Bài toán 1. Xét phương trình : xn−x2−x−1 = 0 (n >2)
1. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n >2 thì phương trình trên có một nghiệm dương duy nhất. 2. Tìm lim
n→∞n(xn−1), trong đó xn là nghiệm dương của phương trình trên.
Lời giải. 1. Xét hàm f(x) =xn−x2−x−1 = 0 (n >2).
Ta có f(1) = −2 < 0;f(2) = 2n−7 > 0, nên theo định lí Bolzano – Cauchy suy ra phương trìnhf(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (1; 2)
Rõ ràng nếu x là nghiệm dương của phương trình trên thì x >1. (do xn =x2 =x+ 1>1).
Với x >1 thì f0(x) = nxn−1−2x−1>0, nên theo định lý Rolle phương trìnhf(x) = 0 chỉ có nhiều nhất một nghiệm. Suy ra điều phải chứng minh. Hơn nữa ta cóxn ∈(0; 2).
2. Trước hết ta chứng minh lim
n→∞xn= 1.
Thật vậy1< xn= pn
x2n+xn+ 1≤ x2n+xnn+n <1 + 5n] (BĐT AM – GM) Suy ra lim
n→∞xn= 1 (1)
Ta có xnn=x2n+xn+ 1 ⇒n= ln(x2n+xn+1)
lnxn
⇒n(xn−1) = (xlnn−1)x
n ln (x2n+xn+ 1) (2) Ta chứng minh : lim
n→∞
xn−1
lnxn = 1 (3) Thật vậy đặtxn−1 =yn.
Ta lim
n→∞
lnxn
xn−1 = lim
n→∞(1 +yn)yn = lne= 1 (do lim
n→∞yn = 0) Từ (1), (2) và (3) suy ra : lim
n→∞n(xn−1) = ln 3.
Bài toán 2. (VMO – 2002) Xét phương trình : x−11 + 4x−11 +...+ k2x−11 +...+ n2x−11 = 12] (1) trong đó n là tham số nguyên dương
1. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình nêu trên có duy nhất nghiệm lớn hơn 1. Kí hiệu nghiệm đó là xn. 2. Chứng minh rằng dãy số {xn} có giới hạn bằng 4 khi n→+∞
Lời giải. 1. (1)⇔ −12 +x−11 + 4x−11 +...+n2x−11 = 0 (2) Đặtfn(x) = −12 +x−11 + 4x−11 +...+ n2x−11
Với mỗin∈N∗, hàm sốfn(x)liên tục và nghịch biến trên khoảng(1; +∞)và lim
x→1+fn(x) = +∞,
x→+∞lim fn(x) =−12, nên theo định lí Bolzano – Cauchy ∃!xn >1 :fn(xn) = 0 Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất lớn hơn 1.
2. Với mỗin ∈N∗, ta có : f(4) =−1
2 + 1
22−1 + 1
42−1+...+ 1 (2n)2−1
= 1 2
−1 + 1− 1 3+ 1
3− 1
5 +...+ 1
2n−1− 1 2n+ 1
= −1
2(2n+ 1) <0 = fn(xn)
Do hàm f(x) nghịch biến trên (1; +∞) nên suy raxn<4,∀n∈N∗ (3)
Do với mỗin∈N∗, hàm fn(x)khả vi trên[xn; 4], nên theo định lí Lagrange với mỗin ∈N∗ tồn tại t∈(xn; 4): fn(4)−f4−xn(xn)
n =fn/(t) = (t−1)−12 +(4t−1)−4 2 +...+ −n2
(n2t−1)2 <−19, ∀n∈N∗
⇒ 2(2n+1)(4−x−1 n) <−19, ∀n∈N∗ ⇒xn>4−2(2n+1)9 , ∀n ∈N∗ (4) Từ (3) và (4) ta được4− 2(2n+1)9 < xn<4
Do đó theo định lí về giới hạn của dãy số kẹp giữa hai dãy số, ta có lim
n→∞xn = 4
Bài toán 3. Cho dãy số thực (xn) với n = 1,2, . . . , thỏa mãn ln (1 +x2n) +nxn = 1] với mọi số nguyên dương n. Tìm lim
n→+∞
n(1−nxn) xn
Lời giải. Với mỗi n ∈N∗ ta đặtfn(x) = ln (1 +x2) +nx−1, x∈R. Ta có fn0(x) = 1+x2x2 +n = (x+1)1+x22 +n−1≥0
fn0(x) = 0⇔n= 1, x=−1]. Do đó hàm sốfn(x)] là hàm số tăng thực sự.
Chú ýfn(0) =−1<0;fn n1
= ln 1 + n12
>0, nên theo định lí Bolzano – Cauchy, suy ra có duy nhất một số xn∈R thỏa mãn fn(xn) = 0 và 0< xn< 1n. Bởi vậy
n→+∞lim
n(1−nxn)
xn = lim
n→+∞
nln (1 +x2n)
xn = lim
n→+∞
nxn.ln 1 +x2nx12 n
= 1 Do lim
x→0ln (1 +x2)x12 = 1 và nxn= 1−ln (1 +x2n)→1khi n →+∞, vì xn→0 khin →+∞. Chú ý n(1+nxx n)
n = xn
n +n2 →+∞ khi n→+∞
Kết luận : lim
n→+∞
n(1−nxn) xn = 1
4 Bài tập áp dụng
Bài toán 1. Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và α, β là hai số dương bất kỳ. Chứng minh rằng phương trình: f(x) = αf(a)+βf(b)α+β có nghiệm trên đoạn [a;b]
Bài toán 2. (ROMANIA – 1998) Cho các số thực a, b, cthoả mãn :2a+ 10b+ 29c= 0. Chứng minh rằng phương trình :ax3+bx+c= 0 có nghiệm thuộc đoạn [0; 1]
Bài toán 3. Cho hàm sốf(x)liên tục trên đoạn [0; 1], nhận giá trị trong khoảng (0; 2). Chứng minh rằng tồn tại số c∈(0; 1) sao cho : (1−c)2+ [f(c) + 21−c]2 = 1
Bài toán 4. Chứng minh rằng với a, b, c là các số thực tuỳ ý cho trước, phương trìnhacos 3x+ acos 2x+ccosx+ sinx= 0 luôn có nghiệm trong khoảng (0; 2π)
Bài toán 5. Cho m >0, còn a, b, c thoả mãn điều kiện m+2a + m+1b + mc = 0 Chứng minh rằng khi đó phương trình ax2+bx+c= 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1).
Bài toán 6. Chứng minh rằng phương trình : x5−5x4+ 15x3−x2+ 3x−7 = 0 có nghiệm duy nhất.
Bài toán 7. Xác định số nghiệm của phương trình : 2e2−x2(x6−3x4 + 5x2−1)−2e−5 = 0 Bài toán 8. Chứng minh rằng với mọi a, b phương trìnha (25 sin 5x−sinx)+b(49 sin 7x−9 sin 3x) = 0 có ít nhất 7 nghiệm trên [0; 2π]
Bài toán 9. Cho P(x) = (x−x1) (x−x2) (x−x3), với x1 < x2 < x3. Chứng minh rằng :
P00(x1)
P0(x1) +PP000(x(x22)) + PP000(x(x33)) = 0
Bài toán 10. (VIỆT NAM TST – 1994) Cho đa thức bậc bốnP(x)có 4 nghiệm dương. Chứng minh rằng phương trình : 1−4xx2 .P(x) + 1−1−4xx2
P0(x)−P00(x) = 0 cũng có 4 nghiệm dương.
Bài toán 11. Giải phương trình : 1
2 2sin2x
+1
2 =cos2x+ log4 4cos32x−cos6x−1 Bài toán 12. Giải phương trình :
64x−8.343x−1 = 8 + 12.4x.7x−1 Bài toán 13. Tìm nghiệm dương của phương trình:
xln
1 + 1 x
1+1x
−x3ln
1 + 1 x2
1+1
x2
= 1−x
Bài toán 14. (OLYMPIC SINH VIÊN VIỆT NAM – 1999) Cho hàm sốf(x)khả vi trên [0; 1]
và thỏa mãn điều kiện f(0) = 0;f(1) = 1; 0 ≤ f(x) ≤ 1, ∀x ∈ R. Chứng minh rằng tồn tại hai số a, b∈(0; 1), a6=b sao cho f0(a).f0(b) = 1
Bài toán 15. (OLYMPIC SINH VIÊN VIỆT NAM – 1994) Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm cấp một trên (0; +∞) và không phải là hàm hằng. Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện0< a < b. Chứng minh rằng phương trình : xf0(x)−f(x) = af(b)−bf(a)
b−a có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng(a;b)
Bài toán 16. (OLYMPIC SINH VIÊN VIỆT NAM – 2003) Cho hàm số f(x)khả vi trên đoạn [a;b]và thỏa mãn điều kiện a) f(a) = 12(a−b) b)f(b) = 12(b−a)c) f a+b2
6= 0 Chứng minh rằng tồn tại các số đôi một khác nhau c1, c2, c3 ∈(a;b)sao cho f0(c1).f0(c2).f0(c3) = 1
Bài toán 17. Chứng minh rằng nếu 0< b < a < π2 thì ta có cosa−b2b <tana−tanb < cosa−b2a
Bài toán 18. Chứng minh rằng với ∀x∈(0; 1) ;∀n∈N∗ , ta có xn√
1−x < √1
2ne
Bài toán 19. (VMO – 1996) Cho bốn số thực không âm a, b, c, d thỏa mãn điều kiện : 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) +abc+abd+acd+bcd= 16. Chứng minh rằng :
a+b+c+d≥ 2
3(ab+ac+ad+bc+bd+cd) . Hỏi dấu bằng xảy ra khi nào ?
Bài toán 20. (OLYMPIC 30 – 4 – 2002) Cho phương trình :xn+xn−1+...+x−1 = 0 Chứng minh rằng với mỗi n nguyên dương thì phương trình trên có duy nhất một nghiệm dương xn. Chứng minh rằng dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn khin →+∞. Tìm lim
n→∞xn
Bài toán 21. Cho phương trình với tham số n nguyên dương : x+ 2x2+...+nxn= 34.
1. Chứng minh rằng phương trình trên có nghiệm dương duy nhất với mọi n nguyên dương, kí hiệu là xn. 2. Chứng minh rằng dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn khi n → +∞. Tính giới hạn đó.
Bài toán 22. Cho phương trình 1x +x−11 + x21−1 +...+ xn1−1 = 0(n∈N∗)
1. Chứng minh rằng với mọin ∈N∗ , phương trình trên luôn có nghiệm duy nhất xn∈(0; 1) 2. Chứng minh dãy số (xn) , với xn xác định ở câu 1 có giới hạn. Tìm giới hạn đó.
Bài toán 23. Tìm lim
n→+∞
1 + √1
2 + √1
3 +...+ √1n
Bài toán 24. (OLYMPIC SINH VIÊN VIỆT NAM – 2002) Cho dãy số thực {un} được xác định như sau :u1 =a∈, un+1 = 12ln (1 +u2n)−2002, n≥1.Chứng minh rằng dãy {un} là một dãy hội tụ.
Bài toán 25. Cho dãy số thực (xn), n = 1,2,3, ... được xác định như sau : x1 =b
xn+1 = 20063 ln x2n+ 20062
−20062, n= 1,2,3, ...
Chứng minh rằng dãy (xn) có giới hạn hữu hạn khi n→+∞.
Tài liệu tham khảo
1. Nguyễn Văn Mậu, Phương trình và bất phương trình, Nhà xuất bản Giáo dục 1999.
2. Nguyễn Văn Mậu, Dãy số và áp dụng, Nhà xuất bản Giáo dục 2008.
3. Nguyễn Văn Mậu, Các đề thi Olympic Toán sinh viên, Nhà xuất bản Giáo dục 2006.
4. Phan Huy Khải, Toán nâng cao giải tích, Nhà xuất bản Hà Nội 2002
5. Nguyễn Khắc Minh, Nguyễn Việt Hải, Các Bài Thi Olympic Toán THPT Việt Nam (1990 – 2006)
6. Tuyển tập các đề thi Toán học Olympic truyền thống các Tỉnh phía nam 7. Các nguồn tài liệu trên Internet.
8. Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ
9. G.H. Hardy, J.E.Littlewood, G.Polya, Bất đẳng thức, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội 2002.