CHƯƠNG 1. Kiến thức cơ sở
1.6. Hệ phương trình sai phân tuyến tính
y1(n+ k1) =f1(n, y1(n), . . . , y1(n+k1 −1), . . . , ym(n), . . . , ym(n+ km−1)) . . .
ym(n+km) = fm(n, y1(n), . . . , y1(n+k1 −1), . . . , ym(n), . . . , ym(n+ km−1)) (1.33)
với k1, . . . , km là các số tự nhiên, y1, . . . , ym là các hàm cần phải tìm, được gọi là hệ phương trình sai phân tuyến tính chính tắc.
Hệ phương trình chuẩn tắc có dạng:
y1(n+ 1) = f1(n, y1(n), y2(n), . . . , yn(n)) y2(n+ 1) = f2(t, y1(n), y2(n), . . . , yn(n)) . . .
yn(n+ 1) = fn(n, y1(n), y2(n), . . . , yn(n))
(1.34)
Chú ý rằng mọi hệ phương trình dạng chính tắc (1.33) có thể đưa được về dạng chuẩn tắc (1.34). Thật vậy, trong hệ (1.33)ta đặt:
y1(n) = u11(n), y2(n) = u12(n), . . . , y1(n+ k1 −1) = u1k1(n) . . . .
ym(n) =um1(n), ym(n) =um2(n), . . . , ym(n+ k1 −1) = umkm(n), nhận được hệ dưới dạng chuẩn tắc:
u11(n+ 1) = u12(n) . . . .
u1k1 = f1(t, u11(n), . . . , u1k1(n), . . . , um1(n), . . . , umkm(n)) um1(n+ 1) = um2(n)
um2(n+ 1) = um3(n) . . . .
umkm = fm(n, u11(n), . . . , u1k1(n), . . . , um1(n), . . . , umkm(n)).
(1.35)
Hệ (1.34)còn có thể được viết dưới dạng ma trận. Thật vậy, ta đưa vào các hàm vectơ sau đây:
y(t) =
y1(n) y2(n) . . . yn(n)
, f(n, y(n)) =
f1(n, y1(n), . . . , yn(n)) f2(n, y1(n), . . . , yn(n))
. . .
fn(n, y1(n), . . . , yn(n))
, Khi đó hệ (1.34) có dạng:
y(n+ 1) = f(n, y(n)). (1.36) Mọi bộ sắp thứ tự n hàm y1(n), y2(n), . . . , yn(n) được gọi là nghiệm của hệ (1.34) trên một tập Ω, nếu ta thay chúng vào các phương trình trong hệ thì ta nhận được các đẳng thức đúng trên Ω.
Định nghĩa 1.6.1. (xem[4])
Điểm (n0, y0) được gọi là điểm duy nhất nghiệm của hệ (1.37) nếu như mọi nghiệm ϕ(n) của bài toán Cauchy thỏa mãn điều kiện ban đầu ϕ(n0) =ϕ0, ϕ0 6= y0 ta nhận được với mọi k ≥1
y(n0 +k) 6= ϕ(n0 +k).
Ta sẽ giả sử rằng hệ (1.34) có thể tìm được nghiệm duy nhất tương ứng với y1(t), . . . , yn(t), như thế, hệ (1.34) có thể được viết dưới dạng:
y1(n) = g1(n, y1(n+ 1), y2(n+ 1), . . . , yn(n+ 1), y2(n) = g2(n, y1(n+ 1), y2(n+ 1), . . . , yn(n+ 1), . . .
yn(n) =gn(n, y1(n+ 1), y2(n+ 1), . . . , yn(n+ 1),
(1.37) hay dưới dạng ma trận y(n) = g(n, y(n+ 1)).
Nếu các hàm gk(n, v1, . . . , vn), k = 1,2, . . . , n xác định với mọi giá trị n ∈ Ω và với mọi giá trị của argument v1, . . . , vn thì mọi điểm của tập hợp Ω ×Rn là điểm duy nhất của bài toán Cauchy (1.34). Thật vậy, ta lấy một điểm (n0, y0) tùy ý trong Ω×Rn. Giả sử y(n) là nghiệm của bài toán Cauchy với điều kiện đầu y(n0) = y0. Lấy một nghiệm ϕ(t) tùy ý của hệ (1.34) và thỏa mãn điều kiện ban đầu ϕ(n0) =ϕ0, ϕ0 6= y0. Giả sử y(n0+k) 6= ϕ(n0+k) ,k = 0,1,2, . . . , m−1 và y(n0 +m) = ϕ(n0 +m). Từ các phương trình của hệ (1.37) ta suy ra
ϕ(n0 +m −1) = g(n0, ϕ(n0 +m)), y(n0 +m −1) = g(n0, y(n0 + m)).
Bởi y(n0 +m) = ϕ(n0+m) nên y(n0+m−1) = ϕ(n0 +m−1), ta nhận được điều mâu thuẫn với giả thiết y(n0 +m−1) 6= ϕ(n0 +m−1). Định nghĩa 1.6.2. (xem[4]) Giả sử D là tập các điểm tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy hệ (1.34). Hàm vectơ y = y(n, C1, . . . , Cn) trong D được gọi là nghiệm tổng quát bậc n của hệ (1.34), và thỏa mãn điều kiện:
1. Với mọi giá trị C1, . . . , Cn hàm y = y(n, C1, . . . , Cn) là nghiệm của hệ;
2. Mọi nghiệm của bài toán Cauchy với giá trị đầu cho trước trong tập D có thể nhận từ nghiệm tổng quát trước các giá trị hằng số được xác
định một cách duy nhất.
Từ lý thuyết của phương trình vi phân suy ra, nghiệmy(n)của hệ (1.34) trong tập Ω được gọi là nghiệm riêng, nếu như mọi điểm (n0y(n0)), t ∈ Ω là điểm duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy.
Bởi vậy nghiệm tổng quát theo định nghĩa được cho trên toàn bộ tập tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy, thế thì một nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát trước những giá trị cụ thể của các hằng số C1, . . . , Cn được gọi là nghiệm riêng.
Định nghĩa 1.6.3. (xem[4]) Hệ phương trình sai phân tuyến tính có dạng:
y1(n+ 1) = p11(n)y1(n) +. . .+p1n(n)yn(n) +q1(n) y2(n+ 1) = p21(n)y1(t) +. . .+p2n(n)yn(n) +q2(n) . . .
yn(n+ 1) = pn1(n)y1(n) +. . .+pnn(n)yn(n) +qn(n)
(1.38) hoặc dưới dạng ma trận
y(n+ 1) = P(n)y(n) + g(n) được gọi là phương trình sai phân dạng chuẩn tắc.
Nếu q(n) = (0) thì hệ được gọi là thuần nhất, và không thuần nhất trong trường hợp ngược lại. Nếu các hàm pij(n), qi(n), i, j = 1, . . . , n xác định với mọi n ∈ Ω, thì mọi điểm (n0, y(n0)) ∈ Ω ×Rn là điểm tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy. Nếu detP(n) 6= 0, n ∈ Ω thì hệ (1.38) có nghiệm duy nhất y(t):
y(n) = P−1(n)(y(n+ 1)−q(n)).
Trong trường hợp này, mọi điểm (n0, y(n0)), n ∈ Ω là điểm tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy của hệ (1.38).
Tiếp theo trở về sau ta luôn mặc định rằng các hàm pij(n), qi(n), i, j = 1, . . . , n xác định với mọi n ∈ Ω, thậm chí với mọi n ∈ Z và detP(n) 6=
0, n ∈ Ω.
Như vậy nghiệm của hệ không thuần nhất được chuyển về nghiệm của hệ phương trình thuần nhất tương ứng, tức là ta tiến hành xem xét hệ thuần nhất:
z(n+ 1) = P(n)z(n),detP(n) 6= 0. (1.39)
Trong trường hợp vô hướng, ta đưa vào các khái niệm các hàm vectơ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính và định thức Cassorati.
Định nghĩa 1.6.4. (xem[4]) Các hàm vectơ ϕ1(n), ϕ2(n), . . . , ϕn(n)được gọi là phụ thuộc tuyến tính trên tập Ω, nếu như tồn tại các hằng số C1, C2, . . . , Cn không đồng thời bằng 0 để cho
n
X
k=1
Ckϕk(n) = 0.
Trong trường hợp ngược lại thì các hàm vectơ ϕ1(n), ϕ2(n), . . . , ϕn(n) được gọi là độc lập tuyến tính trên tập Ω. Định thức Cassorati của các hàm vectơ ϕ1(n), ϕ2(n), . . . , ϕn(n) là định thức cấp n.
K(n) = det Φ(n),
với các cột của ϕ(n) được tạo bởi ϕ1(n), ϕ2(n), . . . , ϕn(n). Định lí 1.6.5. (xem [4])
Nếu các hàm vectơ ϕ1(n), ϕ2(n), . . . , ϕn(n) phụ thuộc tuyến tính trên tập Ω thì định thức Cassorati của chúng K(n) = 0, t ∈ Ω.
Định lí 1.6.6. (xem[4]) (Tiêu chuẩn độc lập tuyến tính của hệ thuần nhất)
Nghiệm z1(n), z2(n), . . . , zn(n) của hệ (1.39) độc lập tuyến tính trên Ω khi và chỉ khi định thức Cassorati của chúng khác không trên Ω: K(n) 6=
0, n ∈ Ω.
Định nghĩa 1.6.7. (xem[4])
Mỗi tập tùy ý n nghiệm độc lập tuyến tính
z1(n), z2(n), . . . , zn(n) của hệ (1.39) được gọi là nghiệm cơ sở.
Ma trận Φ(n)z1(n), z2(n), . . . , zn(n) với cột của nó được viết bởi các nghiệm độc lập tuyến tính, được gọi là ma trận cơ sở của hệ (1.39). Hiển nhiên Φ(n+ 1) = P(n)Φ(n), detΦ(n) = K(n) 6= 0, t ∈ Ω. Ngược lại, nếu như ma trậnΨ(n) thỏa mãn phương trình ma trậnΨ(n+ 1) = P(n)Ψ(n), thì các cột củaΨ(n)là nghiệm của hệ phương trình thuần nhất tương ứng.
Nếu ta bổ sung thêm điều kiện det Ψ(n) 6= 0 thì Ψ(n) là ma trận cơ sở.
Như vậy mọi nghiệm không tầm thường (suy biến) của phương trình ma trận Φ(t+ 1) = P(t)Φ(t) là ma trận cơ sở của hệ z(n+ 1) = P(n)z(n).
Định lí 1.6.8. (xem[4]) (Công thức tựa Osstragratxki-Luyvilla-Jacobi) Giả sử Φ(t) là ma trận cơ sở của hệ (1.39), K(n) = det Φ(n), khi đó
K(n) =K(n0)
n−1
Y
i=n0
det(Pi), n ∈ Ω.
Hệ quả 1.6.9. (xem[4])
Nghiệm z1(n), z2(n), . . . , zn(n) của hệ (1.39) độc lập tuyến tính trên Ω khi và chỉ khi định thức Cassorati của chúng khác không tại mọi điểm n0 ∈ Ω.
Định lí 1.6.10. (xem[4]) Tồn tại nghiệm cơ sở của hệ (1.39).
Định nghĩa 1.6.11. (xem[4]) Nếu ma trận B trùng với ma trận đơn vị thì hệ cơ sở được xây dựng trong định lý trên được gọi là chuẩn tắc tại điểm n0.
Định lí 1.6.12. (xem[4]) (Về mối quan hệ giữa các ma trận cơ sở)
1. Nếu Φ(t) là ma trận cơ sở của hệ (1.39) thì với mọi ma trận hằng không suy biến C ma trận
Ψ(n) = CΦ(n) (1.40)
cũng là ma trận cơ sở.
2. Với hai ma trận cơ sở bất kỳ bao giờ ta cũng có quan hệ (1.40).
Định lí 1.6.13. (xem[4]) (Về nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất tuyến tính)
Giả sử Φ(n) = z1(n), z2(n), . . . , zn(n) là ma trận cơ sở của hệ (1.39), khi đó hàm vectơ z(n) = Φ(n)C, ở đây C là vectơ hằng tùy ý, biểu diễn nghiệm của hệ (1.39) trên tập Ω×Rn.
Chú ý rằng ma trận cơ Φ(n) thì hệ thuần nhất được phục hồi một cách duy nhất. Thật vây, từ đăng thức Φ(n+ 1) = P(n)Φ(n), ma trận
P(n) = Φ(n + 1)Φ−1(n) được xác định một cách duy nhất. Bất kể ma trận cơ sở Ψ(t) nào khác thì cũng được khôi phục chính bởi P(n). Thật vậy, theo định lý về mối quan hệ giữa các ma trận cơ sở:
Ψ(n) = Φ(n)C,detC 6= 0,
do đó
Ψ(n+ 1)Ψ−1(n) = Φ(n+ 1)CC−1Φ−1(n) = Φ(n+ 1)Φ−1(n) = P(n) Bây giờ ta tiến hành xem xét hệ tuyến tính không thuần nhất (1.38)
y(n+ 1) = P(n)y(n) +q(n) và hệ thuần nhất tương ứng (1.39)là:
z(n+ 1) = P(n)z(n).
Ta chú ý rằng các tính chất của nghiệm hệ tuyến tính không thuần nhất (1.38) cũng tương tự như tính chất của nghiệm phương trình tuyến tính không thuần nhất:
1. Hiệu hai nghiệm riêng bất kỳ của hệ (1.38) là nghiệm của hệ (1.39).
2. Tổng nghiệm riêng của hệ (1.38) và nghiệm riêng của (1.39) là nghiệm riêng của hệ (1.38).
3. Nếu hàm vectơ q(n) của hệ (1.38) được biểu diễn dưới dạng tổng của các hàm vectơ q(n) =
k
X
i=1
fi(n) và Yi(n), i = 1,2, . . . , k là các nghiệm riêng của hệ:
y(n+ 1) = P(n)y(n) +fi(n), thì Y(n) =
k
X
i=1
Yi(n) là nghiệm riêng của hệ (1.38).
4. Định lý về nghiệm tổng quát của hệ không thuần nhất.
Giả sử z1(n), z2(n), . . . , zn(n) là nghiệm cơ sở của hệ thuần nhất (1.39), còn Y(n) là nghiệm riêng của hệ (1.38), khi đó hàm vectơ:
y(n) =Y(n) +C1z1(n) +C2z2(n) +. . .+Cnzn(n)
ở đây C1, C2, . . . , Cn là các hằng số vô hướng tùy ý, biểu diễn nghiệm tổng quát của (1.38) trong Ω×Rn.
Định lí 1.6.14. (xem [4]) Định lý Lagrange (Phương pháp biến thiên hằng số)
Giả sử Φ(n) = z1(n), z2(n), . . . , zn(n) là nghiệm cơ sở của hệ (1.39), khi đó nghiệm riêng của hệ không thuần nhất (1.38) có thể tìm được dưới
dạng:
Y(n) = Φ(n)
n−1
X
i=n0
(i+ 1)q(i). (1.41) Định lí 1.6.15. (xem[4]) Phương pháp Euler xây dựng hệ nghiệm cơ sở cho hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng.
Xét hệ
z(n+ 1) = Az(n), detA 6= 0. (1.42) với ma trận hệ số thức A.Ta sẽ tiến hành đi tìm một nghiệm riêng của hệ đã cho dưới dạng γ.λt,kλk 6= 0. Thành phần của γ và λ nói chung là số phức. Ta có:
γ.λn+1 = Aγ.λn(A−λE).γ = 0. (1.43) Để hệ (1.45) có nghiệm không tầm thường γ thì điều kiện cần và đủ là det(A −λE) = 0, như vậy λ nhất thiết phải là trị riêng của ma trận A còn γ chính là vectơ riêng tương ứng.
Chú ý rằng det(A) 6= 0, còn tích của các tri riêng của ma trận thì chính bằng định thức của ma trận đó, thế nên mà trận không suy biến thì không thể có trị riêng bằng 0.
Ta xem xét trong từng trường hợp cụ thể sau đây:
1. Khi tất cả các trị riêng của ma trận A là khác nhau và nhận các giá trị thực λ1, . . . , λn.
Với mỗi một trị riêng λk ta xét vectơ riêng γk tương ứng. Hàm vectơ zk(t) = γkλtk, k = 1,2, . . . , n chính là nghiệm của hệ (1.42). Nếu ta chứng tỏ được tính độc lập tuyến tính của các nghiệm này thì khi đó hệ nghiệm cơ sở được xây dựng xong. Ta giả sử zk(t) là phụ thuộc tuyến tính, tức là tồn tại các hằng số C1, . . . , Cn không đồng thời bằng 0 để cho
C1z1(n) +C2z2(n) +. . .+Cnzn(n) = 0 (1.44) Theo cách lập luận trên, ta lấy Ci 6= 0, khi đó γi là vectơ riêng tương ứng
với ít nhất một thành phần khác 0. Giả sử:
γi =
γi1
γi2
. . . γin
, γij 6= 0.
Từ hệ (1.35)ta viết phương trình thứ j
C1γ1jλn1 +C2γ2jλn2 +. . .+Cnγnjλnn
Vì Ciγij 6= 0 nên phương trình cuối chứng tỏ λn1, λn2, . . . , λnn là phụ thuộc tuyến tính. Ta nhận được mâu thuẫn với điều khẳng định về tính độc lập của λt1, λt2, . . . , λtn trong trường hợp vô hướng.
2. Các giá trị riêng của A là khác nhau, tuy nhiên giữa chúng có các giá trị phức.
Bổ đề 1.6.16. (xem[7]) Nếu hàm vectơ ϕ(n) = ϕ1(n) +iϕ2(n) là nghiệm của hệ z(n+ 1) = P(n)z(n) với ma trận thực P(t) thì các hàm vectơ thực ϕ1(n), ϕ2(n) cũng là nghiệm của hệ.
Bổ đề 1.6.17. (xem[7]) Giả sử các hàm vectơ f1(n), . . . , fn(n) là độc lập tuyến tính trên Ω, đồng thời 2k hàm đầu tiên là các hàm phức liên hợp, n−2k hàm còn lại là các hàm thực, tức là
f1,2(n) = ϕ(n) = ϕ1(n)±iϕ2(n), . . . .
f2k−1,2k(n) =ϕ2k−1(n)±iϕ2k(n), f2k+1(n) =ϕ2k+1(n), . . . , fn(n) =ϕn(n).
Khi đó các hàm ϕ1(n), ϕ2(n), . . . , ϕn(n) độc lập tuyến tính trên Ω. 3. Trường hợp ma trận hệ số có trị riêng bội
Ở đây ta chỉ tiến hành xem xét trường hợp A có trị riêng thực bội.
Giả sử λ là nghiệm thực bội k. Ứng với trị riêng này trong hệ nghiệm cơ sở cho ta k nghiệm độc lập tuyến tính dạng γ(n)λn, ở đây γ(n) là hàm vectơ đa thức bậc không lớn hơn k−1, tức là:
γ(t =)
γ01 γ02 . . . γ0n
+
γ11 γ12 . . . γ1n
t+. . .+
γk−1,1 γk−1,2 . . . γk−1,n
tk−1.
Ở đây các hệ số γij của hàm vectơ đa thức có thể xác định bằng phương pháp cân bằng hệ số dựa vào điều kiện đầuγ(n)λn là nghiệm của hệ. Trong trường hợp này k hệ số đầu có thể nhận các giá trị tùy ý, các hệ số còn lại nhận được thông qua k hệ số đầu tiên. k hệ số đầu tiên có thể phân phối sao cho k nghiệm nhận được là độc lập tuyến tính, tương ứng với giá trị riêng λ.
Định nghĩa 1.6.18. (xem[7]) Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng với vế phải đặc thù
Xét hệ
y(n+ 1) = Ay(n) +f(n),det(A) 6= 0. (1.45) Nghiệm tổng quát có dạng
y(n) = Y(n) +An.C
với nghiệm riêng Y(t) có thể tìm được bằng phương pháp biến thiên hằng số.
Y(n) = An
n−1
X
k=n0
A−k−1f(n).
Định lí 1.6.19. (xem [4]) Giả sử f(n) = λnP(n), ở đây P(n) là đa thức vectơ biến n bậc k. Giả sử λ là trị riêng của ma trân A với bội s. Khi đó nghiệm riêng Y(n) của hệ có thể tìm được dưới dạng:
Y(n) =λnRk+s(n), (1.46) ở đây Rk+s(n) là đa thức vectơ biến n bậc k +s.
Định lí 1.6.20. (xem[7]) Giả sử hàm vectơ f(t) có dạng:
f(n) = rn(Qk1(n) cosϕn+Qk2(n) sinϕn), r > 0.
Ở đây Qk1, Qk2 là các đa thức với hệ số vectơ biếnt với bậck1, k2 tương ứng. Giả sử λ = r(cosϕ+isinϕ) là trị riêng của ma trận A bội s (s = 0 nếu λ không là trị riêng của A). Giả sử k = max{k1, k2}. Nghiệm riêng của hệ (1.45)trong trường hợp này có thể tìm được dưới dạng:
Y(n) = rn(Uk+s(n) cosϕn+ Vk+s(n) sinϕn),
ở đây Uk+s(n, Vk+s(n)) là đa thức hệ số biếntbậc không vượt quák+s.