Phân tích mode dao động của dầm côngxon bằng phương pháp Phần tử phổ SEM

CHƯƠNG 3 CỞ SỞ LÝ THUYẾT

3.3 XÂY DỰNG CÔNG THỨC TRÊN DẦM EULER - BEROULLI

3.3.2 Xây dựng công thức Phần tử phổ trên dầm Euler - Bernoulli

3.3.2.4 Phân tích mode dao động của dầm côngxon bằng phương pháp Phần tử phổ SEM

Trong phần này, chúng ta sẽ hiểu rõ hơn về sự dao động của dầm côngxon một lớp, sau đó sẽ phân tích dao động tự do của dầm côngxon hai lớp. Bằng cách này, chúng ta có thể thấy sự khác biệt trong phương trình và đặc điểm khi chúng ta chuyển từ một lớp đến hai lớp dầm. Tính toán trong cả hai trường hợp sẽ phụ thuộc vào dao động tự do và dao động không tắt dần.

Dao động tự do của dầm côngxon có thể xảy ra trong một số lƣợng vô hạn của các mode dao động, mỗi mode ứng với một tần số rời rạc [46].

Các tần số đầu tiên là thấp nhất tương ứng với mode đầu tiên; tần số thứ hai tương ứng với mode thứ hai. Tuy nhiên, tần số cao hơn từ thứ ba trở lên thì ít quan trọng bởi vì chúng khó chịu lực kích thích và số lƣợng các điểm trên dầm có chuyển vị gần như bằng không và tần số tăng tương ứng với số mode dao động.

Hai phương pháp chính được sử dụng để tìm nghiệm cho thanh dầm dao động tự do. Phương pháp thứ nhất phụ thuộc vào việc giải các phương trình vi phân cho cân bằng giữa lực quán tính và lực phục hồi phụ thuộc vào điều kiện biên. Phương pháp thứ hai gọi là phương pháp năng lượng, phương pháp này dựa trên biểu thức tổng của thế năng và động năng luôn là hằng số.

Trong phần này sẽ sử dụng phương pháp phương trình vi phân để xác định phương trình dao động tự do của dầm côngxon. Phương trình này sẽ là cơ sở cho phần tiếp theo để xác định mode dao động và tần số riêng của dầm côngxon 2 lớp.

 Mode dao động dầm côngxon 1 lớp

Dầm dao động tự do nên theo phương trình (3.84) ta có:

   

       

   

       

cos cosh sin sinh 0

sin sinh cos cosh 0

F F F F

F F F F

C k l k l D k l k l

C k l k l D k l k l

    



    



(3.89) Phương trình (3.89) sẽ được viết lại dưới dạng ma trận như sau:

       

       

sin sinh cos cosh 0

cos cosh -sin sinh 0

F F F F

F F F F

k l k l k l k l C

k l k l k l k l D

 

    

    

      

 

(3.90) Để giải quyết ma trận này, chúng ta sẽ có những nghiệm không tầm thường, do đó các yếu tố quyết định của các ma trận phải bằng số không:

           

   

2 2 2 2

sinh sin cos 2 cos cosh cosh 0

1 cos cosh 0

F F F F F F

F F

k l k l k l k l k l k l

k l k l

    

   (3.91)

Ví dụ 6:

1. Xét dầm côngxon vật liệu Aluminum có các thông số dầm nhƣ sau:

L= 0,12 m; b=0,03m; t=0,002 m; E=70 GPa; ρ=2700 Kg/m3.

Hình. 3.24 Mode shape của dầm côngxon 1 lớp bằng vật liệu Aluminum.

Tần số tự nhiên: ω1 = 113,420

ω2 = 710,792

ω3 = 1990,239 ω4 = 3900,074 ω5 = 6447,102 ω6 = 9630,854

Hình. 3.25 Kết quả bài báo dầm côngxon 1 lớp bằng vật liệu Aluminum [46].

Hình (3.24)dưới đây cho thấy chuyển vị gây ra bởi mỗi mode tại t = 0 là tổng số chuyển vị của dầm. Từ những chuyển vị ở những mode cao hơn mode thứ 3 sẽ ít ảnh hưởng đến giá trị tổng chuyển vị của dầm.

 Mode dao động dầm côngxon 2 lớp

Chúng ta đã khảo sát dao động cho dầm côngxon một lớp, nhƣng nhiều ứng dụng gần đây đã sử dụng nhiều hơn một lớp, trong đó dầm đƣợc tráng thêm một lớp mỏng để trở thành một vật liệu composite. Kết quả là, thay vì sử dụng thép cho thanh dầm côngxon, chúng ta có thể sử dụng hai vật liệu khác nhau (composite) và nhận được kết quả mong muốn. Trong trường hợp đó ta vẫn nhận được đáp ứng tần số như nhau. Vật liệu màng mỏng thường có kích thước trong khoảng micromet hay thậm chí nanomet được sử dụng để bọc các vật liệu khác, trong trường hợp này. Chúng ta sẽ có một dầm phủ một màng mỏng để tạo thành một dầm hai lớp mới nhƣ hình trong hình (3.26) dưới đây [46].

Hình. 3.26 Dầm côngxonvới lớp màng mỏng.

Các dầm mới này sẽ có những đặc điểm mới và thông số kỹ thuật mới.

Mỗi loại vật liệu có tỷ trọng và module đàn hồi khác nhau. Ngoài ra, moment quán tính và độ dày của mỗi lớp khác nhau. Cả hai lớp có chiều dài và chiều rộng giống nhau và cả hai sẽ dao động với cùng một tần số.

Trong đó: ρb tỷ trọng của lớp vật liệu khối.

ρf tỷ trọng của lớp vật liệu mỏng.

Eb Module đàn hồi của lớp vật liệu khối (Pa).

Ef Module đàn hồi của lớp vật liệu mỏng (Pa).

tf , tb Bề dày của tấm vật liệu mỏng và khối .

1  1

1 N

k

k k

k

I b h h



  (3.92)

3 3

1

11 11

1 3

N k

k k

k

h h

D bQ 



  

  

 

 (3.93)

23 32 11

11

1

Qk E     (3.94)

Trong đó: I1 là khối lƣợng chuyển đổi trên mỗi đơn vị chiều dài D11 là module đàn hồi.

Q11 là vật liệu đàn hồi.

  1  12 21 23 32 31 132  21 32 13

(3.95) Trong đó: ν12 , ν21 , ν13 , ν31 , ν32 , ν23 là hệ số Poisson.

Với trường hợp dầm có 2 lớp N = 2 lúc đó ta có:

        

2

1 1 1 0 2 1

1 k

k k b f

k

I b t t  b  t t  t t



 

        (3.96)

3 3

2

1

11 11

1

3 3 3 3

1 2

1 0 2 1

11 11

3

3 3

k k k

k

h h

D bQ

t t t t

b Q Q





  

  

 

      

     

 

 

 



(3.97)

Bởi vì chúng ta xét đến vật liệu đẳng hướng nên để đơn giản thì ν32 , ν23 = 0 khi đó Δ = 1.

Phương trình (3.97) sẽ trở thành

3 3 3 3

1 1 0 2 2 1

11 11 11

3 3

t t t t

D b E   E   

 

 

  (3.98)

Vậy ta có tần số của dầm hai lớp có dạng:

  11

2 1

k LF D

L I



(3.99) Đây là đáp ứng tần số của dầm côngxon hai lớp. Từ phương trình (3.73) ta có:

  cos F sin F cosh F sinh F

W x  A k x B k x C k x D k x

Sử dụng các điều kiện biên nhƣ công thức (3.79), (3.80) và (3.81) ta có chuyển vị tại điểm x=l

     

           

cosh cos

. sinh sin cosh cos

sinh sin

F F

F F F F

F F

k l k l

W l k l k l k l k l

k l k l

   

          (3.100)

Trong đó:

   

   

cosh cos

0, 734; 1, 018; 0,999;...

sinh sin

F F

F F

k l k l

k l k l

   



Do đó công thức (3.100) có dạng:

  cosh F cos F sinh F sin F

X l  k l  k l  k l  k l  (3.101) 2. Xét dầm côngxon 2 lớp có các thông số nhƣ sau:

Lb = Lf = 0,12 m; bb = bf = 0,03m tb = 0,002m; tf = 0,00002m Eb = 70G Pa; Ef = 111 GPa

ρb = 2700 kg/m3 ; ρf = 5680 kg/m3.

Hình. 3.27 Mode shape của dầm côngxon 2 lớp bằng vật liệu Aluminum tráng lớp kẽm mỏng.

Tần số tự nhiên: ω1 = 114,933

ω2 = 720,272

ω3 = 2016,782 ω4 = 3952,088 ω5 = 6533,085 ω6 = 9759,297

Hình. 3.28 Kết quả bài báo của dầm côngxon 2 lớp bằng vật liệu Aluminum tráng lớp kẽm

mỏng [46].

Hình 3.27 mô tả mode dao động của dầm côngxon 2 lớp, các mode dao động này gần nhƣ không thay đổi so với dầm 1 lớp về giá trị tần số tự nhiên, biên độ dao động.

Nghiên cứu này phân tích mode dao động tự do của dầm composite dựa vào hàm đáp ứng tần số (FRF). Phương trình của tần số và mode dao động đƣợc đƣa ra và giải cho dầm côngxon khác nhau với các vật liệu khác nhau. Ví dụ trên minh họa cho các trường hợp dầm 1 và 2 lớp với các vật liệu khác nhau. Công cụ Matlab đƣợc sử dụng lập trình nhằm tìm ra tần số và mode dao động của dầm. Chương trình này được ứng dụng cho nhiều loại dầm có các vật liệu khác nhau ở đó chúng ta chỉ cần biết các thông số vật liệu của dầm [46].

Nghiên cứu dao động trong dầm composite có ứng dụng rất nhiều trong ngành công nghiệp, sản xuất và tự động hóa. Các công ty ô tô luôn tìm những vật liệu nhẹ nhằm giảm giá thành, tái chế và thân thiện với môi trường, giảm trọng lƣợng và giảm tối đa về nhiên liệu. Những nghiên cứu về hàm đáp ứng tần số (FRF) để phân tích dao động trong dầm composite nhằm giảm bớt dao động trong dầm vì vậy khi biết tần số và mode dao động lúc đó có thể khắc phục và tăng độ bền kết cấu.