2.2 Nghiệm lơi hóa của bao hàm thức vi phân phiếm hàm
2.2.2 Chứng minh định lý
Trước tiên, ta nêu một số kết quả phụ được biết đến nhiều hoặc ít hơn trong lý thuyết của hàm đa trị đo được.
Bổ đề 2.2.3. Cho Γ : I → F(X) là hàm đa trị khả tích và f0 : I → X là hàm giá trị duy nhất khả tích. Khi đó, hàm khoảng cách d(f0(t),Γ(t)) là khả tích. Tuy nhiên, với mỗi > 0tồn tại một hàm chọn khả tíchg ∈ SΓ sao cho|f0(t)−g(t)| ≤ (1 +)d(f0(t),Γ(t))với mọit ∈I
Chứng minh. Theo Định lý 8.2.13 trong [2],d(t) := d(f0(t),Γ(t)) thì đo được. Vì Γ(t) khả tích, tồn tạif(t) ∈ SΓ khả tích. Do đó, từ việc d(f0(t),Γ(t)) ≤ |f0(t)− f(t)| ≤ |f0(t)| + |f(t)| dẫn đến d(f0(t),Γ(t)) khả tích. Hơn nữa, vì hàm đa trị M(t) := f0(t) +B(0,(1 +)d(t))đo được, nên từ định nghĩa của hàm khoảng cách dẫn tớiΓ(t)∩M(t)có ảnh khác rỗng và đo được. Đặt g là một hàm chọn đo được, rõ ràng|f0(t)−g(t)| ≤ (1 +)d(t). Do đó,g khả tích.
Bổ đề 2.2.4. Cho D là tập mở trong không gian Banach Y và I là đoạn compact trên R. Giả sử hàm đa trị F(t, ϕ) : I ×D → F(Y) đo được trongt và Lipschitz địa phương trongϕ. Do đú,F(t,ã)thỡ Lipschitz toàn cục trong một lõn cận của mỗi tập con compactK ⊂ D. Chính xác hơn nữa, với mỗi compactK trongD, tồn tại ρ > 0vàl ∈ L1(I)(cả hai chỉ phụ thuộc vàoK) sao choK +B(0, ρ)⊂ Dvà
H(F(t, ϕ1), F(t, ϕ2))≤ l(t)kϕ1−ϕ2k,∀ϕ ∈K,∀ϕ1, ϕ2 ∈B(ϕ, ρ) (2.13) Chứng minh Cho
B xi, δ3i
: i= 1,ã ã ã , m là một phủ hữu hạn của K với xi ∈ K vàF(t,ã)thỏa điều kiện Lipschitz trongB xi,δ3i
với "hằng số Lipschitz"
lxi(t). Đặt r = infx∈Kd(x, X\D) do đó r > 0. Để chứng minh đầy đủ, ta đặt l(t) = max{lxi(t) : i= 1,ã ã ã , m}vàρ= min{r,δ3i : i= 1,ã ã ã , m}.
Cho một hàm đa trị Γ đi từ I vào X, ta định nghĩa hàm đa trị lồi ClCoΓ bằng cách đặt(ClCoΓ)(t) = ClCo(Γ(t))với mỗit∈ I.
Bổ đề 2.2.5. (xem [4] ChoI = [t0;t0+T]vàΓ : I →F(X)là một hàm đa trị khả tích. Cho bất kì > 0và bất kì hàm chọn khả tíchg của hàm đa trị lồi ClCoΓ, tồn tại một hàm chọn khả tíchf của Γsao cho
maxt∈I
Z t t0
[f(s)−g(s)]ds
< .
Khẳng định sau đây đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh các kết quả chính trong phần này. Ở đây, các kí hiệu I, T, H, D, X, C, t0, ϕ, ϕt có cùng ý nghĩa như trong phần 1.
Bổ đề 2.2.6. Đặt T1 ∈ (0, T], ϕ0 ∈ CX([t0 − h;t0 + T1]) sao cho ϕ0t0 = ϕ và compact K = {ϕ0t0 : t ∈ [t0;t0 +T1]} thì chứa trong D. Giả sử rằng hàm đa trị F(ã, ϕ) : I → F(X) khả tớch với mọi ϕ ∈ D cố định, tồn tại ρ = ρK > 0 và l(ã) = lK(ã) ∈ L1(I)sao choK +B(0, ρ)⊂ D và (2.13). Hơn nữa, vớir > 0sao cho
ρ > rexp 2
Z t0+T1 t0
l(t)dt
!
và đặtf0là một hàm chọn khả tích của hàm đa trịt →F(t, ϕ0t)thỏa
|ϕ0(t)−ϕ(0)− Z t
t0
f0(s)ds| < r,∀t∈ [t0;t0+T1] (2.14) Do vậy,(2.9)có một nghiệmϕtrên[t0;t0+T1]thỏa
t∈[tmax0;t0+T1]|ϕ(t)−ϕ0(t)| ≤ rexp 2
Z t0+T1 t0
l(t)dt
!
. (2.15)
Chứng minh. Đầu tiờn, ta chỳ ý rằng với bất kỡϕ(ã)∈CX([t0−h;t0+T1])sao cho ϕt ∈K +B(p, ρ)vớit ∈I thì hàm đa trịF(t, ϕt)đo được. Có được điều này là do
hàm đa trịF(ã,ã) là Caratheodory trờnI ìD và hàm t → ϕt đi từI vào C là liờn tục, xem ví dụ của Định lý 8.2.8 trong [2]. Hơn nữa, điều đó chứng tỏ rằng hàm đa trịt →F(t, ϕ0t)khả tớch. Thực vậy, cho{ti : i= 1,ã ã ã , n}sao chot0 < t1 <ã ã ã <
tn = t0 +T1 và K ⊂ ∪ni=1B(ϕ0ti, ρ). Đặt ϕb = ϕ0ti, t ∈ [ti−1;ti), i = 1,ã ã ã , n, rừ ràngkϕ0t −ϕbtk ≤ρvới bất kìt ∈[t0;t0+T1]. Từ giả thiết,F(t, ϕ0ti)nhận một hàm chọn khả tớchfi. Đặtfb(t) = ϕi(t), vớit ∈ [ti−1;ti), i = 1,ã ã ã , n ta thấy rằng fblà một hàm chọn khả tích củaF(t,ϕbt). Từ đó, bởi (2.13) ta có:
d(fb(t), F(t, ϕ0t))≤ H(F(t,ϕbt, F(t, ϕ0t)) ≤ ρl(t)
dẫn tớid(fb(t), F(t, ϕ0t))khả tích. Do đó, như chứng minh ở Bổ đề 2.2.3, tồn tại một hàm chọn đo đượcg của F(t, ϕ0t)sao cho|f(t)b −g(t)| ≤ (1 +)d(f(t), Fb (t, ϕ0t)).
Do đú,g(ã)khả tớch và cũng làF(t, ϕ0t).
Để chứng minh bổ đề, ta đặt ϕ1(t) =
ϕ(0) +b Rt
t0f0(s)ds nếu t∈ [t0, t0 +T1] ϕ(tb −t0) nếu t∈ [t0−h, t0].
(2.16) Rõ ràng từ (2.14) và (2.16) ta có kϕ1t − ϕ0tk ≤ r với t ∈ [t0;t0 + T1]. Đặc biệt, ϕ1t ∈K +B(0, ρ). Do đóF xác định tại(t, ϕ1t)và do (2.13),
H(F(t, ϕ1t), F(t, ϕ0t))≤ l(t)kϕ1t −ϕ0tk ≤rl(t) (2.17) với mọit ∈ [t0, t0+T1]. Theo bổ đề 2.2.3, hàm đa trịt → F(t, ϕ1t)nhận một hàm chọn khả tích f1 sao cho |f0(t)− f1(t)| ≤ 2d(f0(t), F(t, ϕ1t)). Do đó, theo định nghĩa về khoảng cách Hausdorff và (2.17) ta có
|f0(t)−f1(t)| ≤ 2rl(t) với mọit∈ [t0, t0+T1]. Giả sử rằng ta đã xác định các hàm
ϕ0, f0, ϕ1, f1,ã ã ã , ϕn, fn, ϕn+1
sao cho với mỗii∈ {0,ã ã ã , n},
ϕi ∈ CX([t0−h;t0+T1]), fi ∈L1X([t0, t0 +T1]) (2.18) kϕi+1t −ϕitk ≤ r
i!(2 Z t
t0
l(s)ds)i,∀t ∈[t0, t0+T1]; (2.19) ϕit ∈ K +B(0, ρ),∀t ∈[t0, t0+T1]vàϕit = ϕ (2.20) fi(t)∈ F(t, ϕit)hầu khắp nơi trên([t0, t0+T1]; (2.21) ϕi+1(t) =
ϕ(0) +Rt
t0fi(s)ds nếut ∈[t0, t0 +T1] ϕ(t−t0) nếut ∈[t0−h, t0].
(2.22) và vớii∈ {1,ã ã ã , n},
ϕ(0) +Rt
t0fi(s)ds nếut ∈[t0, t0+T1] ϕ(t−t0) nếut ∈[t0−h, t0].
|fi(t)−fi−1(t)| ≤ 2r
(i−1)!l(t)
2 Z t
t0
l(s)ds i−1
,∀t∈ [t0, t0 +T1]. (2.23) Ta xác địnhϕn+2, fn+1 như sau. Đầu tiên, vìϕit ∈ K +B(0, ρ) ⊂ D, hàm đa trịF xỏc định tại(t, ϕ1t)vớii= 0,1,ã ã ã , n+ 1. Nhưfn(t)∈F(t, ϕnt), theo Bổ đề 2.2.3, tồn tại một hàm chọn khả tíchfn+1 của hàm đa trịt →F(t, ϕn+1t )sao cho
|fn+1(t)−fn(t)| ≤ 2d(fn(t), F(t, ϕn+1t )) Do đó, từ định nghĩa củaH và (2.13), (2.19) ta có thể viết
|fn+1(t)−fn(t)| ≤ 2H(F(t, ϕn+1t ), F(t, ϕnt))
≤ l(t)kϕn+1t −ϕntk
≤ 2l(t)n!r (2Rt
t0l(s)ds)n∀t ∈[t0, t0+T1].
(2.24)
Hơn nữa, ta xác địnhϕn+2bằng cách thay i=n+ 1vào công thức (2.22). Ta được:
ϕn+2(t)−ϕn+1(t) =
Rt
t0[fn+1(s)−fn(s)]ds nếut∈ [t0, t0+T1]
0 nếut∈ [t0 −h, t0].
Do đó, từ (2.24) ta có
|ϕn+2(t)−ϕn+1(t)| =
2r n!
Rt
t0l(s)(2Rs
t0l(θ)dθ)nds nếu t∈ [t0, t0 +T1]
0 nếu t∈ [t0−h, t0].
Như vậy, với mọiθ ∈ [−h; 0]vàt ∈[t0, t0+T1]
|ϕn+2(t)−ϕn+1(t)| = 2r n!
Z t t0
l(s)(2 Z s
t0
l(θ)dθ)nds
= r
(n+ 1)!(2 Z t
t0
l(s)ds)n+1
Điều này chứng tỏ rằng (2.19) có được bằng cách thay i = n+ 1. Từ đó, ta có thể suy ra được rằng
kϕn+2t −ϕ0tk ≤
n+1
X
i=0
kϕi+1t −ϕitk ≤rexp
2 Z t
t0
l(s)ds
< ρ,
có nghĩa làϕn+2t ⊂ K+B(0, ρ)vớit∈ [t0, t0+T1]. Cuối cùng, ta đã chứng tỏ được rằng tồn tại hai dãy hàm {ϕi}∞i=0,{fi}∞i=0 thỏa (2.18)-(2.23). Đặc biệt, từ (2.23) ta suy được{fi}là một dãy Cauchy trongL1X([t0, t0+T1] cho nên cũng hội tụ tới một hàmf trongL1X([t0, t0+T1], một dãy con hội từng điểm hầu khắp nơi. Từ (2.18) ta có{ϕi}là một dãy Cauchy trongCX([t0, t0+T1]và hội tụ đều tới một hàm liên tục ϕ. Dễ dàng ta thấyϕt0 =ϕ,ϕ(t) =˙ f(t)với mọit∈ [t0, t0+T1] và
kϕt −ϕ0tk ≤rexp 2
Z t0+T1
t0
l(s)ds
!
< ρ,
vớit ∈[t0, t0+T1]. Do đó, ta có thể nói rằng với hầu hếtt ∈ [t0, t0 +T1] d(f(t), F(t, ϕt)) ≤ |f(t)−fi(t)|+d(fi(t), F(t, ϕit))
+H(F(t, ϕit), F(t, ϕt))
≤ |f(t)−fi(t)|+l(t)kϕit−ϕ0tk.
Vì vậy choitiến tới∞, ta được
˙
ϕ(t) =f(t)∈ F(t, ϕt)hầu khắp nơi
cho nờn ϕ(ã)là một nghiệm của bài toỏn Cauchy (2.9) - (2.10). Rừ ràng ta thấy ϕ thỏa (2.15). Chứng minh bổ đề hoàn tất.
Chứng minh Định lý 2.2.1Cho T1 như cũ và cho ϕ0 là một nghiệm của (2.11)- (2.12) trên [t0, t0+T1] và > 0. Theo bổ đề 2.2.4, điều kiện (ii) của định lý cung cấp rằng tồn tạiρ > 0vàl(ã)∈ L1([t0, t0+T1])sao choK +B(0, ρ)∈Dvà (2.13) biếtK = {ϕ0t : t ∈ [t0, t0+T1]} là compact trongC. Như đã chứng minh ở phần chứng minh bổ đề 2.2.5, hàm đa trịt →F(t, ϕ0t)khả tích. Cho r >0sao cho
rexp 2
Z t0+T1
t0
l(s)ds
!
< min{, ρ}.
Vìϕ˙0(t)∈ClCoF(t, ϕ0t)theo bổ đề 2.2.5,F(t, ϕ0t)nhận một hàm chọn khả tíchf0 thỏa
t∈[tmax0,t0+T1]| Z t
t0
[f0(s)−ϕ˙0(s)]ds| < r.
Tính đến thực tếϕ0(t0) = ϕ(0), từ bất đẳng thức cuối cùng ta có
|ϕ0(t0)−ϕ(0)− Z t
t0
f0(s)ds| < r
vớit ∈ [t0, t0 +T1]. Do đó, theo Bổ đề 2.2.6, bài toán (2.9) - (2.10) có một nghiệm ϕ trên[t0, t0 +T1]thỏa
s∈[t0max−h,t0+T1]|ϕ(s)−ϕ0(s)| = max
t∈[t0,t0+T1]kϕt −ϕ0tk
≤ rexp
2Rt0+T1
t0 l(s)ds
< , Chứng minh hoàn tất.
Chứng minh Định lý 2.2.2Đặt ρ= 13δ và choT0 ∈)0;T] sao cho
max{|ϕ(θ1)−ϕ(θ2)| : θ1, θ2 ∈ [−h,0],|θ1−θ2| ≤T0} < ρ. (2.25) Hơn nữa, ta đặt
ϕ0(t) =
ϕ(0) nếu t∈ [t0, t0+T1] ϕ(t−t0) nếu t∈ [t0 −h, t0].
Từ (2.25) ta có
kϕ0t −ϕk= max{|ϕ0t(θ)−ϕ(θ)| : −h ≤ θ ≤0}< ρ, (2.26)
với t ∈ [t0, t0 + T1]. Do đó, compact K = {ϕ0t : t ∈ [t0, t0 + T0]} thì chứa trong B(ϕ, ρ)dẫn tớiK+B(0, ρ)⊂B(ϕ, ρ) +B(0, ρ)⊂ B(ϕ, δ). Như trong chứng minh Định lý 2.2.1, vìϕ0t ∈ B(ϕ, δ)dẫn tới tồn tại một hàm chọn khả tíchf0 của hàm đa trịt→F(t, ϕ0t). Đặtr = 12ρexp(−2Rt0+T0
t0 l(s)ds). Do đórexp(2Rt0+T0
t0 l(s)ds) =
1
2ρ < ρ. ChoT1 ∈(0, T0] sao cho Z t0+T1
t0
|f0(s)|ds < r 2 Kết hợp với (2.25) ta được
|ϕ0(t0)−ϕ(0)− Z t
t0
f0(s)ds| < r với mọit∈ [t0, t0+T1]. Hơn nữa, rõ ràng rằng
rexp 2
Z t0+T1 t0
l(s)ds
!
< ρ
Do đó, theo Bổ đề 2.2.6 bài toán Cauchy (2.9) - (2.10) ta có nghiệm trên[t0, t0+T1].
Nhận xét Cho một bao hàm thức vi phân phiếm hàm tổng quát có dạngx(t)˙ ∈ F(t, xt) trong không gian Banach, biết F là hàm đa trị Lipschitz địa phương của x(t) (khả tích theo biến thứ nhất và Lipchitz theo biến thứ 2), tập nghiệm được chứng minh là khác rỗng và trù mật trong tập nghiệm của bao hàm thức vi phân lồi x(t)∈ ClCoF(t, xt).
Điều khiển bao hàm thức vi phân bằng phương pháp quét không lồi và ứng dụng
Các kết quả chính của phần này được tham khảo từ [22].
Bao hàm thức vi phân có dạng dudt(t) ∈ −A(t)u(t) +F(t, u(t))biếtA(t)là toán tử phi tuyến không bị chặn trong không gian BanachE vàF là hàm đa trị nhận giá trị compact yếu xác định trên[0, T]×E được nghiên cứu rộng rãi trong nhiều năm qua. Cụ thể, ta xét bao hàm thức vi phân trongRd
(I)
−u(t)˙ ∈ NC(t)(u(t)) +G(t, u(t))hầu khắp nơi u(0) =u0,
vớiNC(t)là kí hiệu nón tiếp tuyến Clarke với tậpC(t)được giả sử rằngρ- tựa chính quy được sử dụng theo Poliquin - Rockafellar - Thibault, vớiρ ∈ [0;∞]; khái niệm này là tương đương vớiρ - tính tựa trơn củaC(t). Ta chỉ xét trường hợp hàm đa trị nhiễuG(t,ã)nửa liờn tục dưới và nhận giỏ trị khụng lồi.