CHƯƠNG 2: HỆ SÓ NGHỊCH TỪ TRONG VÙNG TỪ TRƯỜNG NHỎ
2.1. Hiệu ứng dịch chuyển năng lượng trong vùng từ trường nhỏ
Đầu tiên ta sẽ thiết lập biểu thức năng lượng magnetoexciton trong vùng từ trưởng nhỏ đẻ chỉ ra hiệu ứng dịch chuyền nang lượng. Đề giải phương trình Schrédinger (1.7) bang lý thuyết nhiễu loạn có dang chính tắc, xét trường hợp chiều dai đặc trưng lớn hơn nhiều so với
bán kính exciton ly = is > (r)am,. trước tiên ta tách phương trình thanh hai thành phan.
Trong vùng từ trưởng nhỏ các thành phan thé nghịch từ và thé chuyển động nhiệt Stark sẽ
đóng vai trò nhiều loạn trong Hamiltonian còn thành phan thế Rytova-Keldysh chiếm ưu
thế. Do đó thành phần có nghiệm riêng chính xác sẽ là:
ồa2
Hg = 2u + Ê seman + Pax: (2.1)
và thành phan nhiều loạn sẽ là các thành phan phụ thuộc vào tr trường
v= Vaiamag + Ons: (2.2)
Biêu thức tường minh của các thành phân thé trong (2.2) là
e“PB2p2
P2 tmmag = 8ụ Fs (2.3a)
5s 4 T
Vins = — re eB rcos@. (2.3b)
Khi không kẻ đến các thành phan (2.3a) (2.3b), xét gan đúng bậc không của phương trình
Schrédinger có dạng
20
Ao nm (7) = Enm Van (- (2.4)
Lúc này phương trình (2.4) tương tự như mô tả chuyển động của exciton trong không gian
hai chiều nhưng với thé tương tac Rytova-Keldysh và có xét đến thành phan thế Zeeman.
Thanh phan thé Zeeman có nghiệm chính xác phụ thuộc số lượng tử từ nên các mức năng lượng trong (2.4) bị tách ra, và đo đó lam bai toán exciton trong không gian hai chiều có tính suy biến trở nên gan suy bién. Nguyên nhân là các mức năng lượng khác số lượng tử chính sẽ phân biệt rat rõ ràng với nhau nhưng các mức năng lượng có cùng số lượng tử chính, khác nhau số lượng tử từ chênh lệch nhau rất ít, đặc biệt là trong vùng từ trường nhỏ. Lúc này hầm sóng của một trạng thái bat kỳ có thê được viết đưới dang phân ly độc lập giữa bán kính
r và góc phương vi @
(9) tr) = ——RÐ cre, (2.5)
v2mr
Với n là số lượng tử chính, m là số lượng tứ từ có giá trị nguyên trong khoảng [im| < n — 1.
Khi xột gần đỳng bậc | ta được phương trỡnh Schrửdinger cú dạng như sau
(Ao — BSP OWE + OWS? = SEY, (2.6)
với AWS? và AES? lần lượt là bố chính hàm sóng bậc 1 và bỏ chính năng lượng bậc 1. Bỏ
chính năng lượng bậc 1 được xác định bằng cách nhân vào hàm sóng yo?” và lấy tích phân
toàn miễn
HEY) = | WAY (Hl — EẢm Am để + | Ye Pay để. (2.7)
Thanh phan dau tiên trong (2.7) bang không, dựa vào tính chat (2.4), do đó năng lượng bỗ
chính bậc | trở thành
Aes = (vs |v |Win) = (Vệ TU) (28)
Tiến hành tính toán riêng cho các thành phan liên quan trong (2.8), thé nghịch từ trong toán tử nhiều loạn V ta được
(yar [Yeiamee |W) == = sứ # am: (2.9)
Ở đây ta sử dung ký hiệu Dirac (r?)ym = f ye” "~- dé thuận tiện trong biểu diễn
phép tính. Đôi với thành phan thé chuyên động nhiệt Stark, ta cũng thực hiện tính toán tương
tự và thu được
Vins (°) di?0
2ù +0
2keT ; ,
=~ 3m |e ơ Je RO (rem'TMđ 2 cose RO (r)et"đ drdy
=~ 2T ƒ cosp dp | Rion (7) Ram(r) r®dr = 0. (2.10)+œ a
Do hàm sóng yi?) có đối xứng SO(2) nên khi lấy tích phân toàn miền không gian theo số
hạng rcosg sẽ bằng không, din đóng góp của thành phan thé chuyển động nhiệt Stark là không xuất hiện như đã chứng minh trong (2.10). Lúc này bỏ chính bậc 1 của năng lượng sẽ
là
e2B2
~ Sn
Thay kết qua bồ chính năng lượng bac | (2.11) vào phương trình (2.6), sau đó rút gọn, ta xác định được bồ chính hàm sóng bậc | có dang
_ Wi|f2) ứ
Ay = ằ EO gw Vm (2.12)
(nĩn')#(n,m}) num
Tương tự, xét gần đúng bậc 2 ta thu được phương trình
(Ay — Em awe + (P — AES al? = ABD yO. (2.13)
Từ (2.13), bd chính năng lượng bậc 2 được xác định bằng cách nhân vào hàm sóng po ye
và lay tích phân toàn miễn, ta có công thức:
Aes = | Wn (Ra ~ Em A0 dể + [ yin (P = AE, Ai dĩ
= | tận (P — AEG )AÚảm để. (2.14)
Thành phan dau tiên (2.14) có giá trị bằng không, do phương trình (2.4). Tiến hành thay bổ chính bậc | của năng lượng và hàm sóng lần lượt trong (2.11) và (2.12) vào (2.14) và rút
gọn ta được
po nl
MEK Deo Exar (nym pen) En m En, m Em | Yim (Y ~ MESn is d
tNtN
- y Wi yp „|V|uá2) (w Oly ly, } G15
(nmj20t',m') Ew ‘mt “” Enm
Do thành phan nhiễu loạn V cũng là toán tử Hermite, do đó phương trình (2.15) có thé viết
gọn lại thành
_l=wzzil i
AE?) = (2.16)
(nem )e{nn) wm
Tiép tục thay các thành phần nhiễu loạn phụ thuộc vào từ trưởng (2.2) vào (2.16)
(2) ||uz2|Vô.ằôứ + Vins| yi, Nf
SEXmn = —— (2.17)
(ramos (nym) Em — Ewnu
Ta thấy rằng thành phần thé nghịch từ có đóng góp rất nhỏ trong (2.17) do phụ thuộc vào
B3, do đỏ thành phan thé chuyển động nhiệt Stark sẽ đóng góp chủ yếu cho bỏ chính nang
lượng bậc 2.
AE >, ( 3 Vs |W aim thề Vaiamag 0Ì (648)2
mn (nưmt)#(nm) Enon’ l .
Thay (2.3b) vào (2.18) ta có
0) (0) 2
AE) = 2heTe” pe ằ Ifvsmlr e056) fxn (2.19)“nim M Enm _ Entm’ . .
{nm)a(n?.m’)
Do ham sóng tt) phan ly độc lập theo thành phan bán kính và góc, do đó ta có thé tinh
riêng tích phân có thành phân theo góc trong (2.19). Thay (2.5) vào (2.19) và thực hiện tính riờng thành phan tớch phõn theo gúc phương vị ứ là
F iad e~?*? cos œ eÙ*'® đụ
2m
_1 (m- m’) sin(2r(m — m')) + i(m = m’) cos(2(m — m‘)) (2.20)
2n Qn — m‘ + 1)(m — nứ — 1) : ‘
Dé tích phan / có giá trị xác định, với mỗi giá trị m cho trước, giá tri m’ phải thỏa điều kiện
mí = m + 1. Xét giới hạn của I khi m’ ~ m + 1, ta có
1 1
s0 mi is 2n 3 (221)
Thay kết quả trên vào (2.19), năng lượng bỗ chính bậc 2 được xác định qua biểu thức
AE® = — Gam ee? Bề. (2.22)kạT
Trong đó hệ số phân cực #„„„ được xác định bằng bieu thức
œ © 2
lí Ro (YR (r) r°dr|
(0) „(0)
Bam — n'm!
=-5 1
(2.23)
fam
nie |mf|+1 m' emt
Ta đặt hệ số #„„ có dau trừ dé tiện tinh toán trong các phan sau. Nhu vậy năng lượng trong vùng tử trường nhỏ khi xét đến bỗ chính bậc một va bậc hai có công thức
Be. = Be + Sham — đun 22B, (2.24)
Từ (2.24), ta có thé thay rang khi không có nhiệt độ, năng lượng magnetoexciton sẽ bị dịch chuyên đi một lượng xác định bằng biểu thức (2.11). Đây chính là thành phần năng lượng được bỗ sung do hiệu ứng dịch chuyên nghịch từ, có giá trị không âm. Khi xét đến hiệu ứng nhiệt độ, một thành phan năng lượng mới xác định qua (2.22) bd sung vào năng lượng magnetoexciton. Đây chính là hiệu ứng dich chuyên năng lượng đo nhiệt độ chỉ xuất hiện khi nhiệt độ khác OK do ảnh hưởng từ thé chuyén động nhiệt Stark. Khác với hiệu ứng dich chuyển nghịch từ, hiệu ứng dịch chuyên nhiệt độ có phan nang lượng bỏ sung có thé nhận
giá trị âm hoặc đương tùy vào trạng thái được xét.
Các giá trị năng lượng Be) trong (2.24) có thé thu được thông qua việc giải số phương
trinh Schrédinger. Ở đây ta sẽ dựa vào phương pháp toán tử FK cùng sơ 46 lý thuyết nhiễu
loạn có điều tiết được trình bày trong mục 1.3 dé tính số các giá trị năng lượng Be theo
nhiệt độ phòng 300K và OK cùng với sự thay đôi cường độ từ trường. Ta cũng can lưu ý rằng phương trình (2.24) biéu diễn kết quả năng lượng bậc hai qua Hamiltonian chính tắc, trong khi lý thuyết nhiễu loạn có điều tiết lại có Hamiltonian dang không chính tắc (1.16).