Trần Viết Tường, Trường THPT Trần Phú - Đà Nẵng
Trong toán học phổ thông các bài toán về phương trình hàm là các loại toán thường mới và rất khó, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic Toán khu vực và Quốc tế, Olympic sinh viên giữa các trường Đại học và cao đẳng. Liên quan đến các dạng toán này là các bài toán về các đặc trưng khác nhau của hàm số và các tính chất liên quan với chúng.
Để hệ thống các phương trình hàm, cần thiết phải hệ thống các kiến thức cơ bản và nâng cao về các dạng phương trình hàm cũng như các ứng dụng của chúng.
Đối với các bài toán về phương trình hàm với nhiều ẩn hàm trong các lớp hàm cụ thể: liên tục, khả vi, tuần hoàn, lồi lõm,... cần nắm được một số kĩ thuật về biến đổi hàm số, khảo sát các tính chất cơ bản của hàm thực và các phép biến hình trên trục thực.
1 Phương trình hàm sinh bởi phi đẳng thức a2 + b2 6≡
g(a + b)h(a − b)
Bài toán 1. Tìm các hàm số f, g, h xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
f(x2+y2) =g(x+y).h(x−y), ∀x, y ∈R. (1) Giải. Xét trường hợp g(0) = 0.
Cho y=−x , phương trình đã cho trở thành
f(2x2) = 0, ∀x∈R Suy ra
f(x) = 0, ∀x≥0.
Thayf(x)vào phương trình đã cho ta được
g(x+y).h(x−y) = 0, ∀x, y ∈R g(u).h(v) = 0, ∀u, v ∈R. Do đó
(g(x) = 0
h(x) liên tục tùy ý trên R
hoặc
(h(x) = 0
g(x) liên tục tùy ý trên R
Vậy nghiệm trong trường hợp này là :
h f(x) = 0 với x≥0
f(x) =q(x) với q(x) liên tục tùy ý trong (−∞; 0] và q(0) = 0 g(x)≡0
h(x) là hàm liên tục tùy ý hoặc
h f(x) = 0 với x≥0
f(x) =q(x) với q(x) liên tục tùy ý trong (−∞; 0] và q(0) = 0 g(x) là hàm số liên tục tùy ý và g(0) = 0
h(x)≡0 Xét trường hợp h(0) = 0
Cho y=x, phương trình đã cho trở thành
f(2x2) = 0, ∀x∈R Suy ra
f(x) = 0, ∀x≥0.
Thế f(x) vào đã cho ta được
g(x+y).h(x−y) = 0, ∀x, y ∈R g(u).h(v) = 0, ∀u, v ∈R. Do đó
(g(x) = 0
h(x) liên tục tùy ý trên R;h(0) = 0 hoặc
(h(x) = 0
g(x) liên tục tùy ý trên R. Vậy nghiệm của phương trình trong trường hợp này là :
h f(x) = 0 với x≥0
f(x) =q(x) với q(x) liên tục tùy ý trong (−∞; 0] và q(0) = 0 g(x) là hàm liên tục tùy ý
h(x)≡0 hoặc
h f(x) = 0 với x≥0
f(x) =q(x) với q(x) liên tục tùy ý trong (−∞; 0] và q(0) = 0 g(x)≡0
h(x) là hàm liên tục tùy ý với h(0) = 0
Xét trường hợp g(0)6= 0 và h(0)6= 0 . Ta có f(0) 6= 0.
Cho x=y, phương trình đã cho trở thành
f(2x2) = g(2x).h(0), g(2x) = f(2x2)
h(0) , ∀x∈R, g(x) = f(x2
2)
h(0) , ∀x∈R. Cho x=−y, phương trình đã cho trở thành
f(2x2) = g(0).h(2x), h(2x) = f(2x2)
g(0) , ∀x∈R, h(x) = f(x2
2)
g(0) , ∀x∈R. Thayg(x) và h(x)vào phương trình ta được
f(x2+y2) =f[(x+y)2
2 ].f[(x−y)2 2 ]. 1
g(0)h(0), ∀x, y ∈R.
Đặt
u= (x+y)2 2 v = (x−y)2
2
.Khi đó ta có
f(u+v) =f(u).f(v). 1
g(0)h(0), ∀u, v ≥0. (2)
Đặtf(u) =g(0)h(0)F(u), ∀u≥0.
Phương trình (3.2) trở thành
g(0)h(0)F(u+v) = g(0)h(0)F(u).g(0)h(0)F(v). 1
g(0)h(0), ∀u, v ≥0
⇔F(u+v) = F(u)F(v), ∀u, v ≥0.
Ta có
F(u) =au u≥0;a >0
f(u) =b.au với b=g(0)h(0);a >0 f(x) =b.ax, ∀x≥0;a >0, b6= 0.
Suy ra g(x) = f(x2
2)
h(0) , ∀x∈R=g(0).ax
2
2 ∀x∈R=m.ax
2
2 với m =g(0).
h(x) = f(x2
2)
g(0) , ∀x∈R=h(0).ax
2
2 , ∀x∈R=n.ax
2
2 với n =h(0).
Vậy nghiệm của phương trình trong trường hợp này là :
h f(x) =b.ax với x≥0;a >0;b 6= 0
f(x) =q(x) với q(x) liên tục tùy ý trong (−∞; 0] và q(0) = 0 g(x) = m.ax
2
2 , ∀x∈R
h(x) = n.ax
2
2 , ∀x∈R
Tóm lại nghiệm của bài toán là
h f(x) = 0 với x≥0
f(x) =q(x) với q(x) liên tục tùy ý trong (−∞; 0] và q(0) = 0 g(x)≡0
h(x) là hàm liên tục tùy ý hoặc
h f(x) = 0 với x≥0
f(x) =q(x) với q(x) liên tục tùy ý trong (−∞; 0] và q(0) = 0 g(x) là hàm số liên tục tùy ý và g(0) = 0
h(x)≡0 hoặc
h f(x) = 0 với x≥0
f(x) =q(x) với q(x) liên tục tùy ý trong (−∞; 0] và q(0) = 0 g(x) là hàm liên tục tùy ý
h(x)≡0 hoặc
h f(x) = 0 với x≥0
f(x) =q(x) với q(x) liên tục tùy ý trong (−∞; 0] và q(0) = 0 g(x)≡0
h(x) là hàm liên tục tùy ý với h(0) = 0 hoặc
h f(x) =b.ax với x≥0;a >0;b 6= 0
f(x) =q(x) với q(x) liên tục tùy ý trong (−∞; 0] và q(0) = 0 g(x) = m.a
x2
2, ∀x∈R h(x) = n.a
x2
2, ∀x∈R
Bài toán 2. Tìm các hàm số f, g, h xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
f(x2+y2) = g(x+y) +h(x−y), ∀x, y ∈R. (3) Giải. Nghiệm của bài toán là
h f(x) =ax+b+c với x≥0
f(x) =q(x) với q(x) liên tục tùy ý trong (−∞; 0] và q(0) = 0 g(x) = ax2
2 +b, ∀x∈R h(x) = ax2
2 +c, ∀x∈R với b=g(0);c=h(0)
Bài toán 3. Tìm các hàm số f, g, h xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
f(x2+y2) = g(x2)−h(y2), ∀x, y ∈R. (4) Giải. Nghiệm của bài toán là
h f(x) =ax+b với x≥0
f(x) =q(x) với q(x) liên tục tùy ý trong (−∞; 0] và q(0) = 0 g(x) = ax+c, ∀x∈R
h(x) = −ax−d, ∀x∈R
2 Phương trình hàm sinh bởi đẳng thức a2 − b2 = (a + b)(a − b)
Bài toán 4. Tìm các hàm số f, g, h liên tục và xác định trên R thỏa mãn điều kiện
f(x2−y2) = (x+y)g(x−y), ∀x, y ∈R. (5) Giải. Cho y= 0, phương trình đã cho trở thành
f(x2) =x.g(x), ∀x∈R. Nếux= 0 thì
f(x) = 0. (6)
Nếux6= 0 , ta có
g(x) = f(x2) x .
Do đó, phương trình đã cho trở thành
f(x2−y2) = (x+y)f[(x−y)2]
x−y , ∀x6=y f(x2−y2)
x+y = f[(x−y)2]
x−y , ∀x6=±y f(x2−y2)
x2−y2 = f[(x−y)2]
(x−y)2 , ∀x6=±y.
Đặth(x) = f(x)
x với x6= 0. Khi đó, ta có
h(x2−y2) = h[(x−y)2].
Cho x=y+ 1 , ta có
h(2y+ 1) =h(1), ∀y ∈R h(x) =a, ∀x6= 0.
Do đó
f(x) = ax với x6= 0. (7)
Kết hợp (10) và (7) ta có
f(x) =ax, ∀x∈R. Suy ra
g(x) = ax2
x =ax, ∀x6= 0.
Vậy nghiệm của bài toán là
(f(x) =ax g(x) = ax
Bài toán 5. Tìm tất cả các hàm sốf, g, h xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện f(x2−y2) = g(x−y) +h(x+y), ∀x, y ∈R. (8)
Giải. Nghiệm của bài toán là
f(x) = a, ∀x∈R g(x) =b, ∀x∈R h(x) =c, ∀x∈R
trong đó a, b, c∈R;a =b+c.
Bài toán 6. Tìm tất cả các hàm sốf, g, h xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện f(x2−y2) = g2(x)−h2(y), ∀x, y ∈R. (9)
Giải. Nghiệm của bài toán là
f(x) =mx+a−b, ∀x∈R;a, b, m≥0 g(x) =√
mx2+a h(x) =√
mx2+b
hoặc
f(x) =mx+a−b, ∀x∈R;a, b, m≥0 g(x) =√
mx2+a h(x) =−√
mx2+b
hoặc
f(x) =mx+a−b, ∀x∈R;a, b, m≥0 g(x) =−√
mx2+a h(x) =√
mx2+b
hoặc
f(x) =mx+a−b, ∀x∈R;a, b, m≥0 g(x) =−√
mx2+a h(x) =−√
mx2+b
3 Một số bài toán phương trình đa ẩn hàm khác
Bài toán 7. Tìm các hàm số f, g, h liên tục và xác định trên R thỏa mãn điều kiện
f(x)−g(y) =xh(y)−yh(x), ∀x, y ∈R. (10) Giải. Cho x=y, phương trình đã cho trở thành
f(x)−g(x) = 0⇔f(x) = g(x), ∀x∈R. Cho y= 0, phương trình đã cho trở thành
f(x)−g(0) =x.h(0), ∀x∈R
f(x) =x.h(0) +g(0), ∀x∈R
f(x) =ax+b với a=h(0);b =g(0).
Thayf, g vào phương trình đã cho ta được
(ax+b)−(ay+b) =xh(y)−yh(x), ∀x, y ∈R ax−ay=xh(y)−yh(x), ∀x, y ∈R
a y− a
x= h(y)
y − h(x)
x , ∀x, y ∈R a
x− h(x) a = a
y− h(y)
y , ∀x, y ∈R.
Suy ra
a
x−h(x)
x =C với C là hằng số h(x) = −Cx+a
h(x) = cx+a với c=−C.
Thử lại phương trình ta thấy f, g, h thỏa mãn.
Vậy nghiệm của phương trình là
(f(x) =g(x) = ax+b h(x) = cx+a
Bài toán 8. Tìm tất cả các hàm sốf, g xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện f(x)−f(y) = (x+y)g(x−y), ∀x, y ∈R. (11) Giải. Nghiệm của bài toán là
(f(x) =ax2+b
g(x) = ax với mọia, b∈R.
Bài toán 9. Tìm tất cả các hàm sốf, g xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện f(x) +f(y) + 2xy= (x+y)g(x+y), ∀x, y ∈R. (12) Giải. Nghiệm của bài toán là f(x) = x2+ax và g(x) =
(x+a với x6= 0
c với x= 0 .
Bài toán 10. Tìm tất cả các hàm sốf, g xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện f(x).g(y) = x2−y2, ∀x, y ∈R. (13) Giải. Nếu tồn tại x0 sao cho f(x0) = 0. Khi đó ta có
0 =f(x0).g(y) =x20−y2, ∀y∈R (vô lý).
Suy ra
f(x)6≡0, ∀x∈R. Tương tự ta cũng có
g(x)6≡0, ∀x∈R. Cho x=y, phương trình (15) trở thành
f(x).g(x) = 0 ⇔f(x) = 0 hoặc g(x) = 0 (loại do f(x)6≡0;g(x)6≡0).
Vậy không tồn tại các hàm f, g thỏa mãn bài toán.
Bài toán 11. Tìm tất cả các hàm sốf, g, h xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện f(x+y) +g(x−y) = h(xy), ∀x, y ∈R. (14)
Giải. Nghiệm của bài toán là
f(x) = mx2
4 +b, ∀x∈R g(x) =−mx2
4 +a, ∀x∈R h(x) =mx+a+b, ∀x∈R.
Bài toán 12. Tìm tất cả các hàm số dương f, g, h xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
f(x+y).g(x−y) =h(xy), ∀x, y ∈R. (15) Giải. Do f, g, h là các hàm số dương nên phương trình (??) tương đương
lnf(x+y) + lnf(x−y) = lnh(xy), ∀x, y ∈R.
Đặt
lnf(x) = F(x) lng(x) =G(x) lnh(x) =H(x)
. Khi đó ta có F(x+y) +G(x−y) = H(xy), ∀x, y ∈R.
Ta có
F(x) = mx2
4 +b, ∀x∈R G(x) = −mx2
4 +a, ∀x∈R H(x) =mx+a+b, ∀x∈R.
. Suy ra
f(x) = emx
2
4 +b, ∀x∈R g(x) =e−mx
2
4 +a, ∀x∈R h(x) =emx+a+b, ∀x∈R. Thử lại ta thấy các hàm f, g, h thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy nghiệm của bài toán là
f(x) = emx
2
4 +b, ∀x∈R g(x) =e−mx
2
4 +a, ∀x∈R h(x) =emx+a+b, ∀x∈R.
Bài toán 13. Tìm tất cả các hàm sốf, g xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện f(x) +g(x) +f(y)−g(y) = sinx−cosy, ∀x, y ∈R. (16)
Giải. Nghiệm của bài toán là
f(x) = 1
2(sinx−cosx), ∀x∈R g(x) = 1
2(sinx+ cosx) +a, ∀x∈R.
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Văn Mậu, 1997, Phương trình hàm, NXB Giáo Dục
[2] Nguyễn Văn Mậu, 2006, Các bài toán nội suy và áp dụng, NXB Giáo Dục.
[3] Nguyễn Văn Mậu, 2009,Phương trình hàm với nhóm hữu hạn các biến đổi phân tuyến tính, Kỷ yếu HNKH "Các phương pháp và chuyên đề toán sơ cấp" tại Bắc Giang, 27-29/11/2009.
[4] Christopher G. Small, 2000, Functinal equations and how to solve them, Springer.