6. Cấu trúc của luận văn
2.3. Xây dựng hệ thống bài tập hình học không gian giải bằng phương pháp véctơ góp
phổ thông
2.3.1. Mt s v¥n ` v` xy dæng h˙ thng b i t ›p h nh h ˝c khng gian gi£i b–ng ph¡ng phÆp vØc t¡ dnh cho h ˝c sinh khÆ giˇi b›c trung h˝c ph thng
2.3.1.1. Các căn cứ để xây dựng hệ thống bài tập
Véctơ là một trong những khái niệm nền tảng của Toán học. Việc sử dụng rộng rãi khái niệm véctơ và toạ độ trong các lĩnh vực khác nhau của toán học, cơ học cũng như kỹ thuật đã làm cho khái niệm này ngày càng phát triển. Cuối thế kỷ XIX đầu thế kỷ XX, phép tính vectơ đã được phát triển và ứng dụng rộng rãi.
Vectơ có nhiều ứng dụng trong Vật lý, Kỹ thuật, do đó công cụ vectơ tạo điều kiện thực hiện mối liên hệ liên môn ở trường phổ thông.
Phương pháp vectơ và toạ độ cho phép học sinh tiếp cận những kiến thức hình học phổ thông một cách gọn gàng, sáng sủa và có hiệu quả một cách nhanh chóng, tổng quát, đôi khi không cần đến hình vẽ. Nó có tác dụng tích cực trong việc phát triển tư duy sáng tạo, trừu tượng, năng lực phân tích, tổng hợp,....
Khái niệm vectơ có thể xây dựng một cách chặt chẽ phương pháp toạ độ theo tinh thần toán học hiện đại, có thể xây dựng lý thuyết hình học và cung cấp công cụ giải toán, cho phép đại số hoá hình học.
Việc nghiên cứu vectơ góp phần mở rộng nhãn quan toán học cho học sinh, chẳng hạn như tạo cho học sinh khả năng làm quen với những phép toán trên những đối tượng không phải là số, nhưng lại có tính chất tương tự. Điều đó dẫn đến sự
78
hiểu biết về tính thống nhất của toán học, về phép toán đại số, cấu trúc đại số, đặc biệt là nhóm và không gian vectơ - hai khái niệm trong số những khái niệm quan trọng của Toán học hiện đại.
Trong chương trình hình học ở bậc trung học phổ thông, học sinh được học về vectơ, các phép toán về vectơ và dùng vectơ làm phương tiện trung gian để chuyển những khái niệm hình học cùng những mối quan hệ giữa những đối tượng hình học sang những khái niệm đại số và quan hệ đại số. Với ý nghĩa như vậy, có thể coi phương pháp vectơ và toạ độ là phương pháp toán học cơ bản được kết hợp cùng phương pháp tổng hợp để giải toán hình học trong mặt phẳng và trong không gian ở bậc trung học phổ thông.
Thực tế giảng dạy áp dụng vectơ và toạ độ để giải toán ở phổ thông hiện nay đa số còn rất sơ sài, chưa có hệ thống các bài toán áp dụng. Sách giáo khoa, với lý do sư phạm cũng chỉ dừng lại ở mức độ cơ bản, do vậy học sinh cũng chưa thực sự nắm được nhiều ứng dụng của phương pháp này.
Dạng bài tập ứng dụng vectơ và toạ độ ở bậc trung học phổ thông đòi hỏi học sinh phải có năng lực nhất nhất định, phải có khả năng tư duy trừu tượng và khái quát tốt mới có thể giải toán linh hoạt và sáng tạo. Do đó, dạy học chủ đề này có tác dụng lớn trong việc bồi dưỡng, phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh thông qua các thao tác tư duy, đồng thời giúp học sinh linh hoạt, hệ thống hoá được kiến thức hình học cơ bản, tăng cường năng lực giải toán.
Với các lý do nêu trên, để góp phần bồi dưỡng tư duy cho học sinh khá giỏi bậc trung học phổ thông qua dạy học bài tập hình học không gian, tôi đề xuất hệ thống bài tập giải toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ.
2.3.1.2. Yêu cầu cơ bản của hệ thống bài tập dành cho học sinh khá giỏi và một số định hướng xây dựng hệ thống bài tập
Hệ thống bài tập hình học không gian được xây dựng với mục đích rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học sinh khá giỏi, cho nên cần thiết phải đảm bảo các yêu cầu cơ bản sau:
79
- Củng cố vững chắc kiến thức, kỹ năng cơ bản trong chương trình học vấn phổ thông.
- Bài tập có tính tổng hợp, đề cập đến nhiều nội dung kiến thức trong chương trình học. Bám sát nội dung chương trình sách giáo khoa hiện hành, khai thác, sử dụng hiệu quả hệ thống bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập.
- Hệ thống bài tập phải bao quát, làm bộc lộ và do đó rèn luyện các yếu tố khác nhau của tư duy sáng tạo; Tác động đến từng yếu tố thành phần của tư duy sáng tạo. Giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy, các hoạt động trí tuệ toán học.
- Giúp học sinh nâng cao tính độc lập, tính tích cực, sáng tạo trong học tập. Gợi cho học sinh niềm say mê, khám phá tìm tòi sáng tạo toán học.
- Bài tập có tác dụng kiểm tra kết quả học tập, đánh giá được mức độ phát triển tư duy của học sinh.
- Đảm bảo các định hướng đã nêu ra ở chương 1.
- Hệ thống phải bao gồm các bài tập với nhiều mức độ phức tạp khác nhau, phù hợp với trình độ học sinh.
- Hệ thống phải chứa đựng những phương pháp giải quyết các vấn đề điển hình, vừa sức học sinh và có ý nghĩa quan trọng đối với nội dung chương trình.
2.3.1.3. Hệ thống bài tập về sử dụng phương pháp véc tơ
Trên cơ sở phân tích khái niệm tư duy sáng tạo, cùng những yếu tố đặc trưng của nó, dựa vào các căn cứ đã trình bày ở trên ta có thể đề xuất các dạng bài tập sau đây:
1. Dạng bài tập về trọng tâm tam giác, tứ diện 2. Dạng bài tập về tập hợp điểm thẳng hàng 3. Dạng bài tập về quan hệ vuông góc 4. Dạng bài tập về quan hệ đồng phẳng 5. Dạng bài tập về quan hệ song song 6. Dạng bài tập về tính góc, khoảng cách
2.3.1.4. Những kiến thức, kỹ năng, năng lực cần thiết đối với học sinh a. Về kiến thức:
80
- Học sinh phải nắm vững các khái niệm, tính chất, định lý về: Điểm, đường thẳng, mặt phẳng, quan hệ song song và vuông góc, sự đồng phẳng của các véc tơ trong không gian ....
- Nắm vững các khái niệm, tính chất, định lý trong hình học.
b. Về kỹ năng:
- Kỹ năng về thực hành tính toán, vẽ hình, trình bày lời giải - Kỹ năng chung để tìm lời giải
- Kỹ năng khai thác bài toán
- Kỹ năng sử dụng vectơ và toạ độ trong giải toán
c. Về năng lực:
- Năng lực sử dụng ngôn ngữ - Năng lực suy luận toán học
- Năng lực tiến hành các thao tác tư duy : Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, đặc biệt hoá, khái quát hoá...
- Năng lực tiến hành các hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học: Lật ngược vấn đề, xét tính giải được, phân chia trường hợp, xét tương ứng...
2.3.2. H˙ thng b i t ›p
Đây là hệ thống bài tập hình học không gian cơ bản theo chương trình và phần nâng cao cho học sinh khá giỏi đối với học sinh Trung học phổ thông (lớp 11), đã qua thực tế giảng dạy và biên soạn lại. Các bài này được chọn lọc từ các sách tham khảo, báo Toán học và Tuổi trẻ, đề thi vào các trường Cao đẳng, Đại học, học sinh giỏi các cấp.
* Cấu trúc hệ thống bài tập
Hệ thống bài tập sau đây được xây dựng trên cơ sở hệ thống bài tập sách giáo khoa hình học lớp 11, sử dụng các thành phần của tư duy sáng tạo để làm cơ sở phát triển tiếp hệ thống này. Mặt khác, mỗi chùm bài tập thể hiện rõ nét một đến hai thành phần của tư duy sáng tạo trong cách giải và phát triển tiếp tới các cách giải mới và bài toán mới.
a. Quy trình giải toán bằng phương pháp véc tơ qua các bước
81
- Bước 1. Lựa chọn “Hệ véc tơ gốc” (một bộ ba véc tơ không đồng phẳng làm hệ véc tơ gốc) “Phiên dịch” các giải thiết, kết luận của bài toán hình học đã cho sang ngôn ngữ “Véc tơ”.
Chú ý: - Chọn bộ ba véc tơ xuất phát từ một đỉnh.
- Ưu tiên chọn các véc tơ đã biết độ dài và góc của của hai véc tơ tương ứng (đặc biệt là góc vuông).
- Bước 2. Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành phép biến đổi các hệ thức véc tơ theo hệ véc tơ gốc
-Bước 3. Chuyển các kết luận “Véc tơ” sang các tính chất hình học tương ứng
Ví dụ 15. (Bài tập 7. Tr 27- SGKHH11). Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của MN.
a) Chứng minh rằng đường thẳng AO đi qua trọng tâm G của tam giác BCD. Phát biểu kết luận tương tự đối với các đường thẳng BO, CO và DO.
b) Chứng minh OA = 3OA’. Bài giải
Bước 1. Chọn hệA AB AC AD; ; ; làm cơ sở * Phiên dịch giả thiết, kết luận theo hệ véc tơ gốc + Giả thiết:
M là trung điểm đoạn AB 1 2
AM AB
N là trung điểm đoạn CD 1( )
2
AN AD AC O là trung điểm đoạn MN
1( ) 1( ) 2 4 AM AN AB AC AD AO (1) G là trọng tâm BCD 1 ( ) 3 AB AC AD AG (2)
+ Dễ thấy yêu cầu của bài toán tương đương với yêu cầu chứng minh: 2 3 AO AG H38B O B D C A N M G
82 Từ (1) và (2) ta dễ dàng giải quyết bài toán trên.
b. Một số tính chất cần ghi nhớ:
Để giải quyết một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ học sinh cần nắm vững khái niệm và tính chất sau:
1) Qui tắc ba điểm: AB BC AC
với A, B, C là ba điểm bất kỳ 2) Qui tắc hiệu hai véc tơ chung gốc: AB OB OA
, O là điểm bất kỳ 3) Qui tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành ta luôn có
AB AD AC
4) Tính chất trung điểm: Nếu M là trung điểm của đoạn AB thì: + MB MA 0
+ OB OA 2OM
5) Tính chất trọng tâm của tam giác: Nếu G là trọng tâm của đoạn ABC thì: + GA GB GC 0
+ OA OB OC 3OG
6) Tích vô hướng của hai véc tơ: AB CD AB. .CD.cos AB CD,
7) Điều kiện để hai véc tơ cùng phương: a
cùng phương
b (b 0
) k R a kb:
8) Điều kiện để hai ba điểm A, B, C thẳng hàng: k 0:ABkAC
9) Điều kiện để hai véc tơ vuông góc: AB CD AB CD. 0
10) Ba véc tơ đồng phẳng: Nếu ba đường thẳng chứa chúng cùng song song với một mặt phẳng
11) Công thức về mối liên hệ giữa độ dài và tích vô hướng của hai véc tơ:
2 2 2 1 2 . a b a b a b 12) Nếu a , b , c
là ba véc tơ không đồng phẳng thỏa mãn:
1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 x x x a y b z c x a y b z c y y z z
83
13) Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k 1, O là điểm bất kỳ ta luôn có:
1 k k OM OB OM
14) Trong không gian cho hệ O OA OB OC; ; ; , điểm D(ABC) thì:
, 1, , , R
ODαOAβOBγOC α β γ α β γ
c) Bài tập phân theo các dạng toán giải được bằng phương pháp véc tơ
Một câu hỏi thường gặp ở học sinh khi dạy phương pháp véc tơ là: Những bài toán có dạng như thế nào thì giải được bằng phương pháp véc tơ, dạng toán nào thì phương pháp véc tơ là ưu điểm, đường lối giải quyết nó như thế nào. Thực ra để trả lời được là rất khó vì các bài toán sơ cấp nói chung và hình học không gian nói riêng là khó tìm được một phương pháp nào để giải quyết hết các bài toán nếu như không muốn nói là không thể. Tuy nhiên đối với bài tập sách giáo khoa chúng ta có thể làm rõ được phần nào, ví dụ đối với học sinh trung bình khá có thể dừng lại ở các bài toán có giả thiết và kết luận đơn giản nhơ trung điểm, trọng tâm, vuông góc, còn đối với học sinh khá giỏi có thể nâng cao lên ở những bài toán khoảng cách, góc, thẳng hàng, đồng phẳng, đồng quy, bất đẳng thức hình học, quan hệ song song, vuông góc,... ở mức độ khó.
Hệ thống bài tập phần này được xây dựng trên các kiến thức cơ bản của khái niệm và các phép toán về vectơ.
Đặc biệt có thể khái quát hoá được nhiều dạng toán trong phần này để làm cơ sở xây dựng hệ thống bài tập như: Phân tích vectơ theo cơ sở để xây dựng nên hệ thống bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng, vuông góc, song song... hoặc hệ thống bài trọng tâm hệ điểm, tâm tỉ cự của hệ điểm được xây dựng trên cơ sở suy luận tổng quát và tương tự .
2.3.2.1. Dạng 1: Bài tập về trọng tâm tam giác, tứ diện
Ví dụ 16. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, mặt phẳng (A’BD) cắt đường chéo AC’ tại M. Chứng minh rằng M là trọng tâm tam giác A’BD.
Dướng dẫn : Chọn hệ véc tơ cơ sở A AA AB AD; '; ;
84 Phân tích bài toán
* Giả thiết mặt phẳng (A”BD) cắt đường chéo AC’ tại M. Khi đó:
' ' ' ' : ' ; 1, ; ; AC AA AB AD AA AB AD M AC k R AM k AM k M A BD AM α β γ α β γ α β γ R
* Yêu cầu bài toán tương đương với việc chứng minh AM 31 AA AB AD'
Với việc lập hệ phương trình và giải suy ra điều phải chứng minh.
Đối với bài tập phần này, ngoài sự nhuần nhuyễn về kiến thức, còn đòi hỏi phải linh hoạt trong từng bài cụ thể. Dạng này cũng được xây dựng hệ thống bài tập dựa trên kiến thức cơ bản về vectơ, có thể tương tự và tổng quát trong tam giác, tứ giác qua một số bài tập cụ thể, tính sáng tạo được thể hiện trong mỗi dạng bài tập cụ thể. Đặc biệt khi sử dụng kiến thức về trọng tâm để xây dựng bài tập dạng này.
Bài tập đề xuất
Bài tập 1. Cho hình hộp xiên ABCD.A’B’C’D’. Gọi P, Q, R là điểm đối xứng của D’ qua các điểm A, B’, C. Chứng minh rằng B là trọng tâm của tứ diện PQRD’. Bài tập 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, AD. Chứng minh rằng các tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.
Bài tập 3. Chứng minh rằng hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ có cùng trọng tâm khi và chỉ khi AA ’ BB CC’ ’ DD’ 0
.
Bài tập 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi A’, B’, C’, D’ thứ tự là các điểm trên các cạnh