Bài toán 1. ( Phan Huy Khải) Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm dương
x(3−y2)> m y(3−z2)> m z(3−x2)> m
Lời giải. Xét hàm số f(t) = 3t−t3 với t≥0⇒f0(t) = 3−3t2
x 0 1 +∞
f0(x) + 0 − 0 f(x) 0%
2
&−∞
Từ đó suy ra nếu m < 2 thì bpt: t(3−t2) > m có nghiệm t > 0. Do đó hệ đã cho có nghiệm x=y=z =t0 với t0 là nghiệm tùy ý của bpt : 3t−t3 > m.
Xét khim≥2 , giả sử hệ có nghiệm là (a;b;c) thì :
a >0;b >0;c >0 và : a(3−b2)> m;b(3−c2)> m;c(3−a2)> m (1) suy ra : 3−a2 >0; 3−b2 >0; 3−c2 >0. Nên: 0< a;b;c <√
3
Nhân vế theo vế các bất đẳng thức dương cùng chiều của (1) Ta được :a(3−a2)b(3−b2)c(3−c2)>
m3 (2)
Mặt khác vì:0< a;b;c <√
3 , nên : 0< f(a)≤2; 0 < f(b)≤2; 0< f(c)≤2
suy ra : 0< f(a).f(b).f(c)≤23 ≤m3 ( 3)
Từ (2) và (3) suy ra vô lý. Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khim <2.
Bài toán 2. Cho α, β, γ ∈[0;π2]. Chứng minh rằng: 2cosαsinα+ 2cosαcosβ+ 2sinα ≥4 . Lời giải. Xét hàm số f(x) = 2x−x−1 ∀x∈[0; 1]
Ta có: f0(x) = 2xln 2−1là hàm liên tục trên R.
f00(x) = 2x(ln 2)2 > 0 ∀x ∈ R nên f0(x) là hàm tăng trên R. Suy ra tồn tại duy nhất x0 để f0(x0) = 0. Ta có bảng biến thiên như sau:
x 0 x0 1
f0(x) + 0 − 0 f(x) 0%
CĐ
&0
⇒f(x)≥0, ∀x∈[0; 1] hay 2x≥x+ 1, ∀x∈[0; 1]
Để ý rằng khiα, β, γ ∈[0;π2]. thì cosαsinβ,cosαcosβ,sinα∈[0; 1]
Áp dụng bổ đề suy ra
2cosαsinα+ 2cosαcosβ + 2sinα ≥cosαsinβ+ cosαcosβ+ sinα+ 3
≥cos2αsin2β+ cos2αcos2β+ 3 = 4
Dấu bằng xảy ra chẳng hạn: cosα = 0,sinα= 1 tức là α= π2. Bài toán 3. ( Đề chọn HSG Quốc Học Huế -2005)
Giải bất phương trình: ex+ (x3−x) ln(x2+ 1)≤33
√x (∗) Lời giải. Biểu thức ln(x2 + 1) luôn xác định .
x= 0;x= 1;x=−1là các giá trị thỏa mãn bất phương trình . Ta có : x3−x= (x−√3
x)(x2+x√3 x+√3
x2).
Khi x /∈ {0; 1;−1} thì x6= √3
x. Theo định lý Lagrange thì tồn tại số cnằm giữa x và √3 x sao cho:ex−e3
√x = (x−√3 x)ec Vậy
(∗)⇒(x−√3
x)[ec+ (x2+x√3 x+ 3
√
x2)] ln(x2+ 1)≤0
⇔x−√3
x≤0 (Vì[ec+ (x2+x√3 x+√3
x2)] ln(x2+ 1)>0)
⇔x3−x≤0
Nghiệm của bất phương trình đã cho là :x∈(−∞;−1]∪[0; 1]
Bài toán 4. Cho 16=a >0, chứng minh rằng : a−1lna ≤ 1+3
√a a+√3
a
Lời giải. a−1lna ≤ 1+3
√a a+√3
a (1) với 16=a >0 Trường hợp 1:a >1
(1)⇔(a+√3
a) lna≤(1 +√3
a)(a−1) (2) Đặt x=√3
a⇒x >1 (2)⇔3(x3 +x) lnx≤(1 +x)(x3−1) ∀x >1
⇔x4 +x3−x−1−3(x3+x) lnx≥0 (3) ∀x >1 Đặtf(x) =x4+x3−x−1−3(x3+x) lnx x∈[1; +∞)
Ta có f0(x) = 4x3+ 3x2−1−3[(3x2+ 1) lnx+ (x3+x)1x] = 4x3−4−3(3x2+ 1) lnx f00(x) = 3(4x2−3x−6xlnx− x1); f(3)(x) = 3(8x+ x12 −6 lnx−9)
f(4)(x) = 3(8−x6 − x23) = 6(4x3−3x−1)x3 = 6(x−1)(4xx32+4x+1) ≥0, ∀x≥1 Suy ra f(3)(x) đồng biến trên [1; +∞)
f(3)(x)≥f(3)(1) = 0. . . tương tự f0(x)≥0 ∀x≥1
⇒f(x)> f(1) = 0 ∀x >1suy ra (3) đúng.
Trường hợp 2:0< a <1, đặt a= a1
1, a1 >1 quay về trường hợp 1.
Bài toán 5. Cho n∈N∗ với n ≥7 ; 2≤k < n. Chứng minh kn>2.nk.
Lời giải.
kn>2nk ⇔nlnk >ln 2 +klnn
⇔nlnk−klnn >ln 2(∗)
Xét f(x) =nlnx−xlnn Trên [1; +∞) f0(x) = nx −lnn;f0(x)>0⇔x < lnnn
x 1 lnnn +∞
f0(x) + 0 − f(x) % &
Do đk2≤k≤n−1nên khif(x)xét[2;n−1]thì giá trị nhỏ nhất đạt tại f(2)hay f(n−1).
Ta chứng minh
f(2)>ln 2 f(n−1)>ln 2
f(2) >ln 2⇔nln 2−2 lnn >ln 2⇔(n−1) ln 2>2 lnn 2n−1 > n2 (bằng quy nạp với n≥7 luôn đúng)
f(n−1)>ln 2⇔nln(n−1)−(n−1) lnn > ln 2
⇔nln(n−1)>(n−1) lnn+ ln 2 (n−1)n >2.nn−1(2)
Đặtn−1 =t (t ≥6)Thì (2) trở thành: tt+1 ≥2(t+ 1)t (3)
⇔t≥2 t+1t t
= 2 1 + 1tt
Ta đã có: 1 + 1tt
<3 , ∀t.
Do đó 1 + 1tt
<6≤t với t ≥6Vậy (3) đúng ⇒(2)đúng ⇒ (1) được chứng minh.
3 Bài tập đề nghị
Bài toỏn 1. ( VMO 2007) Cho số thực a > 2. Đặt fn(x) = a10xn+10 +xn +ã ã ã+x + 1, (n = 1,2, ...). Chứng minh rằng với mỗi n phương trìnhfn(x) =a có đúng một nghiệm . Chứng minh dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn khi n → ∞.
Bài toán 2. (Hà Tĩnh 2009) Cho dãy {xn} biết x1 =−12, xn+1 = x2n2−1 với mọi n = 1,2,3, . . . Tìm giới hạn của dãy {xn} khi n dần tới vô cùng.
Bài toán 3. (Bà Rịa Vũng Tàu 2009) Cho dãy số xác định bởi x1 = 1, xn+1 = 2(x21
n+1) −2008.
Chứng minh rằng {xn} có giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng.
Bài toán 4.(PTNK 1999) Choa >1và dãy số{xn}được xác định như sau:x1 =a, xn+1 =axn với mọi n ≥1. Hãy xác định tất cả các giá trị của a để dãy {xn} hội tụ.
Bài toán 5. (Bắc Ninh 2009) Cho dãy số {xn} xác định bởi x1 = π2
xn+1 = π+cos 2x4 n ∀n∈N∗
Bài toán 6. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dươngncho trước, phương trìnhx2n+1 =x+1 có đúng một nghiệm thực. Gọi nghiêm đó là xn. Tìm lim
n→+∞xn. Bài toán 7. Cho phương trình: x13−x6+ 3x4−3x2+ 1 = 0.
1) Chứng minh rằng phương trình có đúng một nghiệm thực.
2) Đặt x1 = 1 và xn+1 =
x−7/3n + 1−3/13
với mọi số nguyên dương n. Chứng minh rằng dãy số {xn} có giới hạn và khi đặt x0 =− lim
n→+∞xn thì x0 là nghiệm nói trên.
Bài toán 8. Cho tam giác ABC không có góc tù thoả mãn hệ thức:
1
3(cos3A+cos3B)− 1
2(cos2A+cos2B) +cosA+cosB= 5 6. Hãy tính các góc của tam giác đó.
Bài toán 9. Giải phương trình: 2x2−6x+ 2 = log2 h
2x+1 (x_1)2
i
Bài toán 10. Giải phương trình: 22x + 32x = 2x+ 3x+1+x+ 1 Bài toán 11. Giải phương trình 2x− x2 −1 = 0
Bài toán 12. Giải phương trình 3x− 2x3 −1 = 0 Bài toán 13. Giải phương trình log
2
√
2+√
3(x2−2x−2) = log2+√3(x2−2x−3) Bài toán 14. Tìm a để phương trình có nghiệm
a
rx−3 x +√
x−1 +√
x−3−√ x−√
x+ 4 = 0 Bài toán 15. Giải hệ
(4x2+ 1)x+ (y−3)√
5−2y= 0 4x2+y2+ 2√
3−4x= 7 Bài toán 16. Giải hệ
2x+ ln(x2 +x+ 1) =y 2y+ ln(y2+y+ 1) =z 2z+ ln(z2 +z+ 1) =x Bài toán 17. Giải hệ
x2+ 3x+ 2 + ln(x2+x+ 1) =y y2+ 3y+ 2 + ln(y2+y+ 1) =z z2+ 3z+ 2 + ln(z2+z+ 1) =x
Tài liệu tham khảo
[1] Các đề thi HSGQG (VMO).
[2] Các đề thi Toán quốc tế và các nước.
[3] Phan Huy Khải, Dãy số và giới hạn, Nhà xuất bản Hà Nội, (1996).
[4] GS-TSKH Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thủy Thanh Dãy số và giới hạn, Nhà xuất bản Giáo dục, (2002).
[5] GS-TSKH Nguyễn Văn Mậu,Phương pháp giải phương trình và bất phương trình, Nhà xuất bản Giáo dục, (1996).
[6] TS Trần Nam Dũng, Tập các bài dãy số trong đề thi Olympic 30/4 của Các Tỉnh phía Nam.
[7] Các đề thi Olympic của Các Tỉnh Duyên Hải Bắc bộ [8] Báo Toán học Tuổi trẻ.
[9] Nguồn Internet.