Trong thực tế, đôi khi cần xác định sai lệch bình phương trung bình ơ0 của loạt lớn N chi tiết theo sai lệch bình phương trung binh s của nhóm chọn n chi tiết (khi n < 25).
Đối với nhóm nhỏ chi tiết thì s được tính theo công thức.
S - M X)2
n - 1 (4.18)
Công thức này khác công thức (1.23) ở chỗ là mẫu số ta đặt n - 1 (thay cho n) vối mục đích để bù lại sai số hệ thống xuất hiện khi đánh giá ơ0 theo s với số chi tiết n nhỏ.
Nhiệm vụ của việc đánh giá độ chính xác tính toán sai lệch bình phương trung bình của loạt chi tiết theo số liệu của nhóm chọn là xác định xác suất a của đẳng thức ơ0 ~ s với độ chính xác của nó bằng 8!
P ( s - e < ơ 0 < s + e ) = o c (4.19) Nếu biết rằng đại lượng ngẫu nhiên X phu thuộc loạt lớn N chi tiết phân bố theo qui luật chuẩn thì đại lượng X2:
2 _ (n - l ) s 2 k . s 2
7. : : ---7 • : ơ() ơ() sẽ có phân bố có tên gọl là phân bố X2.
Hàm vi phân của hàm phân bố này (hay mật độ xác suất của đại lượng X2) có dạng:
cp ( x 2 ) = ( X 2 ) -
.e -
(4.20)
Ở đây: X > 0.
Nhờ hàm phân bố này có thể tính được xác suất a :
a = P ( s - 8 < ơ 0< s + 8 ) (4.21) Để xác định (X ta giả sử s - 8 > 0 và biến đổi bất đẳng thức trong ngoặc nhưsau :
_ L < _ L < _ ± _ (4.22)
s + £ ơ() s - 6
Nhân các vế của bất đẳng thức (4.22) với sVk :
(4.23) s + s ơ0 s - 8
Nếu đặt - = q và 8 = sqs ta được : s
>/k _ >/k
—: < V <— ---- l + q s 1 - qs Hoặc
-<t <-
( ^ + q s)z 0 - q J
Xác suất của bất đẳng thức này bằng tích phân :
(4.24)
(4.25)
_ _ k _
( ĩ - q s )Y
= j 9(x2)dx2-L (q 5,k)
_ k_
( V q / 7
Nhưng vế trái của phương trình (4.26) là công thức biến xác s u ấ t:
(4.26) đổi của P ( s - e < ơ 0< s + 8) = oc (4.27) Do đó, ta có thể v iế t:
P (s - b<ơ0 < s + s) = L (qs, k) (4.28) Hoặc :
p ( s - qs.s < ơ0 < s + qs.s ) = L ( qs, k ) (4.29) Giá trị của tích phân L(qs, k) được xác định theo phụ lục 3. Như vậy, theo phụ lục 3 có thể xác định xác suất a, có nghĩa là xác suất mà sai số tính toán của ơ0 so với s không vượt qua 8 = qs.s .
Cần nhớ rằng nếu s < 8 thì bất đẳng thức ban đầu của ơ0:
s - e < ơ 0 < s + e
phải hay bằng (vì ơ0 phải luôn luôn dương):
0 < ơ0 < s + s
Trong trường hợp này bất đẳng thức của X có dạng:
ựk
— — — < X < 0 0
1 + q5
và xác suất của nó xác định bằng tích phân:
00
L(qs> k) = j cp(x2)dx2
_ k _ o + q , Ý
(4.30) (4.31)
(4.32)
Ở đây : qs = - > 1 s
Giá trị của tích phân này cũng được xác định theo phụ lục 3.
Với các giá trị của xác suất L(qs, k) ta có thể giải quyết ba vấn đề sau đây:
1. Với độ chính xác 8 = qs.s và số chi tiết n được chọn có thể tính xác suất (X để cho ƠQ * s .
2. Với xỏc suất a để cho ơ0 ô s và số chi tiết n được chọn cú thể tính độ chính xác 8 = qs.s.
3. Vối độ chớnh xỏc 8 và xỏc suất a để cho ơ0 ô s cú thể tớnh số chi tiết n cần phải chọn.
Ví dụ 4.4
Với số chỉ tiết trong nhóm chọn n = 15 tính được sai lệch bình phương trung bình s = 0,6. Hãy xác định xác suất a của đẳng thức ơ0 w s khi độ chính xác 8 = 0,12.
Giải:
Theo phụ lục 3 ta có:
k = n — 1 = 15—1 =14
s 0,6
Như vậy, xác suất a = 0,701
hay: p ( 0,6 - 0,12 < ơ0 < 0,6 + 0,12 ) = 0,701 p ( 0,48 <ơ0< 0,72 ) = 0,701
Ví dụ 4.5
Hóy xỏc định độ chớnh xỏc 8 của đẳng thức ơ0 ô s với xỏc suất
a = 0,96 nếu n = 15 và s = 0,12.
Giải:
Theo phụ lục 3 ta tìm được qs = 0,5 khi k = n - 1 = 15 - 1 = 14 và oc = 0,96.
Như vậy :
8 = qs.s = 0,5.0,12 = 0,06 ƠQ = s ± e = 0,12 ± 0,06 Hoặc 0,06 < ơ0 < 0,18.
Ví dụ 4.6
Hãy xác định n khi s khác ơ0 một giá trị ± 0,2 với xác suất a = 0,96.
Giải:
Ta có:
8 = qs. s = 0,2. s Cho nên qs = 0,2.
Theo phụ lục 3, khi qs = 0,2 và a = 0,96 ta tìm được k = 60.
Nhưng k = n - 1, do đó:
n = k + 1 =60 + 1 =61.
Phương pháp đánh giá độ chính xác của đẳng thức ơ0 ~ s trên đây thích hợp đối với số lượng n bất kỳ chi tiết của nhóm chọn. Tuy nhiên, khi n > 20 phương pháp sẽ đơn giản hơn.
Nếu n > 20 thì đại lượng t = ^G° - . Ở đây ơs = phân
ơs V2n V 2n
bố theo quy luật chuẩn, cho nên:
P ( ; t a < t < t a ) = 2 0 ( t a ) ^ (4.33) Nhưng vế trái của đẳng thức này có thể được viết như sau:
p (- ta < t < ta) = p ( s - taơs < ơo < s + taơs) Nếu đăt taơs = 8, ta được:
P ( s - £ < ơ 0< s + e ) = a (4.34) Thật v ậ y :
a = 2 o (ta) (4.35)
Vỡ : tô.ơs e
V 2n
(4.36) Cho nên :
t 2.s2 n = -*2L.
2.82 (4.37)
Khi đ ặ t :
~T= và tôơs = qs.s V2n
ta được n =
2.q
(4.38) Ví dụ 4.7
Xác định số chi tiết n trong nhóm chọn, nếu biết a = 0,95 và Qs = Õ2.
Giải:
Theo phụ lục 1, khi a = 0,95 ta tìm được t = 1,96 và theo công thức (4.38) ta có :
1,96
2.0,22= 48 Ví dụ 4.8
Xỏc định độ chớnh xỏc 8 của đẳng thức ơ0 ô s với xỏc suất a = 0,95 nếu n = 50 và s = 0,1.
Giải:
Theo phụ lục 1, khi a = 0,95 ta tìm được t = 1,96 và theo công thức (4.36) ta có:
_ 1,96.0,1 _ 2 VT5Õ
Thật vậy, ơ0 = 0,1 ± 0,02 hay 0,08 < ơ0 < 0,12 Ví dụ 4.9
Xỏc định xỏc suất a của đẳng thức ơ0 ô s nếu n = 50 và q = 0,1.
Giải: