1.2 Hàm đa trị đo được, liên tục
1.2.3 Định lý chọn. Hàm đa trị đo được với giá trị trong các tập
Một vấn đề quan trọng là chứng tỏ sự tồn tại của những hàm chọn đo được khi Γ có giá trị là tập khác rỗng và có một số tính chất của tính đo được. Định lý cơ bản là định lý 1.2.4 bên dưới, và vài hệ quả của nó: các định lý 1.2.10 và 1.2.11. Nhưng định lý tổng quát và hữu ích hơn hết là định lý 1.2.22.
Định nghĩa 1.2.4. Giả sử X là không gian metric khả li,(T,T) là không gian đo được,Γlà hàm đa trị từT đến những tập con khác rỗng đầy đủ củaX. Nếu với mỗi tập mởU trong X,Γ−(U) = {t|Γ(t)∩U 6= }thuộcT thìΓcó một hàm chọn đo được.
Chứng minh. Giả sử {xn} là tập đếm được trù mật trong X. Ta xác định một dãy
những hàm đo được với giả thiết chỉ nhận một số đếm được giá trị, (σp) bởi phép truy hồi, có những tính chấtd(σp(t),Γ(t))< 2−p, d(σp+1(t), σp(t)) ≤ 2−p+1.
Trước hết ta đặtσ0 = xn nếu nlà số nguyên nhỏ nhất sao cho Γ(t)∩B(xn,20) 6=
(B(xn, r)là quả cầu mở tâm xncó bán kính làr). Vậyσ0 đo được:
σ0−1(xn) = Γ−(B(xn,20))− ∪
m<nΓ−1(B(xm,20)).
Bây giờ giả sử σp được chọn. Cho Ti = σp−1(xi). Khi đó nếu t ∈ Ti thì Γ(t) ∩ B(xi,2−p) 6= . Ta đặt trênTi, σp+1(t) = xnnếu n là số nguyên nhỏ nhất sao cho Γ(t)∩B(xi,2−p)∩B(xn,2−(p+1))6= . Do đóσp+1đo được vàd(σp+1(t), σp(t)) ≤ 2−p+ 2−(p+1) ≤ 2−p+1. Từ bất đẳng thức cuối, suy ra dãy(σp(t))là một dãy Cauchy.
Bởi vìΓ(t)đầy đủ vàd(σp(t),Γ(t)) →0, do đó giới hạn của(σp(t))đầy đủ trongX thuộcΓ(t). Giới hạnσ(t)này xác định một hàm chọn đo được củaΓ.
Định lý 1.2.10. Với những giả thiết như trong định lý 1.2.4, tồn tại một dãy(σn)của những hàm chọn đo được củaΓsao cho với mỗit,Γ(t) = {σn(t)|n∈ N}
Chứng minh. Cho{xn}là tập trù mật trongX. Cho(n, i)∈ N2 Γni(t) =
Γ(t)∩B(xn,2−i)nếu t∈ Γ−(B(xn,2−i)) Γ(t)các trường hợp còn lại
Hàm đa trịt7→Γni(t)có giá trị đầy đủ khác rỗng. Với mọi tập mởU, {t|Γni(t)∩U 6= }= {t|Γni(t)∩U 6=}
= Γ−(B(xn,2−i)∩U)∪[CΓ−(B(xn,2−i))∩Γ−(U)]∈ T. Do đó, theo định lý 1.2.4,Γni có một hàm chọn đo đượcσni.
Bây giờ ta chứng minhΓ(t) ={σni(t)}. Chox ∈Γ(t)vàε >0chọnisao cho2−i ≤
ε
2 vànsao chod(xn, x)< 2−i. Do đó,t ∈ Γ−(B(xn,2−i))vàσni(t) ∈ B(xn,2−i).
Do đó,d(σni(t), x)≤ d(σni(t), xn) +d(xn, x)≤ ε.
Định lý 1.2.11. 1) Cho(T,T)là không gian đo được,X là không gian Polish, vàΓ là ánh xạ từT đến những tập con đóng khác rỗng củaX. Nếu với mọi tập mởU trong X,Γ−(U)thìΓnhận được một dãy hàm chọn đo được(σn)sao choΓ(t) ={σn(t)}.
2) Cho(T,T)là không gian đo được, X là không gian metric khả li, vàΓlà ánh xạ từ T đến những tập con compact khác rỗng của X. Nếu Γ đo được thì Γ nhận được một dãy hàm chọn đo được(σn)sao cho Γ(t) = {σn(t)}.
Chứng minh. Nó là một hệ quả của định lý 1.2.10
Định lý 1.2.12. Giả sử(T,T)là không gian đo được, X là không gian metric khả li, vàΓ là ánh xạ từ T đến những tập con đầy đủ khác rỗng của X. Khi đó những tính chất sau đây là tương đương
a) Γ−(U)∈ T với mọi tập mởU, b) d(x,Γ(ã))là đo được với mọix ∈X
c) Γnhận được hàm chọn đo được(σn)sao cho Γ(t) = {σn(t)}.
Chứng minh. a⇒c là định lý 1.2.10.
c ⇒bbởi vìd(x,Γ(t)) = inf{d(x, σn(t))| ∈ N}.
b ⇒ a Để ý rằng {t|d(x,Γ(t)) < r} = Γ−(B(x, r))(r > 0, B(x, r) là quả cầu mở). Nhưng bất kì tập mởU là hợp của dãy các quả cầuB(xn, rn). Do đóΓ−(U) =
∪nΓ−B(xn, rn))là đo được nếu b đúng.
Chú ý. Dễ dàng chứng minha⇒ bvàc ⇒a:
a⇒ bbởi công thức{t|d(x,Γ(t)) < r}= Γ−(B(x, r))(r > 0) c ⇒abởi công thức
Γ−(U) = ∪σn−1(U).
Định nghĩa 1.2.5. Nếu (T,T)là không gian đo được,X là không gian metric khả li, và Γlà ánh xạ từ T đến những tập con đầy đủ củaX, thìΓ được gọi là đo được
nếu T0 = {t|Γ(t) = } thuộc T và nếu trên T −T0 thì Γ có những tính chất của định lý 1.2.12.
Chú ý. Do định lý 1.2.11 nên định nghĩa 1.2.3 và 1.2.5 tương đương.
Có hai tính chất khác của tính đo được mà người ta có thể dùng làm như định nghĩa của tính đo được. Đó là:
"Γ−(F)∈ T với mỗi tập đóngF" và
“đồ thị củaΓ(đó là{(t, x)∈ T ×X|x∈ Γ(t)})nằm trongT ⊗ B(X)”.
Ta xem xét những tính chất đó trong ba mệnh đề dưới đây. Đối với một σ-trường T, tất cả năm tính chất là tương đương.
Mệnh đề 1.2.13. Cho (T,T) là không gian đo được,X là không gian metric và Γ là ánh xạ từT đếnP(X). Khi đó nếu với mọi tập đóngF thìΓ−(F)∈ Tvới mọi tập mởU.
Chứng minh. Với mọi tập mởU làFσ: ta đặtFn = {x∈ X|d(x, XưU)≥ n1}(n≥ 1). Khi đóU =∪FnvàΓ−(U) =∪Γ−(Fn).
Mệnh đề 1.2.14. 1) Cho (T,T) là không gian đo được, X là không gian Polish compact địa phương, vàΓlà ánh xạ từ T đến Pf(X). Nếu Γ−(U)∈ T với mọi tập mởU thìΓ−(F)∈ T với mọi tập đóngF.
2) Cho (T,T)là không gian đo được,X là không gian metric hóa được, vàΓ là ánh xạ từT đến Pk(X). NếuΓ−(U) ∈ T với mọi tập mởU thìΓ−(F)∈ T với mọi tập đóngF.
Chứng minh. 1) NếuF đóng thì F là hợp của một dãy các tập compact Kn. Khi đó Γ−(F) = ∪Γ−(Kn). Giả sửK compact và ta sẽ chứng minhΓ−(K)∈ T . Compact hóa Alexandroff củaXˆ củaX là metric hóa được (nghĩa là tương đương cho không gian compact địa phương để nói nó là Polish). Giả sửdlà metric trênX. Khi đó vớiˆ
nđủ lớn)n≥n0)Kn ={x∈ X|d(x, Kˆ )≤ n1}chứa trongX, và compact.
Cho(σn)là dãy hàm chọn củaΓnhư trong định lý 1.2.10 Khi đóΓ−(K) = ∩
n≥n0
∪mσ−1m (Kn).Thật vậy, nếut ∈Γ−(K),Γ(t)∩K 6= thì kéo theo với mọin 6= n0,Γ(t)∩K˚n 6= và do đó tồn tại msao cho σm(t) ∈ Kn. Đảo lại, nếu t ∈ ∩
n ∪
mσ−1m (Kn) thì với mỗin,Γ(t)∩Kn 6= . Giả sử xn ∈ Γ(t)∩Kn. Dãy(xn)n≥n0 chứa trongKn0. Choxlà điểm tụ của(xn). Khi đóx∈ ∩Kn= K và x∈ Γ(t).
2) Nếu F đóng, đặt Un = {x|d(x, F) < n1}. Khi đó Γ−(F) = ∩Γ−(Un)bởi vì nếu t ∈ ∩Γ−(Un) thì tồn tại xn ∈ Γ(t)∩Un. Như vậy Γ(t)compact, dãy (xn)có một điểm tụxvàx ∈Γ(t)∩F.
Mệnh đề 1.2.15. Nếu(T,T)là không gian đo được,X là không gian metric khả li, và nếuΓtừ T đến những tập con đầy đủ củaX là đo được (xem định nghĩa 1.2.5), thì đồ thị củaΓ(đó là{(t, x)∈ T ×T|x∈ Γ(t)})nằm trongT ⊗ B(X).
Chứng minh. Giả sửΓ(t)khác rỗng với mọit. Đồ thịGcủaΓlàG= {(t, x)|d(x,Γ(t))
= 0}. Nhưng hàmd(x,Γ(ã))đo được (sử dụng tớnh chất của tớnh đo được củaΓ. Tớnh đầy đủ củaΓ(t)là không cần thiết !), vì vậy, theo bổ đề dưới đây(t, x)7→d(x,Γ(t)) đo được, vàG ∈ T ⊗ B(X).
Bổ đề 1.2.16. Cho(T,T)là không gian đo được,X là không gian metric hóa được khả li,U là không gian metric hóa được vàϕ : T × X → U. Giả sử ϕlà đo được (tương ứng(T,B(U))đo được) theotvà liên tục theox. Khi đóϕlà đo được (tương ứng(T ⊗ B(X),B(U))đo được).
Chứng minh. Cho(xn)là dãy trù mật trong X. Chop 6= 1đặt ϕp(t, x) = ϕ(t, xn) nếunlà số tự nhiên nhỏ nhất sao choxnằm trongB(xn,1p)(quả cầu mở tâmxn và bán kính là 1p). Dễ thấy rằngϕp(t, x)→ϕ(t, xn)khip→ ∞. Vàϕp đo được (tương
ứng(T ⊗ B(X),B(U))đo được) vì trên tập T ∈ [B(xn,1
p)− ∪
m<nB(xm,1 p)]
ϕp bằng hàm(t, x)→ϕ(t, xn)