các van dé thực tiễn, cái mà có thé sử dụng tích phân đề giải quyết nhanh.
Cách tiếp cận khái niệm tích phân thông qua giới hạn của tông Riemann và bài toán điện tích hình thang cong lại cho học sinh cách tư duy tốt về các vấn dé ngoài toán học, điểm khiếm khuyết của cách tiếp cận qua nguyên ham. Tuy nhiên, hau như không có sự
gắn kết nào giữa khái niệm tích phân hình thành qua cách tiếp cận này và khái niệm đạo hàm, mà mối liên hệ này sẽ được phát biêu dựa vào định lí cơ bản của giải tích. Cách tiếp cận nay cũng không phải tôi ưu vì nó đặt học sinh vào một khó khan khác.
Theo các tác giả Lê Thị Hoài Châu và Ngô Minh Đức (2019), việc sử dụng các ngữ
cảnh vật lý là một trong những cách hữu hiệu đề vượt qua khó khăn từ hai cách tiếp cận trên. Chúng tôi cho răng, nghiên cứu này đã đề xuất một cách tiếp cận rất hay cho khái
27
niệm tích phân thông qua ngữ cảnh bài toán vật lý với 4 lớp đối tượng quá trình Lớp phân hoạch, Lớp tích, Lớp tông và Lớp giới hạn được đề xuất bởi nghiên cứu này.
2.1.5 Giai đoạn 3: Thiết kế
Tir những phân tích phía trên, chúng tôi tiễn hành thiết kế nội dung các hoạt động, đưa ra các lựa chọn chiến lượng day học và phương thức kiểm tra đánh giá.
2.1.5.1 Nội dung học liệu được thiết kế
Dựa vào những gợi mở trong nghiên cứu của hai tác giả Lê Thị Hoài Châu và Ngô
Minh Đức về cách tiếp cận khái niệm tích phân thông qua ngữ cảnh vật lí thay cho hai hướng tiếp cận khái niệm truyền thống. Chúng tôi đề xuất bài toán vật lý với các đại lượng được biểu diễn theo thời gian, một bài toán quen thuộc trong lớp các bài toán
mang ý nghĩa vật lý của đạo hàm
Cu thé, chúng tôi dé xuất nội dung học liệu như sau:
Néi dung 1: (Mơ dau — tạo động cơ ~ hình thành moi liên hệ)
Một bê nước xả đang được xả day với tốc độ là 51/phút trong thời gian 6 phút.
Chúng ta có thé tìm thé tích nước (đơn vj L) bằng cách nhân thời gian với tốc độ dòng
chảy:
Thẻ tích = Thời gian x Tốc độ
= 6 phút - 5 ——: L phút
- phú =
phúế
~30L
Nếu ta gọi ham q,(t) = 5 là ham số thé hiện tốc độ làm day bề tại thời điểm t (phút) khi đó ta sẽ thu được đồ thị hàm số q;(£) như sau:
Tóc độ chay (Lph#)
gilt)
@ . R
t(phút)}
D6 thị trên biểu diễn tốc độ xả đầy bê nước theo thời gian với trục tung là tốc độ chảy nước (L/phút) và trục hoành biểu thị thời gian t (phút).
Như vậy, một đơn vị diện tích giới hạn bởi đồ thị và trục hoành biéu diễn cho một đơn vị thê tích nước đã xả vào bề (L). Tức là:
chiêu rộng (phút)
chiêu cao
(L/phút)
Hay được biéu diễn thành công thức:
a, &
phút: > = 7
chiếu nông phút điện tích
chiều cao
Như vậy, phần diện tích được tô đậm dưới đây là giá trị của thé tích nước được xả bề trong khoảng thời gian 6 giây.
29
Toe độ ebiy (L partes
Oo ‘
Vậy thê tích nước được bơm vào bê là diện tích hình phẳng được tô
V=5x6=30(L)
Noi dung 2: (Đặt van đê)
Bây giờ. hãy tưởng tượng chúng ta có một bê nước khác đang được xả day nước, nhưng với tốc độ xả không đều. Người ta tính toán được rằng, tốc độ xả nước
(L/phút) vào bê này được thé hiện bằng hàm số theo thời gian t (phúU dưới đây:
Khi đó ta cũng thu được đồ thị biéu thị tốc độ chảy như ví dụ trên:
Tox độ chyy (L phan)
30
Bang cách suy nghĩ tương tự phía như bài toán đầu tiên, ta có thể nhận thay rằng thẻ tích nước đã chảy vào về sẽ tương ứng với diện tích bị giới hạn bởi đồ thị và trục
hoành với thời điểm £ tương ứng.
Giả sử, ta muốn biết lượng nước đã chảy vào bề sau 4 phút. Như vật có những cách nào dé tính được thé tích nước này?
Nôi dung 3: (Cách giải quyết thứ nhất)
Ước lượng bang cách chia nhỏ phần diện tích cần tính
Ta chia phần diện tích cần tính thành các hình chữ nhật có chiều rộng bằng nhau như mô tả phía dưới, điện tích cần tinh sẽ có gia trị xấp xi tông diện tích của các hình
chữ nhật vừa chia.
Tóc độ cháy (LÍ phớt)
31
Tỏ: đệ cháy (Lait)
Quan sát, ta có thé nhận ra rằng, càng chia đoạn [0; 4] thành nhiều chiều rộng cho các hình chữ nhật thì phần diện tích cần tính càng chính xác.
Hãy sử dụng thanh trượt dưới đây và quan sát sự thay đổi của tổng giá trị điện tích hình chứ nhật khi n thay đối.
BM. ccs: +
Như vậy, bing cách ước lượng như trên, ta có thé kết luận rằng thé tích nước xả vào bề sau 4 phút là
V = 10,667 L
Bây giờ, kí hiệu mỗi chiều rộng của hình chữ nhật là At, rõ rang At = = va kí hiệu
chiều dai của hình chữ nhật thứ là q(£„). Khi đó, tong điện tích của các hình chữ
nhật là:
32
n
Q(t,) “At + q(2) - Ất ++ qty) At =) g(t) “At
i=1
Ta biết rằng, khi giá trị đoạn chia n cang lớn, tông diện tích các hình chữ nhật càng gần với giá trị điện tích của hình cần tính. Người ta chứng minh được ring, bằng cách lay giới hạn n > œ của tong điện tích các hình chữ nhật ta sẽ thu được phần diện
tích cần tính chính xác. Tức là
n—+œ
n
$= lim ằ q(;) At
¿=1
Người ta kí hiệu giới hạn phía trên là
[seô
và được gọi là tích phân xác định trên đoạn [0; 4] của hàm số q(£).
Nội dung 4: (Cách giải quyết thứ hai)
Ta đã biết được rằng. hàm vận tốc v(t) là đạo hàm của hàm quãng đường s(t) trong bài toán chuyên động ở bài học Dao hàm — Toán 11.
Tương tự với bài toán chuyên động đó, ta cũng có thé dé dang tìm thay mối quan hệ tương tự giữa ham V(t) biểu thị thê tích nước được xả vào bé sau £ giây và hàm
q(t) biểu thị tốc độ xả nước tại giấy thứ £ như sau:
q(t) =VŒ)
Như vậy thé tích nước xả vào bề cần tìm là V = V(4) — V(0).
Từ cách giải thứ nhất là cách giải thứ hai, ta thu được nhận định sau:
J q(t)dt = V(4) = V(0)4
với V(t) là một nguyên ham của ham q(t).
Nôi dung Š: (Định nghĩa tích phan và chủ ý) Dinh nghĩa:
Cho f(x) là hàm số liên tục trên khoảng (œ;/). Gia sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a; 8) và hai số a, b thuộc (a; @).
33
trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu là
| f(x)dxb
a
Chú ý:
| - Ta có thé dùng kí hiệu F(x)|2 dé chi hiệu số F(b) — F(a). Vì vậy
J ƒ(@œ)dx = F(@)|} = F() — F(a)b
+ fh ar gk gs a a ts . a ^ y ged
- Ta gọi J, là dau tích phan, a là cận dưới, b là cận trên, ƒ(x)d+x là biêu
thức dưới dấu tích phân va f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.
N6i dung 6: (Nhdn xét)
\. (Tích phân không phụ thuộc vào biển số) Tích phân của hàm sé f(x) từ a đến
b có thẻ kí hiệu bởi ƒ ` f (x)dx hay ƒ ` ƒ (t)dt. Tích phân đó chi phụ thuộc vào
ham sô và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biên sô x hay t. Tức là:
b b b
| f(x)dx = | ƒ(Đdt = | ƒ(u)du = --- = F(b) — F(a)
2. (Ý nghĩa hình hoc cua tích phân) Nếu hàm số f (x) liên tục và không âm trên
đoạn [a; b] thì tích phân im ƒ(z)dx là diện tích S của hình thang cong giới han
bởi 46 thị của f(x), trục Ox và hai đường thăng x = a vax = b. Vậy
Nôi dung 7: (Hệ thong vi dụ và bài tập)
Vi du I: Tính các tích phan sau đây:
a. [ 2xar; b. lit
I lf
Vi du 2: Tinh cac tich phan sau:
a. J, =[ x°dx; b. 7, =[ 4udk;
c.1,=[ vxdr; d.1,=[ cá,12
ia
34
Vi dụ 3: Cho hàm số f(x) liên tục trên [—8; 1]. F(x) là một nguyên hàm của
f (x) trên [—8; 1]. Biết rằng F(—8) = 3, F(1) = 8. Tính các giá trị sau:
a. | ,/G06; b. J) ƒ)dh;I =§
c.f ƒ(x)dx; d. [, f(x)dx.1 -2
Vi du 4: Tính điện tích các phần tô đậm trong hình dưới đây:
u=t-zŠ+2r + ]
b. a _
Ví dụ 5: Tính
a. l= : xldx; b. L=[, +*+2x+ldv.
-2
Bài tập 1: Hoan thành định nghĩa tích phân bang cách điền vào các chỗ còn trống:
Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x)
35
[reou = F(b) — F(a)
Ta goi [ wh awl ld) pee là
L— larsnL — Ì
Bài tập 2: Khanh định sau đây là đúng hay sai.
Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó
[zeœ = [rene
Bài tập 3: Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b] va F(x) là một nguyên ham của
f (x) trên đoạn [a; b]Ị.
Chọn các phát biéu đúng trong các phát biéu sau:
1. [ foodx =f" fonder;
2. [ f(x)dx = ) j fu)du ;
3. f fodde=[" fadde+ [fade với ce [a:b];