1. Định nghĩa.
a) Đường thẳng cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy đgl đường vuông góc chung của a và b.
b) Nếu đường vuông góc chung cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M, N thì độ dài đoạn MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động
học tập của học sinh Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
VD5: Cho hình chóp S ABC. . Tìm đường vuông góc chung giữa hai đường thẳng SA và BC?
+ Hạ AH vuông góc với BC (1).
+ Vì
SA ABC
SA AH AH ABC
����
� �� (2) Từ (1) và (2) suy ra AH là đường vuông góc chung giưa hai đường thẳng SA và BC.
Cho HS quan sát hình vẽ (bên dưới). Có nhận xét gì về tính chất của đường thẳng với hai đường thẳng a và b?
α và β .
2. Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.
Cho hai đt chéo nhau a và b. Gọi β
là mp chứa b và song song a,a �là hình chiếu vuông góc của a lên β .
Vì a // β nên a // a� Do đó b a� =� N.
Gọi α là mp chứa a và a’, là đt qua N và vuông góc với β . Khi đó
( )
( )α �a,a� vuông góc với β . Như
vậy nằm trong α nên cắt a tại M và cắt b tại N, đồng thời cùng vuông góc với cả a và b. Vậy là đường vuông góc chung của a và b.
3. Nhận xét
a) Khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau bằng khoảng cách từ một điểm trên đt này đến mp song song với nó và chứa đt kia
b) Khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau bằng khoảng cách giữa 2 mp song song lần lượt chứa 2 đt đó.
VD6. Quan sát hình vẽ (bên phải). Chọn mệnh đề đúng, trong các mệnh đề sau, khi xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b?
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động
học tập của học sinh Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
(1). Qua H dựng đường thẳng a’ song song với a, và cắt b tại B.
(2). Chọn một điểm M trên a, dựng MH vuông góc (P) tại H.
(3). Dựng mặt phẳng (P) chứa b và song song với a.
(4). Từ B dựng đường thẳng song song với MH, và cắt đường thẳng a tại A. Đoạn AB là đoạn vuông góc của a và b.
A. (1)�(3) �(2) �(4). B. (3)�(1) �(2) �(4).
C. (3)�(2) �(1) �(4). D. (2)�(1) �(3) �(4).
Mục tiêu: Thực hiện được cơ bản các dạng bài tập trong SGK Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động
học tập của học sinh Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
Bài tập 1. Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a. Gọi I là trung điểm của cạnh SC và M là trung điểm của cạnh AB. Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng CM.
A. 30 10 .
a B. 3
10 . a
C. 30 9 .
a D. 3 2 .
a Ta có SA^(ABCD) mà IO SA// , do đó
( ).
OI ^ ABCD Trong mặt phẳng (ABCD)dựng H là hình chiếu vuông góc của O trên CM, ta có IHCM và IH chính là khoảng cách từ I đến đường thẳng CM. Gọi N là giao điểm của MO với cạnh CD.
Hai tam giác MHO và MNC đồng dạng nên
2 2
5 2 5
2 a a.
OH OM CN .OM a
CN MC �OH MC a
.
HOẠ T Đ ỘNG LU YỆ N T
C ẬP
Lại có
2 2
SA a OI
và
2 2 2
2 2 2 3
4 20 10
a a a
IH IO OH .
Vậy , 3 1030
10
a a
d I CM IH . Chọn đáp án A.
Bài tập 2. Cho hình lập phương .
ABCD A B C D����có cạnh là a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A BD� ).
A. 3 2 .
a B. 3
3 . a
C. a 3. D. 2 4 . a
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Vì AA�(ABCD) nên AA�BD. Mặt khác AOBD. Suy ra BDOAA�.
hay A BD� OAA�.
Trong mặt phẳng OAA� kẻ AH OA�.
Khi đó AH A BD� hay
,
d A A BD� AH .
Xét OAA’ vuông tại A có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 1 3
'
AH AO AA a a a . Vậy d A A BD , � a33.
Chọn đáp án B.
Mục tiêu: Tìm được khoảng giữa hai đối tượng ở các bài toán vận dụng cao.
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt
động học tập của học sinh Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
Bài tập 1. Cho hình chóp SABCD có
HOẠ T Đ ỘNG VẬ N DỤ NG, TÌM T ÒI M
Ở RỘNG
D,E
đáy ABCD là hình vuông tâm O có cạnh bằng a, SA a 3 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC). A. 3
4 .
a B. 3
3 . a
C. 3 6 .
a D. 2
2 . a
b) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC).
A. 2 2 .
a B. 2
3 . a
C. 6 6 .
a D. 2
6 . a
O F E
H G
D
B C
A S
a) Ta có: OA�SBC C nên:
,, 12
d O SBC OC AC d A SBC
, 12 , .
d O SBC d A SBC
�
Gọi H là hình chiếu của A trên SB ta có:
.
AH SB
AH SBC AH BC
� �
�
�
Trong tam giác vuông SAB có:
2 2 2 2
1 1 1 4 3
3 2 .
AH a AH SA AB a �
, 12 , 12 a43.
d O SBC d A SBC AH
�
Chọn đáp án A.
b) Gọi E là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAB.
Do EG�SAC S nên
, 2
, 3
, 2 ,
3 d G SAC GS d E SAC ES
d G SAC d E SAC
� Ta có:
;
BO AC
BO SAC BE SAC A BO SA
� � �
�
�
, 12 , 12 a42
d E SAC d B SAC BO
�
, 23 a42 a62.
d G SAC
� �
Chọn đáp án D.
Bài tập 2. Cho hình lăng trụ tam giác .
ABC A B C��� có độ dài cạnh bên bằng a 7 , đáy ABC là tam giác vuông tại A,
AB a , AC a 3. Biết hình chiếu vuông góc của A� trên mặt phẳng ABC là
trung điểm của BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA� và B C�� bằng
A. 3
a 2. B. 3
2 a .
C. 2
a 3 . D. 3
2 a .
Chọn C
Gọi H là trung điểm của BC
Ta có BC AB2AC2 a23a2 2a suy
ra 1
AH 2BC a và
2 2 7 2 2 6
A H� A A� AH a a a
Từ A ta dựng đường thẳng d song song với BC, kẻ HM d tại M và HK AM tại
K. Ta có
AM MH
AM A MH AM HK AM A H
� � � �
� �
� .
Ta có ���HKHK AMA M� �HK A AM� . Do đó
; ; ;
d AA B C� ��d BC A AM� d H A AM� HK .
Ta có
2 2 2 2
2 2 2 2
. .3 3
3 2
AB AC a a a
HM AI
AB AC a a
.
Xét tam giác A HM� vuông tại H ta có
2 2
2 2
2 2
2 2
3 .6
. 4 2
. 3 6 3
4 a a MH A H
HK a
MH A H a a
�
� .
IV. CÂU HỎI/BÀI TẬP KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ CHỦ ĐỀ THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
Bài tập 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D. ����. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
ABCD và A B C D����bằng
A. AC�. B. AB�. C. AD�. D. AA�.
Lời giải Chọn D
Ta có d ABCD , A B C D���� AA�
Bài tập 2. Cho hình chóp tam giác S ABC. có SA vuông góc với mặt phẳng ABC,
6
AB , BC8, AC10. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BC.
A. Không tính được d. B. d 8. C. d 6. D. d 10. Lời giải
Chọn C
Theo giả thiết, tam giác ABC vuông tại B nên AB là đoạn vuông góc chung của SA và BC.
Vậy d SA BC ; AB6.
NH ẬN B IẾ
1 T
Bài tập 3. Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình bình hành, cạnh bên SA vuông góc với đáy.
Biết khoảng cách từ A đến SBD bằng 67a. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng