Sơ lược các bước giải bài toán sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn

Một phần của tài liệu Nghiên cứu ứng xử của thanh truyền lực trong mặt đường bê tông xi măng bằng phương pháp phần tử hữu hạn (Trang 53 - 57)

CHƯƠNG 2. GIỚI THIỆU VỀ MẶT ĐƯỜNG BÊ TÔNG XI MĂNG VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN

2.5. GIỚI THIỆU PHẦN MỀM TÍNH TOÁN

2.5.1. Sơ lược các bước giải bài toán sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn

Trong phương pháp phần tử hữu hạn vật thể liên tục được biểu diễn như là một tập hợp các phần tử hữu hạn. Các phần tử hữu hạn này được xem như liên kết với nhau tại một số điểm gọi là nút. Các nút thường nằm trên biên phần tử nơi các phần tử liền kề nhau được xem là liên kết với nhau. Do sự biến thiên thực sự của biến trường (chuyển vị, ứng suất, nhiệt độ, áp suất…) bên trong vật thể (môi trường liên tục) chưa biết trước, ta giả thiết biến thiên của biến trừơng bên trong một phần tử hữu hạn có thể được xấp xỉ bởi một hàm đơn giản. Hàm xấp xỉ (hay hàm nội suy) được xác định theo biến trường tại các nút. Khi phương trình của biến trường được viết cho toàn bộ miền tính toán, các ẩn số mới sẽ là giá trị tại các nút của biến trường. Bằng cách giải hệ phương trình này ta xác định được giá trị của biến trường tại các nút và từ hàm nội suy đã giả thuyết ta xác định dược sự biến thiên của biến trường trong miền tính toán.

Hình 2-14. Sự chia lưới thành các phần tử hữu hạn.

Việc giải bài toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn là xây dựng ma trận độ cứng cho phần tử. Từ đó lắp ghép các phương trình phần tử dựa vào các điều kiện liên tục, điều kiện biên để tạo phương trình cho hệ và giải các hệ phương trình này.

Các bước tiến hành chung của phương pháp phần tử hữu hạn như sau:

Bước 1: rời rạc hóa kết cấu: phân chia miền tính toán thành E miền con/phần tử các miền con liên kết với nhau tại điểm nút:

Bước 2: chọn một hàm nội suy hay một mô hình chuyển vị thích hợp.

 Mô hình nên đơn giản (thường có dạng đa thức) nhưng phải thỏa mãn một số yêu cầu về hội tụ.

 Mô hình chuyển vị bên trong phần tử được giả thiết là

 

 

 , , ,, , ,    

, , ,

e

u x y z

U v x y z N Q

w x y z

 

 

 

 

 

(2.33)

Trong đó: [N] ma trận hàm hình dạng, Q e là vectơ chuyển vị nút của phần tử (e) Bước 3: Xây dựng ma trận độ cứng [K e ] cho phần tử

 Xây dựng công thức biến phân từ các phương trình vi phân chính tắc.

 Chọn hàm xấp xỉ nghiệm trên phần tử.

 Xác định hàm dạng cho nút của phần tử.

 Thiết lập ma trận độ cứng [K e ] và vectơ tải P e của từng phần tử bằng cách sử dụng nguyên lý thế năng cực tiểu. Hàm thế năng p của toàn bộ vật thể (chỉ xét lực thể tích và lực mặt) có thể được viết như sau:

 

1 E

e

p p

e

 

 (2.34)

Trong đó  pe = thế năng của phần tử (e) được xác định theo:

           

1

0 1

1 2

2 ve e e

e T T T

p D dV s U dS V U dV

           (2.35)

Với V e = thể tích của phần tử (e); S1 e = phần diện tích bề mặt của phần tử (e) có lực phân bố  tác dụng lên một đơn vị diện tích bề mặt; và có = lực phân bố tác dụng lên một đơn vị thể tích vật thểm,  được biểu diễn theo vectơ chuyển vị nút

 e

Q bằng cách lấy đạo hàm (2.33) một cách thích hợp, ta được phương trình:

0 0

0 0

0 0

0 0

0

xx yy zz xy yz zx

u

x x

v

y y

w u

z z

u v v

y x y x w

v w

z y z y

w u

x z z x

 

 

   

    

   

 

   

   

   

   

      

     

   

    

         

 

   

   

 

      

     

  

 

    

 

    

    

    

   

 B Q e

 

 

  (2.36)

Ứng suất  có thể được xác định từ biến dạng  như sau:

   0        0

D D B Qe D

       (2.37)

Biến đổi các phương trình trên, ta thu được thế năng của phần tử như sau:

   

                 0

1

2 e e

T T

e e T e e T

p v Q B D B Q dV v Q B D dV

    

   

 

 

   

1 1

e e

T T

e T e T

s Q NdS v Q NdV

  (2.38)

Trong các phương trình trên chỉ xét lực cắt và lực thể tích. Nhưng tổng quát còn có một số ngoại lực tập trung tác dụng vào các nút khác nhau. Nếu P là vectơ lực nút (tác dụng theo phương vectơ chuyển vị nút Q của toàn bộ kết cấu) tổng thế năng của kết cấu có thể được viết như sau:

   

1 E

e e T

p p

e

  Q P

  (2.39)

Trong đó: Q Q Q Q1, 2,... MTlà vectơ chuyển vị nút của toàn bộ công trình và M là tổng số chuyển vị nút hay bậc tự do.

Với mỗi thành phần của vectơ Q e , e =1, 2, 3, 4…..E, xuất hiện trong vectơ chuyển vị nút chung Qcủa toàn bộ công trình. Một cách tương ứng, của mỗi phần tử có thể thay thế bởi Qnếu các ma trận phần tử còn lại và các vectơ (như [B], [N],  và  ) trong biểu thức của  pe được mở rộng bằng cách thêm các giá trị zero tại các nơi càn thiết. Như vậy phương trình sau biến đổi ta được:

    

  1

1

2 e

E T

T

p v

e

Q B D B dV Q

 

  

        

   1( ) 

0 1

1

e e e

E T T T

T T

c c

v S v

e

Q B DdV NdS NdV Q P

      (2.40)

Phương trình (2.40) biểu diễn thế năng của toàn bộ kết cấu theo chuyển vị nút Q. Trạng thái cân bằng của kết cấu có thể được xác định bằng cách giải các điều kiện cần thiết sau (để cực tiểu thế năng):

1 2

... 0

p p p p

Q Q QM Q

   

   

    

     K QP (2.41)

Bước 4: tập hợp các phương trình phần tử để được hệ phương trình cần bằng tổng thể cho hệ:

 Xây dựng điều kiện liên tục giữa các biên phần tử với các biến cơ sở (quan hệ giữa bậc tự do địa phương và bậc tự do toàn cục, thiết lập quan hệ kết nối giữa các phần tử) bằng quan hệ giữa nút địa phương với nút toàn cục.

 Lắp ghép các phương trình phần tử dựa vào các bước trên, kết quả là hệ thống phương trình: K . P. Trong đó ma trận độ cứng của toàn hệ là:

  ( )

1 E

e e

K K

 

  Và vectơ tải nút tổng thể là:  ( ) ( ) ( )

1 E

e e e

c i s b

e

P P P P P

   

Trong đó:

Pi( )e = vectơ lực nút phần tử do biến dạng ban đầu gây ra;

Ps( )e = vectơ lực nút phần tử do lực bề mặt gây ra;

Pb( )e = vectơ lực nút phần tử do lực bề khối gây ra;

P= vectơ lực nút tổng cộng.

Bước 5: Dựa vào bài toán các điều kiện biên

 Xác định bậc tự do toàn cục của biến sơ cấp;

 Xác định bậc tự do toàn cục của biến thứ cấp;

 Giải tìm giá trị của ẩn số chuyển vị nút sau khi đã kết hợp điều kiện biên để được hệ phương trình có dạng  K . P;

 Đối với bài toán tuyến tính, hệ phương trình có thể giải một cách dễ dàng.

Bước 6: tính toán ứng suất và biến dạng của phần tử

 Giải hệ phương trình đã lắp ghép, phân tích và đánh giá kết quả.

 Tính các đại lượng dẫn xuất.

 Tính sai số và tốc độ hội tụ bài toán.

Hiện nay có rất nhiều phần mềm thương mại hỗ trợ cho việc phân tích, tính toán tiêu biểu Sap2000, RM-Spaceframe, Midas/Civil, Ansys, Abaqus. Trong đó khi tính toán kết cấu áo đường cứng một số phần mềm được viết riêng để tính toán tiêu biểu như EverFE, KENPAVE. Trong đó, phần mềm Abaqus là công cụ rất mạnh mẽ trong việc phân tích phần tữ hữu hạn. Sau đây sẽ giới thiệu sơ lược về phần mềm EverFE và Abaqus ứng dụng trong tính toán áo đường cứng.

Một phần của tài liệu Nghiên cứu ứng xử của thanh truyền lực trong mặt đường bê tông xi măng bằng phương pháp phần tử hữu hạn (Trang 53 - 57)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(140 trang)