a.Khỏi niệm
Một tứ giỏc cú bốn đỉnh nằm trờn một đường trũn được gọi là tứ giỏc nội tiếp đường trũn (Gọi tắt là tứ giỏc nội tiếp)
b. Định lớ
+ Thuận:
Tứ giỏc ABCD nội tiếp đường trũn ⇒ àA + Cà = àB+ Dà = 1800 + Đảo Tứ giỏc ABCD cú: à A + Cà = 1800 hoặc Bà + Dà = 1800 ⇒ Tứ giỏc ABCD nội tiếp đường trũn
132S S O M C B A B F O n m D C A Hỡnh.70 Hỡnh.69 Hỡnh.71
* Muốn chứng minh một tứ giỏc nội tiếp đường trũn :
Tứ giỏc nội tiếp đường trũn cú tổng số đo của hai gúc đối diện bằng 1800.
Hai đỉnh liờn tiếp nhỡn hai đỉnh cũn lại dưới một gúc khụng đổi.
Hai đỉnh đối diện nhỡn hai đỉnh cũn lại dưới một gúc vuụng.
Bốn đỉnh của tứ giỏc cỏch đều một điểm cố định.
Chứng tỏ tứ giỏc là hỡnh thang cõn, hỡnh chữ nhật, hỡnh vuụng.
Vớ dụ 1: Hỡnh thang cõn, hỡnh chữ nhật, hỡnh vuụng là cỏc tứ giỏc nội tiếp được đường trũn .
O O O O A B D C A B D C A D B C
Vớ dụ 2. Cho tứ giỏc ABCD. Hai đường chộo AC và BD cắt nhau tại N, hai cạnh AB và CD cắt nhau tại M. Cỏc điều kiện sau đõy là tương đương.
a) Tứ giỏc ABCD nội tiếp một đường trũn.b) ãACB+ ãADC = 1800. b) ãACB+ ãADC = 1800. c) ãACB = ãADB d) ãDAB = ãMCB N A D M C B II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài tập 1: Cho đường trũn (O) và điểm A nằm ngoài (O). Qua A kẻ tiếp tuyến AB và cỏt tuyến AMN với đường trũn (O). Lấy điểm I là trung điểm MN. Chứng minh ABIO là tứ giỏc nội tiếp . Giải
*Trường hợp 1: Cỏt tuyến AMN và tiếp tuyến AB nằm về hai nửa mặt phẳng chứa đoạn thẳng OA
Ta cú:
AB là tiếp tuyến của (O) nờn ãABO = 900 I là trung điểm của dõy cung MN nờn OI ⊥MN hay ãAIO= 900
Do đú : ãABO+ ãAIO = 900 + 900 = 1800 ⇒ ABIO là tứ giỏc nội tiếp.
I
N M
O B B
A
*Trường hợp 2: Cỏt tuyến AMN và tiếp tuyến AB nằm về cựng nửa mặt phẳng chứa đoạn thẳng OA
133
Hỡnh.72
Hỡnh.73
C1.Ta cú:
I và B cựng thuộc cựng chứa gúc 900 dựng trờn đoạn OA nờn tứ giỏc ABIO nội tiếp đường trũn
C2. Lấy C là trung điểm của OA Ta cú :