Xây dựng thuật toán phương pháp PTHH xác định trường ứng suất - biến dạng cánh TLĐH sử dụng phần tử tấm phẳng dạng tam giác

Chương 3. XÂY DỰNG MÔ HÌNH VÀ THUẬT TOÁN PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TÍNH TOÁN TRƯỜNG ỨNG SUẤT - BIẾN DẠNG THÂN VÀ CÁNH TÊN LỬA ĐỐI HẢI

3.3. Xây dựng thuật toán phương pháp PTHH xác định trường ứng suất - biến dạng cánh TLĐH sử dụng phần tử tấm phẳng dạng tam giác

Các giả thiết:

- Chiều dày cánh là hằng số và được coi như là vỏ mỏng;

- Bỏ qua ứng suất pháp theo hướng z, tức là z = 0;

- Không xét đến lực cắt, tức là xz = yz= 0;

- Bỏ qua lực cản mũi gây nên ứng suất trong mặt phẳng do tải trọng khí động tác dụng vuông góc lên cánh lớn hơn nhiều lực cản mũi Y>>X.

Xấp xỉ bề mặt cánh TLĐH bằng các phần tử tấm phẳng dạng tam giác được chỉ ra trên hình 3.5 và 3.6.

Hình 3.5. Hình dạng cánh và phần tử tam giác

a. Chuyển vị nút b. Lực nút

Hình 3.6. Chuyển vị và lực nút của phần tử điển hình cánh tên lửa

Xét một phần tử điển hình dạng tam giác trong cánh tên lửa được chỉ ra trên hình 3.5. Tại mỗi nút phần tử chịu 1 độ võng w và hai góc xoay x và y . Lực tác dụng lên phần tử điển hình gồm 2 mômen uốn Tx, Ty một lực pháp tuyến Fz . Một độ võng và hai góc xoay tại mỗi nút được xem là các bậc tự do của mỗi nút.

Như vậy, 9 thành phần chuyển vị phải được xem xét cho mỗi phần tử của cánh và phần tử có 9 bậc tự do và được viết dưới dạng như sau

phần tử tam giác

 e Tw1 x1 y1 w2 x2 y2 w3 x3 y3T (3.71)

Nhận thấy rằng, việc giải bài toán tính trường ứng suất - biến dạng của cánh khi sử dụng phần tử phẳng dạng tam giác, thực chất là giải bài toán tấm chịu uốn khi cánh chịu tải trọng khí động. Do vậy, rất thuận lợi kết quả xây dựng thuật toán PTHH sử dụng phần tử tam giác chịu uốn cho bài toán đối với thân tên lửa trình bày trong mục 3.2 có giá trị sử dụng cho bài toán đối với cánh tên lửa. Do đó, từ các khâu chọn hàm xấp xỉ chuyển vị, xác định véctơ chuyển vị, xác định biến dạng qua chuyển vị nút đến việc xác định ma trận độ cứng phần tử đã được xác định theo trình tự từ công thức (3.31) đến (3.53). Sau khi xác định ma trận độ cứng phần tử [Kue] của cánh theo công thức (3.48), tiến hành lập ma trận chuyển vị - ứng suất [Hue] và cuối cùng xác định được quan hệ ứng suất - chuyển vị được cho trong phương trình (3.28) và (3.29) như sau

 ( , )  

u ue ue

x y H

      (3.72)

Trong đó: [Hue] = [D][Bu]

Trong trường hợp phần tử tam giác, nếu lấy tâm tam giác làm tọa độ của x, y thì nhận được ứng suất tại tâm tam giác.

Tiếp theo xác định véctơ tải phần tử, chuyển hệ tọa độ và tập hợp ghép nối các phần tử trên toàn hệ được trình bày dưới đây

Tải trọng phân bố P(x,y) vuông góc với mặt phẳng phần tử, do vậy véctơ tải phân bố {Pue} được xác định theo công thức

 ue  u 1  ( , )T ( , ) S

S

P    A   P x y P x y d  (3.73) Trong trường hợp phần tử chịu tải phân bố đều P(x,y) = P thì (3.73) có dạng

 ue  u 1  ( , )T S  u 1  

S

P    A  P P x y d    A  P I (3.74)

Trong đó:    ( , )T S

S

I  P x y d 

  

  (3.75)

Sử dụng tích phân số theo công thức (3.52) và chương trình phần mềm Maple tính được giá trị tích phân Ii trong (3.75) như sau

2 3

1 2

I x y ; 2 2 3 3

6 x x y

I  ;

2 2 3

3 6

I x y ;

2 2 2

2 3 2 3 3 2 3 3

4 12 12 12

I x y x x y x x y ;

2 2

3 3 3

2

2 2

5 24 12

x y x x y

I   ;

2 2 3

6 12

I x y ;

2

3 3

3 2 3 4

2 3 2 3 2 3 3 2 3

7 20

x xy x x y x x y x y

I     ;

2 2

2 3 3

3 3

3 3 3 3

2 2

3 2

2 3 2 3

2 2 2

8 60 30 20 60 20

x x y x x y

x y x y x x y

I      ;

4 2 3

9 24

I x y ;

Sau khi tính toán ma trận độ cứng và véctơ tải phần tử trong hệ tọa độ địa phương, tiếp theo cần phải chuyển về hệ tọa độ tổng thể và tập hợp toàn hệ. Gọi ma trận độ cứng phần tử [Ke] trong hệ tọa độ địa phương, các chuyển vị w*, x*, y* và ma trận [K*e] trong hệ tọa độ tổng thể được chỉ ra trên hình 3.2 và 3.8

Hình 3.7. Hướng của phần tử tam giác theo hệ tọa độ tổng thể Quan hệ giữa các thành phần chuyển vị trong các hệ tọa độ địa phương và tổng thể được biểu diễn như sau

* * * *

* * * *

w w

w 1 0 0

0 os( , ) os( , ) 0 os( , ) os( , )

e

x x x

y y y

c x x c x y T

c y x c y y

  

  

   

      

     

       

      

     

 (3.76)

Bởi vì trục x của hệ tọa độ địa phương nằm dọc theo cạnh 1-2 và trục y vuông góc với nó nên

* 21 * 21

12 12

* 21 * 21

12 12

os( , ) ; os( , ) ; os( , ) ; os( , ) ;

X Y

c x x c x y

L L

Y X

c y x c y y

L L

 

  

(3.77)

Trong đó: X21x*2x1*; Y21y2*y1*; L21 X212 Y212

( ,x y* *), ( ,x y* *) - tọa độ tổng thể của nút 1 và nút 2

Cuối cùng, nhận được các ma trận độ cứng [K*e] trong hệ tọa độ tổng thể như

sau: [K*e] = [Te]T[Ke][Te] (3.78)

Sau khi ghép nối các phần tử trên toàn hệ nhận được các ma trận độ cứng [K]

và véctơ tải trọng quy nút {P} tổng thể và thiết lập nên hệ phương trình đại số tuyến tính, sau khi giải tìm được chuyển vị nút và từ đó xác định được trường ứng suất - biến dạng của toàn bộ cánh tên lửa.