1.2 Hàm đa trị đo được, liên tục
1.2.1 Tính liên tục của hàm đa trị lồi
Định nghĩa 1.2.2. Cho E là không gian vector vàf : E → R = [−∞; +∞]. Hàm cực củaf là hàmf∗ : E0 → Rđược xác định bởif∗(x0) = sup{hx0, xi −f(x)|x ∈ E}. Chof là hàm đặc trưng của tập A, khi đó
f(x) =
0 nếux∈ A
∞ nếux /∈ A ,
kí hiệu làδ(x|A).
Hàm cực được cho bởi
δ∗(x0|A) = sup{hx0, xi|x ∈A}.
được gọi là hàm tựa củaA.
Định lý 1.2.1. Giả sử (T,T) là không gian topo, E là không gian lồi địa phương Hausdorff vàΓ là hàm đa trị từ T vào các tập con khác rỗng của E. Giả sử Γ(t0)
compact yếu và lồi. Khi đó Γ là nửa liên tục trên yếu tại t0 nếu và chỉ nếu hàm vô hướngδ(x0|Γ(ã))là nửa liờn tục trờn tạit0.
Chú ý. Ta nói rằngΓlà nửa liên tục trên tạit0nếu với bất kì tập mởU chứaΓ(t0), tồn tại một lân cậnV củat0 sao choΓ(t)⊂ U với mọit∈ V.
Chứng minh. 1) Nếu Γ là nửa liên tục trên tại t0 và α > δ∗(x0|Γ(t0))(α ∈ R) đặt U = {x ∈ E|hx0, xi < α}. Tồn tại một lân cận V củat0 sao choΓ(t) ⊂ U với mọi t∈ V. Do đóδ∗(x0|Γ(t0)) ≤α.
2) Giả sử tất cả δ∗(x0|Γ(ã)) là nửa liờn tục trờn. NếuΓ(t0) = thỡδ∗(0|Γ(t0)) =
−∞và với tsao cho δ∗(0|Γ(t)) < 0,Γ(t) = . Do đóΓlà nửa liên tục trên tại t0. Giả sửΓ(t0) 6= . Cho x0 ∈ Γ(t0). Xét Γ0(t) = Γ(t)−x0. Ta đượcδ∗(x0|Γ0(t)) =
−hx0, x0i+δ∗(x0|Γ(t)).
Ta giả sử 0 ∈ Γ(t0). Cho U là tập mở yếu chứaΓ(t0). Tồn tại một lân cận lồi đóng của0, V, sao choΓ(t0) +V ⊂ U. Giả sửV là cực của tập hữu hạn củaE0.
Vỡ Γ(t0) là compact tồn tại x1,ã ã ã , xn ∈ Γ(t0) sao cho xi + 12V phủ Γ(t0). Cho A = co{x1,ã ã ã , xn} + V (co là bao lồi). Khi đú A đúng và A ⊂ U. Ta giả sử 0 ∈ co{x1,ã ã ã , xn} (vỡ 0 ∈ Γ(t0)khi đú A0 là tập đa diện lồi hữu hạn chiều chứa trongV0:
A0 = co{x01,ã ã ã , x0k}.
Từ Γ(t0) ⊂ co{x1,ã ã ã , xn}+ 12V ⊂ A ⊂ U dẫn tới δ∗(x0j|Γ(t)) ≤ sup
i
δ∗(x0j|xi +
1
2V)< δ∗(x0j|A)≤ 1
ChoV là lân cận củat0 sao cho
δ∗(x0j|Γ(t)) ≤1vớit ∈V j = 1,ã ã ã , k.
Khi đóΓ(t)⊂A ⊂ U với mọit ∈V.
Định lý 1.2.2. Giả sửT là không gian topo,E là không gian lồi địa phương Haus- dorff và Γlà hàm đa trị từ T vào các tập con lồi hoàn toàn bị chặn của E. Giả sử
t∈T∪ Γ(t)hoàn toàn bị chặn. Khi đó Γlà nửa liên tục dưới tại t0 nếu và chỉ nếu hàm vụ hướngδ∗(x0|Γ(ã))là nửa liờn tục dưới tạit0.
Chú ý. Ta nói rằng Γ là nửa liên tục dưới tại t0 nếu với bất kì tập mở U ta có U ∩Γ(t0)thì tồn tại một lân cậnV củat0 sao choΓ(t)∩U 6= với mọit∈ V. Chứng minh. 1) ChoΓ là nửa liên tục dưới tạit0. Nếuα < δ∗(x0|Γ(t0))(α ∈ R)thì Γ(t0)∩ U với tập mở U = {x ∈ E|hx0, xi > α}. Nếu t là một lân cận của t0 thì Γ(t)∩U vàδ∗(x0|Γ(t))> α. Nếu δ∗(x0|Γ(t0)) =−∞ (nghĩa là nếuΓ(t0)6= ) thì δ∗(x0|Γ(ã))là nửa liờn tục dưới tạit0).
2) Giả sử tất cảδ∗(x0|Γ(ã))là nửa liờn tục dưới. Ta giả sửΓ(t0)6=(nếuΓ(t0) = thìΓ hiển nhiên là nửa liên tục dưới). ChoU là tập mở giao vớiΓ(t0). Như Định lý 1.2.1 ta có thể giả sử 0 ∈ Γ(t0) ∩ U. Giả sử rằng U là tập mở lồi. Nếu Định lý là sai thì tồn tại một dãy suy rộng (tα) hội tụ đến t0 sao cho Γ(tα)∩ U = . Theo Hahn Banach tồn tại x0α ∈ E0 sao cho x0α nhận giá trị ≤ −1 trên Γ(tα) và nhận giá trị ≥ −1 trên U. Do đó x0α ∈ U0 (đặc biệt nếu ta định nghĩa U0 như là {x0|∀x∈ U,hx0, xi ≥ −1})vàδ∗(x0α|Γ(tα)) ≤ −1. Như vậyU0 là đồng liên tục.U0 là compact đối với topo hội tụ đều trên tập hoàn toàn bị chặn củaE. Choz0 là điểm tụ của(x0α)với topo này. Từ0∈ Γ(t0)dẫn tới δ∗(z0|Γ(t0)) ≥ 0. Vớix0β đủ gầnz0, từ sự thật rằng∪Γ(t)là hoàn toàn bị chặn ta có
∀t, δ∗(z0|Γ(t)) < δ∗(x0β|Γ(t)) + 1 2.
Nhưng với mỗi α tồn tại β ≥ α sao cho x0β thuộc vào một lân cận được cho trước củaz0.
Vì vậy δ∗(z0|Γ(tβ)) < δ∗(x0β|Γ(tβ)) + 12 ≥ −12. Điều này là không thể bởi vì δ∗(z0|Γ(ã))là nửa liờn tục dưới tại t0.
Hệ quả 1.2.3. Giả sửT là không gian topo,E là không gian lồi địa phương Haus- dorff, vàΓlà ánh xạ từ T đến những tập con lồi compact khác rỗng củaE. Giả sử rằng mỗit0 ∈ T có một lân cậnV sao cho ∪
t∈VΓ(t)chứa trong một tập compact. Khi đú nếu những hàm tựaδ∗(x0|Γ(ã))liờn tục, thỡΓliờn tục đối với topo Hausdorff.
Chứng minh. GọiK là tập compact chứa ∪
t∈VΓ(t). Giả sửU là tập mở. Khi đóU∩K là tập mở yếu và theo Định lý 1.2.1,{t ∈V|Γ(t)⊂ U}là mở. NếuΘlà một tập mở, theo định lý 1.2.1, thì{t ∈ V|Γ(t)∩Θ}. Theo chú ý 2 của Định lý 12 (xem [3]) thì Γliên tục trênV đối với topo Hausdorff.
Hệ quả 1.2.4. Giả sử T là không gian topo, Γ là ánh xạ từ T vào những tập con lồi compact khỏc rỗng củaRn. Khi đú nếu những hàm tựaδ∗(x0|Γ(ã))liờn tục, thỡΓ liên tục.
Chứng minh. Giả sử(e01,ã ã ã , e0n)là cơ sở của (Rn)0. Khi đú nếu t0 ∈ T thỡ tồn tại một lõn cận củat0, V, sao cho hàm δ∗(e0i|Γ(ã)) vàδ∗(−e0i|Γ(ã))(i ∈ {1,ã ã ã , n}) bị chặn trênV. Do đó ∪
t∈VΓ(t)bị chặn. Vì vậy ta có thể áp dụng Hệ quả 1.2.3.
Hệ quả 1.2.5. Giả sử không gian topo T là compact địa phương hoặc metric hóa được,E là không gian lồi địa phương Hausdorff, vàΓlà ánh xạ từT vào những tập con lồi compact yếu khỏc rỗng của E. Khi đú nếu những hàm tựaδ∗(x0|Γ(ã)) liờn tục, thìΓliên tục đối với topo Hausdorff tương ứng vớiσ(E, E0). Ngoài ra nếuE là Montel, thìΓlà liên tục đối với topo Hausdorff.
Chứng minh. 1) Do Định lý 1.2.1,Γ là nửa liên tục trên đối với topo yếu. NếuT là compact địa phương ta có thể giả sử T là compact. NếuT là metric hóa được thì nó là đủ để chứng minh những tính chất liên tục trên những tập như{tn, t|n∈ N}trong đótn →t(vìΓlà nửa liên tục dưới tại t) (tương ứng nửa liên tục dưới)⇔ ∀(tn)hội tụ đếntvàV mở trongU, nếuΓ(t)∩U 6=(tương ứngΓ(t)∈U), thì vớinđủ lớn
Γ(tn)∩U 6= (tương ứngΓ(tn) ∈ U). Do đó ta luôn có thể giả sửT compact. Do Định lý của Berge (Định lý 1.2.6 bên dưới) ∪
t∈TΓ(t)là compact yếu. Khi đó do Định lý 1.2.2,Γ là nửa liên tục dưới. Cuối cùng nếuE được trang bị tính đều Hausdorff yếu, thìΓlà liên tục theo chú ý 2 của Định lý 12 (xem [3]).
2) NếuE là không gian Montel, thì tập∪Γ(t)trong phần thứ nhất là compact đối với topo mạnh củaE. Vì vậyΓlà nửa liên tục dưới đối với topo mạnh (vì nếuU mở thìU ∩(∪Γ(t))cũng là tập mở yếu). VàΓlà nửa liên tục dưới đối với topo mạnh do Định lý 1.2.2.
Định lý 1.2.6. (Berge) Giả sửT là không gian compact,E là không gian Haudorff, vàΓlà hàm đa trị từT vào những tập con compact củaE. Khi đó nếuΓlà nửa liên tục trên thì tập Γ
t∈T(t)là compact.
Chứng minh. Cho(Ui)i∈Ilà họ những tập mở phủ Γ
t∈T(t). MỗiΓ(t)được phủ bởi một tập mở,Vt, với Vt là hợp của một họ con hữu hạn của(Ui). Tập Tθ = {t|Γ(t)⊂ Vθ} chứa θ và mở. Do đú(Tθ)θ∈T phủ T. DoT compact nờn tồn tạiθ1,ã ã ã , θn sao cho T = Tθ1 ∪ ã ã ã ∪Tθn.
Khi đó Γ