CHƯƠNG 2. MỘT SỐ MÔ HÌNH SAI PHÂN TRONG KINH TẾ VÀ KHOA HỌC KỸ THUẬT
2.3. Một số mô hình sai phân trong khoa học kỹ thuật
2.3.1. Sự ổn định của một hệ thống
Nếu chúng ta đang theo dõi xem hai đại lượng thay đổi đồng thời như thế nào, một phép toán mô hình cho tình huống này có thể yêu cầu một hệ thống gồm hai hoặc nhiều phương trình. Công thức không chính thức mô tả sự thay đổi = giá trị tương lai - giá trị hiện tại có thể được sửa đổi thành hệ thống phương trình trong những trường hợp như thế này. Nếu chúng ta theo dõi các giá trị trong các khoảng thời gian rời rạc, chúng ta thu được một hệ phương trình sai phân.
an+1 = f(an, bn) ⇔∆an = f(an, bn)−an, bn+1 = g(an, bn) ⇔∆bn = g(an, bn)−bn.
Tương tự như với phương trình sai phân đơn, khi xử lý các hệ phương trình sai phân, chúng ta quan tâm đến các giá trị cân bằng và độ ổn định của chúng. Đặt n→ ∞ ở trên công thức và biểu thị giới hạn của an theo a và giới hạn của bn bởi b, chúng ta thu được hai phương trình từ đó chúng ta thu được các nghiệm cân bằng (trạng thái ổn định của hệ thống).
a = f(a, b) ⇔ 0 = f(a, b)−a, b = g(a, b) ⇔ 0 = g(a, b)−b.
Sau khi xác định các điểm cân bằng, chúng ta quan tâm đến sự ổn định của chúng. Sự cân bằng giá trị cung cấp cái nhìn sâu sắc về hành vi lâu dài của hệ thống và chứng minh nếu hệ thống có hành vi tuần hoàn hay không, nếu có dao động, nếu các nghiệm số nhạy cảm trên các điều kiện ban đầu hay không và mức độ nhạy cảm của hệ thống đối với những thay đổi của các tham số trong mô hình.
Ví dụ 2.3.1. Xét vấn đề sau: Một công ty cho thuê xe hơi có các nhà phân phối ở Orlando và Tampa. Công ty chuyên phục vụ cho các đại lý du lịch muốn thu xếp các hoạt động du lịch ở cả hai thành phố. Do đó, một khách du lịch có thể thuê một chiếc xe hơi ở một thành phố và trả nó ở một thành phố khác. Công ty muốn xác định số tiền phải trả cho sự thuận tiện này. Hãy giả sử rằng 60% trong số những chiếc xe đã thuê ở Orlando được trả lại ở đó và 70% số xe thuê ở Tampa được trả lại ở đó. Nếu có tổng cộng 7000 ô tô được phân phối giữa hai thành phố, hãy xác định xu hướng số lượng ô tô ở một trong hai thành phố trong hai khả năng sau:
Ban đầu có 2000 xe ở Orlando và 5000 xe ở Tampa.
Ban đầu không có xe hơi ở Orlando và tất cả 7000 chiếc ở Tampa.
Để mô hình hóa tình huống này, hãy xem xét các biến sau đây. Gọi n là số ngày, On là số ô tô ở Orlando vào cuối ngày thứ n, và Tn số lượng ô tô ở Tampa vào cuối ngày thứ n. Trong trường hợp này On+1 = 0.6On+ 0.3Tn và Tn+1 = 0.4On+ 0.7Tn. Các giá trị cân bằng của hệ thống này sẽ là số lượng ô tô sẽ vẫn là hệ thống cân bằng tối ưu. Nếu O biểu thị giới hạn của On (và On+1) và T biểu thị giới hạn của Tn (và Tn+1), chúng ta có thể tìm thấy nghiệm cân bằng từ các phương trình sau đây:
O = 0.6O + 0.3T và T = 0.4O + 0.7T.
Giải hệ hai phương trình trên ta nhận được O = 3
4T. Mối quan hệ xác định khẩu phần ô tô tối ưu ở hai thành phố.
Như vậy, nếu tổng số ô tô là 7000 chiếc, nghĩa là O + T = 7000. Lúc đó ta có:
3
4T + T = 7000→ 7
4T = 7000 →T = 4000 →O = 3000.
Tổng quát hơn, nếu m là tổng số ô tô, từ O + T = m chúng ta nhận được rằng các giá trị giới hạn của O và T sẽ tương ứng là: 3
7m và 4 7m.
Do đó, trong một trong hai khả năng điều kiện ban đầu sau đây, xu hướng dài hạn là có 3000 xe hơi ở Orlando và 4000 xe hơi ở Tampa.
Ví dụ 2.3.2. Giả sử rằng hai hồ được nối với nhau bởi một dòng nước (ví dụ, hãy xem xét hồ Ontario và Erie). Cũng giả sử rằng phép đo ô nhiễm chỉ ra rằng 10% ô nhiễm của hồ thứ nhất đến từ hồ thứ hai. Đối với hồ thứ hai, các phép đo chỉ ra rằng 65%ô nhiễm đến từ hồ đầu tiên. Đại diện cho điều này tình huống với một hệ phương trình sai phân. Tìm các giá trị cân bằng của hệ và thảo luận về hành vi lâu dài.
Để mô hình hóa tình huống này, hãy xem xét các biến sau đây. Gọi n là số năm, Gọi an và bn lần lượt là tổng lượng ô nhiễm ở hai hồ sau n năm.
Trong trường hợp này:
an+1 = 0.35an+ 0.1bn và bn+1 = 0.65an + 0.9bn.
Các giá trị cân bằng của hệ thống này sẽ đại diện cho lượng chất ô nhiễm sẽ vẫn là những hồ nước về lâu dài. Nếu a biểu thị giới hạn của an (và an+1) và b biểu thị giới hạn bn (và bn+1), chúng ta có thể tìm các nghiệm cân bằng từ hai phương trình sau:
a = 0.35a+ 0.1b và b = 0.65a+ 0.9b.
Giải cho a và b, ta nhận được điều kiện b = 65
100a = 0.65a. Đây là mối quan hệ giữa trạng thái ổn định. Mối quan hệ xác định tỷ lệ giới hạn của chất ô nhiễm trong hai hồ.
Giả sử rằng không có ô nhiễm mới nào được thêm vào một trong hai hồ (do đó a+b là hằng số) chúng ta có thể để 100% đại diện cho tổng lượng chất ô nhiễm. Trong trường hợp này,
a+ b = 1 → a + 0.65a = 1 → 0.75a = 1 → a ≈ 13% và b = 0.65a ≈ 87%.
Do đó, khoảng 13% chất ô nhiễm sẽ kết thúc ở hồ thứ nhất và 87% ở hồ thứ hai.
Tổng quát hơn, nếu m là tổng lượng chất ô nhiễm thì a+b = m →7.5a = m → a ≈ 0.13m và b ≈ 0.87m.
2.3.2. Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến Phương pháp sai phân liên tiếp
- Là phương pháp gần đúng tính bằng số dùng sai phân hóa để giải bài toán vi tích phân thời gian của các hệ thống phi tuyến và tuyến tính.
- Sai phân hóa là thay thế gần đúng những vi phân của biến thời gian t của ẩn x bằng những vi phân của chúng.
- Phương pháp sai phân liên tiếp chuyển hệ phương trình vi phân thành hệ sai phân gần đúng và dùng phương pháp số để tìm dần từng bước nghiệm gần đúng.
Chia trục thời t thành những bước h = ∆t.
t0 = 0;t1 = ∆t;t2 = 2∆t;. . .;tk = k∆t.
Sai phân hóa:
dx dt ≈
∆x
∆t; d2x dt2 ≈
xk+2 −2xk+1 +xk
h2 .
Sai phân hóa hệ phương trình mạch bằng những biểu thức sai phân
−→ thu được một hệ sai phân liên hệ trị xk ở các bước thời gian liên tiếp
−→ biết được xk
−→ tính được giá trị xk+1.
Ví dụ 2.3.3. Dùng phương pháp sai phân tính dòng quá độ khi đóng nguồn hằng E = 24V vào mạch gồm cuộn dây có đặc tính ψ(i) = 1.75i− 2.8i3, mắc nối tiếp với điện trở R = 60Ω.
Lời giải. Lập phương trình mạch:
60i+ ∂ψ
∂i .∂i
∂t = 24 ⇔ 60i+ (1.75−8.4i2).i0 = 24.
- Sai phân hóa phương trình mạch:
60ik + (1,75−8.4i2k).ik+1 −ik
h = 24 ⇔ik+1 = (24−60ik.h) 1.75−8.4i2k +ik. - Tính bước sai phân: Xét phương trình tuyến tính suy biến:
1.75i0 + 60i = 24
⇒1.75p+ 60 = 0
⇔ p= −34.3
⇒τ = 1
|p| = 0.03s
⇒ h = 1
10.3τ ≈ 10ms.
- Nghiệm xác lập: ixl = 24
60 = 0,4A. - Bảng kết quả:
Vớ dụ 2.3.4. Cho mạch điện, biếtR1 = 30Ω, R2 = 40Ω, C = 100àF, E = 40V, cuộn dây phi tuyến có đặc tính ψ(i) = 1.75i−2.8i3. Tính 10 giá trị đầu tiên của dòng điện quá độ trên tụ C (cho h = 10ms).
Hình 2. Sơ đồ mạch điện Lời giải. Biến đổi mạch:
R12 = R1R2
R1 +R2 = 17.14Ω;E12 = E
R1 +R2.R2 = 22.86V.
- Lập phương trình mạch: uR12 + uL+uC = E12
⇒ R12i+ ∂ψ
∂i .di dt + 1
C Z
idt = R12i+ (1.75−8.4i2)di dt + 1
C Z
idt = E12. - Đạo hàm hai vế của phương trình:
R12i0 −1.68i.(i0)2 + (1,75−8.4i2)i” + i C = 0
⇒ 17.14i0 −1.68i.(i0)2 + (1.75−8.4i2)i” + i
10−4 = 0.
- Sai phân hóa:
17,14ik+1 −ik
h −1,68ik(ik+1 −ik h )2 +(1,75−8,4i2k)ik+2−2ik+1 +ik
h2 + ik
10−4 = 0
⇒ik+2 = 2ik+1−ik−h2ik + 17.14.10−4h(ik+1 −ik)−16.8.10−4ik(ik+1 −ik)2 10−4(1.75−8.4i2k) . - Tính sơ kiện:
i0 = i(0) = 0; uC(0) = 0;
i0(0) ≈ i1 −i(0)
h ⇒i1 = i(0) +hi0(0).
Phương trình mạch ở chế độ mới:
R12i+ (1.75−8.4i2)i0(t) +uC(t) = E12
⇒17.14i(0) + [1.75−8.4i2(0)]i0(0) +uC(0) = 22.86
⇒i0(0) = 13,06(A/s)
⇒i1 = i(0) +hi0(0) = 13.06h.
- Phương trình sai phân:
⇒ik+2 = 2ik+1−ik−h2ik + 17.14.10−4h(ik+1 −ik)−16.8.10−4ik(ik+1 −ik)2 10−4(1.75−8.4i2k) ,
i0 = 0; i1 = 13.06h.
- Bảng kết quả:
2.3.3. Xử lý tín hiệu số
Phương trình sai phân hệ số biến đổi
Về mặt tín hiệu, một hệ thống tuyến tính (HTTT) sẽ được mô tả bởi một phương trình sai phân có dạng:
N
X
k=0
ak(n)y(n−k) =
M
X
r=0
br(n)x(n−r), (2.87) a0(n)y0(n) +
N
X
k=1
ak(n)y(n−k) =
M
X
r=0
br(n)x(n−r),
y(n) =
M
X
r=0
br(n)
a0(n)x(n−r)−
N
X
k=1
ak(n)
a0(n)y(n−k) (2.88) y(n) =
∞
X
k=−∞
x(k)hk(n).
trong đó ak(n), br(n) là hệ số phương trình đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống tuyến tính, thay cho đáp ứng xung.
Phương trình sai phân hệ số hằng
Một hệ thống tuyến tính bất biến về mặt toán học được mô tả bởi một phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng dạng tổng quát sau đây:
N
X
k=0
aky(n−k) =
M
X
r=0
brx(n−r), (2.89) trong đó ak, br là các hệ số hằng, N là bậc của phương trình.
y(n) =
M
X
r=0
br
a0x(n−r)−
N
X
k=1
ak
a0y(n−k) (2.90)
nếu a0 = 1 thì
y(n) =
M
X
r=0
brx(n−r)−
N
X
k=1
aky(n−k), (2.91) trong đó ak, br đặc trưng cho hệ thống, thay cho đáp ứng xung.
Đáp ứng ra y(n) được xác định bởi phương trình sai phân như trên tương đương với đáp ứng ra được xác định theo phép chập:
y(n) = x(n)∗h(n) =
∞
X
k=−∞
x(k)h(n−k), (2.92) trong đó đáp ứng xung h(n) đặc trưng cho hệ thống.
Lưu ý: Nếu đầu vào là xung đơn vị δ(n) thì đầu ra ta có đáp ứng xung h(n).
2.3.4. Điều chế liều lượng của thuốc
Giả sử rằng liều D0 của một loại thuốc, làm tăng nồng độ của nó trong cơ thể bệnh nhân lên C0, được sử dụng trong khoảng thời gian đều đặn t = 0;T; 2T; 3T, . . .. Giữa các lần tiêm, nồng độ c của thuốc giảm theo phương trình vi phân c0 = −γc, với γ là một hằng số dương. Ở đây thuận tiện là thay đổi một chút quy ước ký hiệu và biểu thị bằng cn nồng độ của thuốc ngay sau lần tiêm thứ n, tức là,c0 là nồng độ ngay sau lần tiêm ban đầu (thứ 0), c1 là nồng độ ngay sau lần tiêm đầu tiên, nghĩa là, tại thời điểm T, v.v . . . . Chúng ta đưa ra công thức cho cn và xác định xem liệu nồng độ của thuốc cuối cùng ổn định.
Trong ví dụ này, chúng ta có sự kết hợp của hai quá trình: liên tục giữa các lần tiêm và rời rạc trong thời gian tiêm. Đầu tiên, chúng ta nhận thấy rằng quá trình này không liên tục tại thời điểm tiêm vì vậy chúng ta có hai giá trị khác nhau cho c(nT): ngay trước khi tiêm và ngay sau khi tiêm (giả sử rằng tiêm được thực hiện ngay lập tức). Để tránh sự mơ hồ, chúng ta biểu thị bằng c(nT) nồng độ ngay trước lần tiêm thứnvà bằng cn nồng độ ngay sau đó, phù hợp với ký hiệu đã giới thiệu ở trên. Vì vậy, giữa lần
tiêm thứ n và thứ n+ 1 nồng độ thay đổi theo luật hàm số mũ c((n+ 1)T) =cne−γT
để qua mỗi khoảng thời gian giữa các lần tiêm, nồng độ giảm đi một phần không đổi a = e−γT. Do đó, chúng ta có thể viết ra phương trình sai phân cho các nồng độ ngay sau lần tiêm n+ 1 lần đầu tiên như sau
cn+1 = acn +c0 (2.93)
trong đó c0 là liều lượng của mỗi lần tiêm. Chúng ta có thể giải bằng cách sử dụng (1.26)như sau:
cn = c0an +c0an−1
a−1 = − c0
1−aan+1 + c0 1−a. Từ a < 1, chúng ta ngay lập tức nhận được rằng ¯c = lim
n→∞cn = c0 1−a = c0
1−e−γT.
Tương tự, nồng độ ngay trước khi tiêm lần thứ n là:
c(nT) =cn−1e−γT = e−γT( c0
e−γT −1e−γT n + c0 1−e−γT) c0
1−eγTe−γT n+ c0 eγT −1 và khi đó c = lim
n→∞c(nT) = c0 eγT −1.
Ví dụ: Với c0 = 14mg/l, γ = 1/6, T = 6h chúng ta thấy rằng sau một loạt tiêm dài, nồng độ tối đa đạt được ngay sau khi tiêm sẽ ổn định xung quanh 22mg/l. Nồng độ tối thiểu ngay trước khi tiêm sẽ ổn định ở xung quanh c = 14/e−1≈ 8.14mg/l.