Vũng 1: (toỏn chung)
Bài 1,(2đ)
Tớnh S=
Bài 2,(2đ)Tỡm nghiệm nguyờn dương:
Bài 3,(2đ)C/m nghiệm pt là nghiệm pt:
Bài 4,(3đ)Cho hv ABCD, M di động trờn BD (M khỏc B,D).Vẽ 2 đường trũn tõm O1,O2
đều qua M và lần lượt tiếp xỳc với CB,CD ở B,D. (O1) cắt (O2) ở N ( khỏc M). a,C/m C,M,N thẳng hàng
b,C/m N 1 đường trũn cố định c,Tỡm M để đoạn O1O2 min.
Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 CHUYấN TỐN - ĐHKHTN - ĐHQGHN Năm học 1989-1990
Ngày thứ I :
Bài 1 :Tỡm tất cả cỏc giỏ trị nguyờn của x để biểu thức là số nguyờn
Bài 2 : Tỡm min của Bài 3 :
a)Chứng minh với mọi m nguyờn dương ,biểu thức khụng phài là số chớnh phương b)Chứng minh rằng với mọi m nguyờn dương thỡ khụng thể thành tớch của 4 số tự nhiờn liờn tiếp
Bài 4 :Cho tam giỏc ABC vuụng cõn ,gúc A=90 độ .CM là trung tuyến (M nằm trờn AB).Từ A vẽ
đường vuụng gúc với MC cắt BC ở H.Tớnh tỉ số
Bài 5 :Cú 6 thành phố trong đú cứ 3 thành phố bất kỳ thỡ cú ớt nhất 2 thành phố liờn lạc với
Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 CHUYấN TỐN - ĐHKHTN - ĐHQGHN Năm học 1993-1994 Ngày thứ I : Bài 1 : a)Giải phương trỡnh b)Giải hệ phương trỡnh
Bài 2 : Tỡm max và min của A= khi x,y thay đổi thỏa mĩn ;
Bài 3 :Cho hỡnh thoi ABCD .Gọi R,r là bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp cỏc :delta ABD,ABC và a
là độ dài cạnh hỡnh thoi .CMR:
Bài 4 : Tỡm tất cả cỏc số nguyờn dương a,b,c đụi một khỏc nhau sao cho
nhận giỏ trị nguyờn dương
Ngày thứ II:
Bài 1 : Giải hệ phương trỡnh :
Bài 2 :Cú tồn tại hay khụng cỏc số nguyờn x,y thỏa mĩn điều kiện :
.
Bài 3 : Số 1997 viết đước dưới dạng tổng hợp số, nhưng khụng viết được dưới dạng tổng
hợp số . Hỏi bằng bao nhiờu ?
Bài 4 : Xột tam giỏc ABC ngoại tiếp vũng trũn cú bỏn kớnh bằng 1 . Gọi lần lượt là độ dài cỏc đường cao hạ từ đỉnh A, B, C tới cỏc cạnh đối diện . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức :
Bài 5: Trờn đường trũn cho 16 điểm và màu : xanh, đỏ, vàng để tụ cỏc điểm này (mỗi điểm tụ
một màu) . Giữa mỗi cặp điểm được nối bằng một đoạn thẳng được tụ bằng màu tớm hoặc màu nõu . Chứng minh rằng với mọi cỏch tụ màu trờn cỏc điểm (chỉ dựng 3 màu : xanh, đỏ, vàng) và mọi cỏch tụ trờn mỗi đoạn thẳng nối giữa hai cặp điểm (chỉ dựng 2 màu : tớm, nõu) ta đều tỡm được trờn hỡnh vẽ một tam giỏc cú đỉnh là cỏc điểm đĩ cho mà cỏc đỉnh được tụ bằng cựng một màu và cỏc cạnh cũng được tụ bằng cựng một màu (khỏc màu tụ trờn đỉnh) . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 CHUYấN TỐN - ĐHKHTN - ĐHQGHN Năm học 1998-1999 Ngày thứ I: Bài 1 : a) Giải phương trỡnh : b) Giải hệ phương trỡnh :
Bài 2 :Cho cỏc số a, b thỏa mĩn điều kiện
Tớnh giỏ trị của biểu thức
Bài 3 : Cho cỏc số . Chứng minh rằng :
Bài 4 : Cho đường trũn (O) bỏn kớnh R . A và B là hai điểm cố định trờn đường trũn, (AB<2R) .
Giả sử M là một điểm thay đổi trờn cung lớn AB của đường trũn .
a) Kẻ từ B đường thẳng vuụng gúc với AM, đường thẳng này cắt AM tại I và cắt đường trũn (O) tại N . Gọi J là trung điểm của MN . Chứng minh rằng khi M thay đổi trờn đường trỏn thỡ mỗi điểm I, J đều nằm trờn một đường trũn cố định .
b) Xỏc định vị trớ của điểm M để chu vi của tam giỏc AMB lớn nhất .
Bài 5 :
a) Tỡm tất cả cỏc số nguyờn dương sao cho mỗi số và đều là lập phương của một số nguyờn dương .
b) Cho cỏc số thay đổi thỏa mĩn điều kiện . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức :
Ngày thứ II: Bài 1:
a) Giải hệ phương trỡnh :
b) Với những giỏ trị nào của cõu a thỡ phương trỡnh sau đõy cú nghiệm :
Bài 2: Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh : Bài 3 :
a) Cho a, b, c là cỏc số thỏa mĩn : i.
ii. phương trỡnh vụ nghiệm Chứng minh rằng :
b) Cho . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức :
Bài 4 :
Cho bảng ụ vuụng kớch thước (bảng gồm 1998 hàng và 2000 cột ) . Kớ hiệu (m,n) là ụ vuụng nẳm ở giao hàng thứ m (tớnh từ trờn xuống) và cột n ( tớnh từ trỏi sang phải ) . Cho cỏc số nguyờn với và . Tụ màu cỏc ụ vuụng con của bảng theo quy tắc : a) Lần thứ nhất tụ màu năm ụ :
b) Từ lần thứ hai trở đi, mỗi lần tụ năm ụ chưa cú màu nằm liờn tiếp trong cựng một hàng hoặc cựng một cột .
Hỏi bằng cỏch đú ta cú thể tụ màu hết tất cả cỏc ụ vuụng con của bảng hay khụng ? Giải thớch tại sao ?
Bài 5:
Cho tam giỏc đều ABC . Trong tam giỏc ABC, vẽ ba vũng trũn, cú bỏn kớnh bằng nhau, tiếp xỳc ngồi lẫn nhau và mỗi vũng trũn đều tiếp xỳc với hai cạnh của tam giỏc . Gọi là vũng trũn tiếp xỳc ngồi với cả bà vũng trũn . Biết bỏn kớnh của vũng trũn là
Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 CHUYấN TỐN - ĐHKHTN - ĐHQGHN Năm học 1999-2000
Ngày thứ I:
Bài 1: Cho cỏc số thỏa mĩn :
Tớnh giỏ trị của biểu thức .
Bài 2:
a) Giải phương trỡnh : (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
b) Giải hệ phương trỡnh :
Bài 3 : Tỡm tất cả cỏc số nguyờn dương sao cho chia hết cho .
Bài 4 : Cho đường trũn (O) và điểm I ở trong đường trũn . Dựng qua I hai dõy cung bất kỡ MIN và
EIF . Gọi M', N', E', F' là cỏc trung điểm của IM, IN, IE, IF . a) Chứng minh rằng tứ giỏc M'E'N'F' nội tiếp .
b) Giải sử I thay đổi, cỏc dõy cung MIN và EIF thay đổi. Chứng minh rằng vũng trũn ngoại tiếp tứ giỏc M'E'N'F' cú bỏn kớnh khụng đổi .
c) Giả sử I cố định, cỏc dõy cung MIN, EIF thay đổi nhưng luụn vuụng gúc với nhau . Tỡm vị trớ của cỏc dõy cung MIN và EIF sao cho tứ giỏc M'E'N'F' cú diện tớch lớn nhất .
Bài 5 :
Cỏc số dương thay đổi thỏa mĩn . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức .
Ngày thứ II:
Bài 1 : Giải phương trỡnh :
Bài 2: Cho cỏc số được xỏc định bởi cụng thức với mọi . Tớnh giỏ trị của tổng
Bài 3 : Chứng minh rằng tồn tại một số chia hết cho 1999 và tổng cỏc chữ số của số đú bằng 1999
Bài 4 : Cho vũng trũn tõm O bỏn kớnh R . Giả sử A và B là hai điểm cố định trờn vũng trũn với
.
a) Giả sử M là một điểm thay đổi trờn cung lớn AB của đường trũn . Vũng trũn nội tiếp tam giỏc MAB tiếp xỳc với MA tại E và tiếp xỳc với MB tại F . Chứng minh rằng đường thẳng EF luụn tiếp xỳc với một đường trũn cố định khi M thay đổi .
b) Tỡm tập hợp tất cả điểm P sao cho đường thẳng vuụng gúc với OP tại P cắt đoạn thẳng AB .
Bài 5 :Cho hỡnh trũn (O') bỏn kớnh bằng 1 . Giả sử là 8 điểm bất kỡ nằm trong hỡnh trũn (kể cả trờn biờn) . Chứng minh rằng trong cỏc điểm đĩ cho luụn tồn tại hai điểm mà khoảng cỏch giữa chỳng nhỏ hơn 1
Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 CHUYấN TỐN - ĐHKHTN - ĐHQGHN Năm học 2000-2001 Ngày thứ I: Bài 1 : a) Tớnh b) Giải hệ phương trỡnh : Bài 2 : a) Giải phương trỡnh
b) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của a ( a R ) để phương trỡnh : cú ớt nhất một ngiệm nguyờn .
Bài 3: Cho đường trũn tõm O nội tiếp trong hỡnh thang ABCD (AB//CD), tiếp xỳc với cạnh AB
tại E và với cạnh CD tại F .
a) Chứng minh rằng .
b) Cho biết , . Tớnh diện tớch hỡnh thang ABCD .
Bài 4 : Cho x, y là hai số thực bất kỡ khỏc khụng. Chứng minh rằng :
Ngày thứ II: Bài 1 :
a) Tỡm cỏc cặp số nguyờn thỏa mĩn : .
b) Cho cặp số thỏa mĩn : , . Chứng minh : ,
.
Bài 2 :
a) Giải phương trỡnh . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
b) Cho cú tớnh chất , , đều là cỏc số hữu tỉ . Chứng minh rằng là cỏc số hữu tỉ .
Bài 3 :
a) Cho tứ giỏc lồi ABCD . Chứng minh rằng, nếu cỏc gúc B và D của tứ giỏc là vuụng hoặc tự thỡ .
b) Cho đoạn thẳng AC cố định và điểm B di động . Hĩy tỡm tập hợp cỏc điểm B để tam giỏc ABC là tam giỏc khụng tự và gúc là gúc bộ nhất của tam giỏc ABC .
Bài 4 : Trờn mặt phẳng cho 6 điểm sao cho khụng cú điểm nào thẳng hàng và khoảng cỏch giữa
cỏc cặp điểm là cỏc số khỏc nhau . Ta nối mỗi cặp điểm bởi một đoạn thẳng. Chứng minh rằng, trong cỏc đoạn thẳng vừa thu được cú một đoạn thẳng là cạnh bộ nhất của một tam giỏc cú 3 đỉnh là 3 trong số 6 điểm đĩ cho đồng thời là cạnh lớn nhất của một tam giỏc khỏc cũng cú 3 đỉnh là 3 trong số 6 điểm đĩ cho .
Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 CHUYấN TỐN - ĐHKHTN - ĐHQGHN Năm học 2005-2006
Vũng 2: Bài 1 :
Bài 2 : Giải hệ phương trỡnh
Bài 3 : thỏa mĩn a)CMR
b)Tỡm min của
Bài 4 : Cho hỡnh vuụng ABCD và điểm P nằm trong :delta ABC
a)Giả sử độ .CMR:
b)Cỏc đường thẳng AP và CP cắt cỏc cạnh BC và BA tại M,N.Gọi Q là điểm đối xứng với B qua trung điểm của đoạn MN.Chứng minh rằng khi P thay đổi trong :delta ,đường thẳng PQ luụn đi qua D
Bài 5 :
a)Cho đa giỏc đều (H) cú 14 đỉnh .CMR trong 6 đỉnh bất kỳ của (H) luụn cú 4 đỉnh là cỏc đỉnh của 1 hỡnh thang
b)Cú bao nhiờu phõn số tối giản (m,n là cỏc số nguyờn dương ) thỏa mĩn
Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 CHUYấN TỐN - ĐHKHTN - ĐHQGHN NĂM HỌC 2006-2007
VềNG I
Cõu I: Giải PT:
Cõu II: Với những giỏ trị x thỏa mĩn điều kiện
Cõu III: Tỡm số tự nhiờn gồm 4 chữ số thỏa mĩn đồng thời 2 tớnh chất:
(i) Khi chia số đú cho 100 ta được số dư là 6 (ii) Khi chia số đú cho 51 ta được sú dư là 17
Cõu IV: Cho hỡnh vuong ABCD cú cạnh AB=a. Trờn cỏc cạnh AB, BC,CD,DA lỏy lần lượt cỏc
điểm M, N, P, Q sao cho: luụn là tổng bỡnh phương của 2 đa thức bậc hai.
VềNG II Cõu I:
Chứng minh rằng:
Cõu III:
1) Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh:
2)Ký hiệu [x] là phần nguyờn của số x(số nguyờn lớn nhất khụng vượt quỏ x).Chứng minh rằng với mọi số tự nhiờn n ta luụn cú: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Cõu IV:
Cho :delta ABC nội tiếp đường trũn (O) và I là điểm nằm trong :delta ABC.Cỏc đường thẳng AI,BI,CI cắt (O) lần lượt tại A',B',C'(khỏc A,B,C).Dõy cung B'C' cắt cỏc cạnh AB,AC tương ứng tại cỏc điểm M,N.Dõy cung C'A' cắt cỏc cạnh AB,BC tương ứng tại cỏc điểm Q,P.Dõy cung A'B' cắt cỏc cạnh BC,CA tương ứng tại cỏc điểm F,E.
1.Giả sử AM=AN,BP=BQ,CE=CF xảy ra đ�ỡng thời.Chứng minh rằng I là tõm đường trũn nội tiếp :delta ABC.
2.Giả sử AM=AN=BP=BQ=CE=CF.Chứng minh rằng 6 điểm M,N,P,Q,E,F cựng nằm trờn một đường trũn.
Cõu V:
Chứng minh rằng đa giỏc lồi cú 2n cạnh(n N,n 2) luụn cú ớt nhất n đường chộo khụng song song với bất kỳ cạnh nào của đa giỏc đú