Trong bài nghiên cứu này, tác giả đứng trên quan điểm một người bán quyền chọn và thực hiện phòng ngừa vị thế bởi việc nắm giữa một danh mục gồm tài sản cơ sở và một tài khoản tiền mặt theo một chiến lược phòng ngừa cố định.
Ký hiệu giá quyền chọn tại thời điểm t là C (t, St) và thời gian đến khi đáo hạn là T. Chiến lược phòng ngừa được thiết lập như sau: khi người bán quyền chọn muốn phòng ngừa vị thế của mình, anh ta nhận được phí từ việc
48
bán quyền chọn C (t, St) và dùng số tiền thu được thiết lập một danh mục phòng ngừa theo một số chiến lược phòng ngừa hữu hiệu.
Black và Scholes (1973) chỉ ra rằng, trong thị trường hoàn hảo, thật dễ dàng để tái tạo giá trị nhận được từ quyền chọn bằng cách xây dựng một danh mục tài chính cá nhân gồm chứng khoán và tiền mặt. Với giả định là không có kinh doanh chênh lệch giá, giá của quyền chọn được đưa ra bởi việc giải phương trình vi phân từng phần,
với điều kiện cần của giá trị quyền chọn tại thời điểm đáo hạn C(T,ST). St là giá chứng khoán hoặc tài sản cơ sở tại thời điểm t, r là lãi suất phi rủi ro và σ là độ bất ổn của giá tài sản cơ sở. Trong mô hình Black Scholes, chiến lược phòng ngừa rủi ro tại thời điểm t bao gồm việc nắm giữ Δt chứng khoán và một số tiền mặt Bt
với X là giá thực hiện của quyền chọn. Chiến lược phòng ngừa sẽ được tái cân bằng liên tục và tài sản cơ sở được giao dịch liên tục.
Với sự hiện diện của chi phí giao dịch trong thị trường tài sản cơ sở, chiến lược phòng ngừa Black Scholes trở nên đắt hơn bởi việc đòi hỏi danh mục phòng ngừa phải được tái cân bằng liên tục, kết quả của những giao dịch với số lượng nhỏ và phải gánh chịu chi phí giao dịch rất lớn. Vi vậy, những
chiến lược phòng ngừa khác nhau được đưa ra trong phòng ngừa quyền chọn với sự hiện diện của chi phí giao dịch nhằm nghiên cứu khắc phục vấn đề của người phòng ngừa rủi ro quyền chọn phải đối mặt với chi phí giao dịch rất lớn.
Ký hiệu const và k như là hằng số và chi phí giao dịch tương ứng của việc mua bán tài sản cơ sở trong phần phân tích tiếp theo. Tác giả giả định rằng không có chi phí giao dịch liên quan tới việc nắm giữ tài khoản tiền mặt. a.Phòng ngừa rủi ro Black-Scholes tại những khoảng thời gian thường xuyên cố định
Chiến lược đơn giản nhất làm nhẹ bớt chi phí giao dịch rất lớn phải gánh chịu do việc tái cân bằng danh mục phòng ngừa đó là thực hiện chiến lược phòng ngừa delta Black Scholes tại những khoảng thời gian riêng biệt. Ý tưởng là chia khoảng thời gian [t, T] thành những khoảng thời gian thường xuyên cố định là δt trong đó . Tại thời điểm t, người phòng ngừa thực hiện việc phòng ngừa với Δt đơn vị tài sản cơ sở và Bt lượng tiền mặt. Tại thời điểm t + δt, người phòng ngừa sẽ tái cân bằng danh mục phòng ngừa theo delta Black Scholes. Vì thế, một lượng Δt+ δt - Δt của tài sản cơ sở sẽ được mua hoặc bán. Việc phòng ngừa sẽ được lặp lại theo cách thức giống nhau cho những khoảng thời gian tiếp theo.
Khi n là lớn, sự dao động của sai số phòng ngừa là nhỏ và chi phí giao dịch cao bởi việc phòng ngừa thường xuyên. Lựa chọn n phụ thuộc vào sự
50
không thích rủi ro của người phòng ngừa. Khi người phòng ngừa là không thích rủi ro, anh ta sẽ chọn n lớn vì thế anh ta có thể tái cân bằng vị thế phòng ngừa của mình thường xuyên và tối thiểu hóa sai số phòng ngừa ở thời điểm đáo hạn. Tuy nhiên, chiến lược phòng ngừa với n lớn sẽ bao hàm một chi phí giao dịch cao. Mặt khác, một người phòng ngừa rủi ro mạo hiểm hơn sẽ chọn n nhỏ bởi vì anh ta chấp nhận một sai số phòng ngừa lớn hơn và tiết kiệm chi phí giao dịch.
b.Phòng ngừa Leland
Leland (1985) đưa ra một sự thay đổi trong chiến lược phòng ngừa rủi ro Black Scholes để đảm bảo không có chi phí giao dịch rất lớn do việc phòng ngừa quyền chọn sẽ không là vấn đề với những khoảng thời gian tái phòng ngừa nhỏ như thế nào. Chiến lược của Leland thì tương tự như chiến
lược phòng ngừa delta Black Scholes nhưng có thay đổi phương sai như sau: trong đó k là chi phí giao dịch tương ứng, σ là độ bất ổn Black-Scholes, δt là tần suất giao dịch.
Tương tự phòng ngừa riêng biệt Black Scholes, lựa chọn tần suất giao dịch δt phản ánh mức độ không thích rủi ro của nhà phòng ngừa. Một người rất không thích rủi ro sẽ chọn tái cân bằng ở tần suất có thể và lựa chọn δt nhỏ, trong khi với những người ưa rủi ro sẽ lựa chọn δt lớn.
c. Chiến lược trung lập của Henrotte
Thay vì tái phòng ngừa danh mục tại những khoảng thời gian thường xuyên cố định. Henrotte (1993) đề nghị chiến lược phòng ngừa dựa trên sự biến động của giá tài sản cơ sở. Người phòng ngừa quan sát thị trường liên tục và tái cân bằng danh mục phòng ngừa để phòng ngừa vị thế hoàn hảo khi phần trăm thay đổi trong giá tài sản cơ sở vượt quá lượng định trước. Vị thế phòng ngừa hiệu quả thì được xác định bởi việc dùng mô hình Black Scholes. Các chuỗi thời gian dừng, w, được đệ quy bởi:
trong đó h là phần trăm cố định.
Lựa chọn h phụ thuộc vào mức độ không thích rủi ro của người phòng ngừa. Một người phòng ngừa không thích rủi ro sẽ lựa chọn h nhỏ để đạt được sai số phòng ngừa nhỏ tại thời điểm đáo hạn nhưng sẽ có chi phí giao dịch lớn. Ngược lại, một người phòng ngừa thích rủi ro hơn thì sẽ sẵn lòng đối mặt với sai số phòng ngừa lớn nhưng thích chi phí giao dịch thấp.
d. Chiến lược trung lập Delta
Một chiến lược phòng ngừa thông thường khác giới thiệu bởi Whalley và Wilmott (1993) được thành thiết lập dựa trên sự thay đổi của delta quyển chọn. Với chiến lược phòng ngừa này, người phòng ngừa rủi ro sẽ tái cân
52
bằng danh mục đối với delta Black-Scholes khi tỷ lệ phòng ngừa di chuyển ra khỏi mức trung lập H.
Chuỗi thời gian dừng, w được đệ quy bởi:
trong đó là tỷ lệ phòng ngừa Black Scholes và H là hằng số trung lập. H thì liên quan với mức độ không thích rủi ro của người phòng ngừa. Một người không thích rủi ro sẽ chọn H nhỏ trong khi người ưa thích rủi ro hơn sẽ chọn H lớn.
Chiến lược phòng ngừa được thực hiện như sau: tại thời điểm t người phòng ngừa sẽ xây dựng danh mục phòng ngừa bởi việc mua ∆ = chứng khoán. Sau đó nhà phòng ngừa sẽ quan sát liên tục thị trường cho đến T sự khác nhau giữa tỷ số phòng ngừa và vị trí phòng ngừa hữu hiệu. Khi sự khác nhau này vượt quá H thì sự tái cân bằng danh mục sẽ đưa tỷ số phòng ngừa trở lại vị thế phòng ngừa hữu hiệu.
e.Dữ liệu
Dữ liệu quyền chọn chỉ số S&P 500 được lựa chọn để kiểm tra việc thực hiện các chiến lược quyền chọn khác nhau trước và trong suốt những thời kỳ khủng hoảng bởi một vài lý do. Quyền chọn chỉ số S&P 500 thỏa
mãn hầu hết những điều kiện yêu cầu bởi công thức Black – Scholes. Một lý do đó là quyền chọn chỉ số S&P 500 là một trong những thị trường giao dịch quyền chọn sôi động nhất. Lý do thứ hai đó là hợp đồng kiểu châu Âu là một yêu cầu lý tưởng để kiểm tra cho hầu hết các mô hình phòng ngừa bằng quyền chọn.
Yết giá quyền chọn hàng ngày và chi tiết hợp đồng tương ứng như giá thực hiện và thời gian đáo hạn được lấy từ Ivy database of Option Metrics database. Mỗi ngày, giá yết của quyền chọn mua và bán quyền chọn cuối ngày trên quyền chọn chỉ số S&P 500 được ghi sẵn. Giá quyền chọn dựa trên điểm giữa của giá yết mua và bán quyền chọn. Hệ thống dữ liệu cũng cung cấp thông tin tương ứng với mức độ của chỉ số S&P 500 và tỷ suất cổ tức của nó.
Dữ liệu tín phiếu kho bạc hàng ngày được thu thập từ Federal Reserve Bank of St. Louis Economics Research Database (FRED). Có 4 kỳ hạn khác nhau của tín phiếu kho bạc: 28 ngày, 91 ngày, 182 ngày, 264 ngày. Để đạt được một lãi suất ghép lãi liên tục nhằm kết nối với kỳ hạn của quyền chọn, tác giả đã nội suy hoặc ngoại suy tỷ lệ lãi suất từ 4 lãi suất này.
Thời kỳ mẫu là từ 2/1/1996 đến 30/9/2008. Đây là thời kỳ bao quát 2 cuộc khủng hoảng tài chính chủ yếu là cuộc khủng hoảng quản lý vốn dài hạn năm 1998 và khủng hoảng nợ thế chấp dưới chuẩn năm 2007. Để kiểm tra việc thực hiện trong thực tế các chiến lược phòng ngừa khác nhau, tác giả
54
chia mẫu thành thời kỳ khủng hoảng và không khủng hoảng. Khủng hoảng LTCM bắt đầu với sự phá giá của đồng Rúp Nga và vỡ nợ của trái phiếu Nga vào 17/8/1998 và kết thúc vào ngày 17/11/1998. Có 66 ngày giao dịch trong suốt thời kỳ khủng hoảng LTCM. Khủng hoảng nợ thế chấp dưới chuẩn bắt đầu từ 1/7/2007 cho đến hết thời kỳ mẫu. Có 316 ngày giao dịch đối vời thời kỳ khủng khoảng nợ thế chấp dưới chuẩn. Thời kỳ không khủng hoảng là thời kỳ những ngày mẫu mà không bao quanh khủng hoảng LTCM và nợ thế chấp dưới chuẩn. Có 2825 ngày giao dịch cho thời kỳ không khủng hoảng.
Bởi vì quyền chọn chỉ số S&P 500 là hợp đồng kiểu châu Âu, chỉ số giao ngay phải được điều chỉnh cho tỷ suất cổ tức. Mỗi quyền chọn với τ thời kỳ cho đến khi đáo hạn kể từ thời điểm t, mức độ chỉ số điều chỉnh cổ tức là:
trong đó St là mức chỉ số S&P 500 bao gồm cổ tức và d là tỷ suất cổ tức. Tác giả chia dữ liệu thành nhiều nhóm theo giá trị của quyền chọn và thời gian đáo hạn. Một quyền chọn được gọi là ITM nếu S/X 1.03, ATM nếu S/X (0.97,1.03), và OTM nếu S/X 0.97/ Đối với quyền chọn ITM và OTM, tác giả chia sâu quan sát hơn nữa thành deep ITM ( nếu S/X 1.06) và deep OTM (nếu S/X 0.94). Một quyền chọn được gọi là ngắn hạn nếu thời gian đến khi đáo hạn của nó nhỏ hơn 60 ngày, trung hạn nếu từ 60 đến 180 ngày cho đến khi đáo hạn và dài hạn là phần còn lại. Điều này tạo ra 18 nhóm quyền chọn với kết quả sẽ được trình bày trong bảng tiếp theo.
56
Bảng 1 thống kê tóm tắt mẫu quyền chọn S&P 500: Đây là bảng trình bày giá quyền chọn được yết trung bình, khoảng chênh lệch trung bình giũa giá mua và giá bán ( giá bán trừ điểm giữa giá mua và giá bán) trong dấu ngoặc đơn và tổng số quan sát trong dấu ngoặc nhọn cho mỗi loại quyền chọn. Có tổng cộng 842,211 quyền chọn mua trong mẫu với quyền chọn cao giá sâu và kiệt giá sâu theo thứ tự là 40% và 30% số lượng mẫu đối với những kỳ hạn khác nhau. Giá quyền chọn mua trung bình được sắp xếp từ $0.96 cho quyền chọn kiệt giá sâu OTM với thời kỳ ngắn hạn đến $315.79
cho quyền chọn cao giá sâu dài hạn. Khoảng chênh lệch giữa giá bán và giá mua thấp nhất cho quyền chọn OTM và cao nhất cho quyền chọn ITM. Cả giá quyền chọn và khoảng chênh lệch giá tăng lên ứng với kỳ hạn của quyền chọn.
Hình 1 trình bày khoảng chênh lệch giá trung bình trong suốt thời kỳ khủng hoảng thì lớn hơn so với thời kỳ không khủng hoảng. Điều này liên quan tới lý thuyết phòng ngừa phái sinh được đề ra bởi Cho và Engle (1999), cho rằng khoảng chênh lệch giá quyền chọn không chỉ tương quan dương với khoảng chênh lệch giá tài sản cơ sở mà còn liên kết với khả năng cách mà một người phòng ngừa vị trí của anh ta tốt thế nào. Như tác giả mong đợi, thật là khó khăn để tiến hành một chiến lược phòng ngừa có hiệu quả trong suốt thời kỳ khủng hoảng bởi sự không chắc chắn trong thị trường. Vì thế,
58
khoảng chênh lệch tăng lên trong suốt khủng hoảng LTCM và nợ thế chấp dưới chuẩn có thể coi là một biểu thị của việc thực hiện chiến lược phòng ngừa thì kém trong suốt thời kỳ khủng hoảng.
f. Phương pháp
Xem xét trường hợp một người bán quyền chọn muốn phòng ngừa vị thế bán quyền chọn mua với giá thực hiện X và τ thời kỳ cho đến khi đáo hạn kể từ thời điểm t. Tại điểm này, tác giả chỉ có thể phòng ngừa rủi ro danh mục bởi việc sử dụng chỉ số giao ngay
Xem ∆t là số cổ phiếu phải mua hoặc bán và Bt là vị thế tiền mặt tại thời điểm t. Giá trị tại thời điểm t của danh mục phòng ngừa là ∆tSt + Bt . ∆t được xác định bởi việc sử dụng mô hình Black Scholes. Vị thế tiền mặt sau
chi phí giao dịch cho việc phòng ngừa là:
trong đó k là tỷ lệ chi phí giao dịch tương ứng.
Trong lý thuyết, chúng ta cần tái cấu trúc danh mục phòng ngừa rủi ro liên tục để phản ánh sự thay đổi điều kiện thị trường. Trong thực tế, giao dịch chỉ diễn ra trong những khoảng thời gian riêng biệt. Để bắt đầu đo lường hiệu quả việc phòng ngừa, tác giả giả định danh mục được tái cấu trúc chỉ diễn ra tại những khoảng thời gian là t. Tại thời điểm t, tác giả sẽ bán một quyền chọn mua và nhận một số tiền là phí quyền chọn Ct. Để thực hiện phòng ngừa
cho danh mục, tác giả sẽ mua ∆t cổ phiếu và đầu tư số lượng tiển mặt còn dư Bt vào trái phiếu phi rủi ro. Tiếp theo tại thời điểm t + t, tác giả tính sai số phòng ngừa (HE) là sự khác nhau giữa giá trị hiện tại của danh mục phòng ngừa (đã xây dựng vào thời điểm t) và giá trị thị trường của quyển chọn như sau:
Sai số phòng ngừa HE được tính ở trên là sai số phòng ngừa ròng của chi phí giao dịch bởi vì Bt trong công thức (11) là số lượng vị thế tiền mặt ròng của chi phí giao dịch sau khi tái cấu trúc danh mục. Tại những khoảng thời gian bằng nhau, tác giả tái cấu trúc danh mục phòng ngừa và lặp lại tính toán HE cho giai doạn tiếp theo là t + 2 t và cứ tiếp tục như vậy. Phương pháp này giả định rằng những người tham gia thị trường có hiểu biết về sự tồn tại của chi phí giao dịch và vì thế chiết khấu chi phí giao dịch mong đợi để thực hiện phòng ngừa vào giá thị trường của quyền chọn.
Sau khi tính toán HE cho mỗi giai đoạn t, tác giả tính sai số phòng ngừa trung bình theo công thức sau:
60
HE được lựa chọn để xác định việc thực hiện quyền chọn bởi vì nó đại diện cho lợi nhuận và thua lỗ mà người phòng ngừa rủi ro phải đối mặt. Tác giả đánh giá việc thực hiện phòng ngừa dưới 2 tiêu chuẩn: sai số phòng ngừa trung bình (MSE) và căn bậc hai sai số phòng ngừa bình phương trung bình (RMSE). Bởi vì sai số phòng ngừa dương và âm có xu hướng bù trừ lẫn nhau do đó MSE không đại diện cho mức độ đo lường tốt việc thực hiện. Tuy nhiên, nó cung cấp một dấu hiệu rằng chiến lược phòng ngừa có ở dưới hay vượt qua vị thế phòng ngừa mục tiêu. RMSE được sử dụng rộng rãi hơn trong nghiên cứu.
Có một sự khác biệt chính giữa chiến lược theo thời gian và chiến lược theo sự biến động trong những thời kỳ tính toán sai số phòng ngừa. Đối với chiến lược theo thời gian, chúng ta cần quyết định tần suất tái cân bằng khi thành lập danh mục phòng ngừa. Một tần suất tái cân bằng được lựa chọn, người phòng ngừa không đòi hỏi phải quan sát liên tục sự biến động của tài sản cơ sở. Vì thế, sai số phòng ngừa HE được tính toán chỉ trên những ngày khi việc tái cân bằng diễn ra. Ví dụ nếu chúng ta chọn tái cân bằng danh mục mỗi 5 ngày thì chúng ta tính HE tại ngày t+5 kể từ ngày chúng ta thiết lập danh mục t. Mặt khác, chiến lược theo sự biến động đòi hỏi một sự quan sát liên tục sự biến động của giá tài sản cơ sở vì thế danh mục sẽ được tái cân bằng bất cứ khi nào phần trăm thay đổi trong giá tài sản cơ sở hoặc delta vượt qua dãy phòng ngừa đã được lựa chọn. Vì vây, tác giả tính toán HE tại bất kỳ