TÍNH CHÍNH QUY VÀ NỬA QUY CỦA CÁC ĐỒNG CẤU
2.2 ĐỒNG CẤU NỬA CHÍNH QUY
Định nghĩa 2.2.1. Cho M và N là các môđun. Đồng cấu α ∈ [M, N] được gọi là nửa chính quy nếu tồn tại β ∈ [N, M] sao cho β = βαβ và α − αβα ∈ J[M, N]. [M, N] được gọi là nửa chính quy nếu mỗi α ∈ [M, N] là nửa chính quy.
EN là vành nửa chính quy nếu và chỉ nếu [N, N] là nửa chính quy.
Môđun N được gọi là nửa chính quy nếu với mọi x ∈ N thì tồn tại β ∈ [N, R] sao cho (βx)2 = βx và x−xβx ∈ J(N).
Bổ đề 2.2.2 ([14, Bổ đề 14]). Những điều kiện sau tương đương đối với α ∈ [M, N]:
(1) α là nửa chính quy.
(2) Tồn tại β ∈ [N, M] sao cho (βα)2 = βα trong EM và α −αβα ∈ J[M, N].
(3) Tồn tại một phần tử chính quy γ ∈ [M, N] sao cho α−γ ∈ J[M, N].
(4) Tồn tại γ2 = γ ∈ [N, M]α ≤EM sao cho α−αγ ∈ J[M, N].
Chứng minh. (1) ⇒ (2)Nếuβ ∈ [N, M]thỏa mãnβ = βαβvàα−αβα ∈ J[M, N] thì (βα)2 = βα.
(2) ⇒(3) Nếu β ∈ [N, M] thỏa mãn (βα)2 = βα vàα−αβα ∈ J[M, N], và nếuγ = αβα thìγ ∈ [M, N], α−γ ∈ J[M, N], vàγβγ = αβαβαβα = αβα = γ.
(3) ⇒ (4) Theo (3) ta chọn δ ∈ [M, N] sao cho α − δ ∈ J[M, N] và δβδ = δ với β ∈ [N, M]. Đặt ε = βδ sao cho ε2 = ε ∈ EM và δε = δ.
Trước hết ta chứng minh αε là chính quy và α−αε ∈ J[M, N].
Thật vậy, ta có α−αε = α(1M −ε) = (α −δ)(1M −ε) ∈ J[M, N] theo Bổ đề 1.2.3. Tương tự ta có ε−βα = β(δ−α) ∈ J[M, M] = J(EM), nên tồn tại φ ∈ EM sao cho φ(1M −ε+βα) = 1M. Do đó ta được φβαε = ε, suy ra (αε)(φβ)(αε) = αε. Vậy αε là chính quy.
Đặt η = αε, ta chọn à ∈ [N, M] sao cho η = ηàη và àηà = à. Đặt γ = εàα. Khi đú γ2 = γ ∈ [N, M]α và
α −αγ = α −ηàα = (1N −ηà)(α −η) ∈ J[M, N] theo chứng minh trên. Từ đó ta có (4).
(4) ⇒ (1) Theo (4) ta chọn γ = γ2, đặt γ = ρα, với ρ ∈ [N, M] và β = γρ. Khi đó β ∈ [N, M], α−αβα = α−αγρα = α−αγ ∈ J[M, N] và βαβ = γρ = β.
Hệ quả 2.2.3 ([14, Hệ quả 15]). [M, N] là chính quy khi và chỉ khi [M, N] là nửa chính quy và J[M, N] = 0.
Hệ quả 2.2.4 ([14, Hệ quả 16]). Cho α, β ∈ [M, N] với α−β ∈ J[M, N].
Nếu α là nửa chính quy thì β là nửa chính quy và ngược lại.
Chứng minh. Giả sử β là nửa chính quy. Theo Bổ đề 2.2.2 tồn tại một phần tử chính quy γ ∈ [M, N] sao cho β−γ ∈ J[M, N]. Khi đó α−γ = (α−β) + (β −γ) ∈ J[M, N]. Vậy α là nửa chính quy theo Bổ đề 2.2.2.
Ngược lại, nếu α là nửa chính quy, ta cũng có được β−α = −(α−β) ∈ J[M, N].
Bổ đề 2.2.5 ([14, Bổ đề 18]). Cho A ≤⊕ M và B ≤⊕ N. Nếu [M, N] là nửa chính quy thì [A, B] là nửa chính quy.
Chứng minh. Xét M π1✲ A ι1 ✲ M và N π2✲ B ι2 ✲ N là các phép chiếu chính tắc và đơn cấu chính tắc. Giả sử α ∈ [A, B], khi đó α¯ = ι2απ1 ∈ [M, N] là nửa chính quy. Vì vậy tồn tại β ∈ [N, M] sao cho β = βαβ¯ và α¯ −αβ¯ α¯ ∈ J[M, N]. Đặt βˆ= π1βι2 ∈ [B, A]. Theo Bổ đề 1.2.3 ta có
βαˆ βˆ= π1βι2απ1βι2 = π1βαβι¯ 2 = π1βι2 = ˆβ và
α−αβαˆ = π2ι2απ1ι1 −(π2ι2α)(π1βι2)(απ1ι1)
= π2αι¯ 1 −π2αβ¯ αι¯ 1
= π2(¯α −αβ¯ α)ι¯ 1 ∈ J[A, B].
Vậy α là nửa chính quy.
Bổ đề 2.2.6 ([14, Bổ đề 19]). Cho M và N là các môđun với N = N1 ⊕N2. Khi đó [M, N] là nửa chính quy khi và chỉ khi [M, Ni] là nửa chính quy với mỗi i = 1,2.
Chứng minh. Giả sử mỗi [M, Ni] là nửa chính quy và cho α ∈ [M, N].
Với i = 1,2, xét N πi ✲ Ni ιi ✲ N là các đồng cấu chính tắc và ta đặt αi = πiα ∈ [M, Ni]. Khi đó α = ι1α1 + ι2α2. Do α1 là nửa chính quy và theo Bổ đề 2.2.2 nên tồn tại φ2 = φ ∈ [N1, M]α1 ≤ EM sao cho α1 −α1φ ∈ J[M, N1]. Tương tự như vậy, ta có α2 −α2φ ∈ J[M, N2] là nửa chính quy, nên tồn tại γ2 = γ ∈ [N2, M](α2 −α2φ) ≤ EM sao cho (α2 −α2φ)− (α2 −α2φ)γ ∈ J[M, N2]. Khi đó α2(1M −η) ∈ J[M, N2], với η = φ + γ −φγ ∈ EM. Ta đặt η2 = η vì γφ = 0, theo Bổ đề 2.2.2 ta cần chỉ ra η ∈ [N, M]α và α(1M −η) ∈ J[M, N]. Ta có (1M −η) = (1M −φ)×(1M −γ) nên suy ra
α(1M −η) = (ι1α1 +ι2α2)(1M −η)
= ι1α1(1M −φ)(1M −γ) + ι2α2(1M −η).
Vìα1(1M−φ) ∈ J[M, N1]vàα2(1M−η) ∈ J[M, N2]nên theo Bổ đề 1.2.3, ta suy ra α(1M −η) ∈ J[M, N]. Cuối cùng để chứng minh η ∈ [N, M]α, ta đặt φ = β1α1 và γ = β2(α2 −α2φ) với βi ∈ [Ni, M], i = 1,2. Khi đó βiαi = βi(πiα) = (βiπi)α ∈ [N, M]α. Suy ra φ, γ ∈ [N, M]α với mọi i.
Vậy η ∈ [N, M]α.
Bổ đề 2.2.7 ([14, Bổ đề 20]). Cho α ∈ [M, N]. Giả sử α− αγ là nửa chính quy với mỗi γ2 = γ ∈ [N, M]α ≤EM. Khi đó α là nửa chính quy.
Chứng minh. Theo giả thiếtα−αγ là nửa chính quy, do đó từ Bổ đề 2.2.2 cho ta φ2 = φ ∈ [N, M](α−αγ) ≤EM sao cho (α−αγ)−(α−αγ)φ ∈ J[M, N]. Giả sử η = γ + φ −γφ. Do φγ = 0 và γ ∈ [N, M]α, nên ta có η2 = η ∈ [N, M]α. Mặt khác ta có α −αη = α −α(γ + φ −γφ) = (α−αγ)−(α−αγ)φ ∈ J[M, N]. Từ đây suy ra α là nửa chính quy theo Bổ đề 2.2.2.
Bổ đề 2.2.8 ([14, Bổ đề 21]). Gọi M và N là các môđun với M = M1 ⊕M2. Khi đó [M, N] là nửa chính quy khi và chỉ khi [Mi, N] là nửa chính quy với mọi i = 1,2.
Chứng minh. Giả sử [Mi, N] là nửa chính quy cho mỗi i = 1,2. Gọi α ∈ [M, N], ta chứng minh α là nửa chính quy. Cho i = 1,2, gọi M πi✲ Mi ιi ✲ M là các đồng cấu chính tắc, và viết αi = αιi ∈ [Mi, N]. Khi đó α = α1π1 + α2π2. Vì α1 là nửa chính quy, nên tồn tại β1 ∈ [N, M1] sao cho β1 = β1α1β1 và α1 − α1β1α1 ∈ J[M1, N]. Đặt η = ι1β1α. Khi đó η2 = η ∈ [N, M]α ≤ EM. Để chứng minh α là nửa chính quy, ta chứng minh α−αη là nửa chính quy theo Bổ đề 2.2.7.
Để thấy điều này ta viết φ = ι1β1α1π1 ∈ EM và γ = ι1β1α2π2 ∈ EM. Khi đó
φ+ γ = ι1β1α1π1 + ι1β1α2π2
= ι1β1(α1π1 +α2π2)
= ι1β1α = η.
Chúng ta có π2γ = 0 và π2φ = 0, nên
α−αη = (α1π1 +α2π2)−(α1π1 +α2π2)(φ +γ)
= (α1π1 −α1π1φ) + (α2π2 −α1π1γ).(∗) Phần thứ nhất trong (*) là trong J[M, N] theo Bổ đề 1.2.3 vì α1 −α1β1α1 ∈ J[M1, N]. Thật vậy,
α1π1 −α1π1φ = α1π1 −α1π1(ι1β1α1π1)
= (α1 −α1β1α1)π1 ∈ J[M, N].
Do đó để chứng minh α−αη là nửa chính quy, theo Hệ quả 2.2.4 ta cần chứng minh điều kiện thứ hai λ = α2π2 −α1π1γ trong (*) là nửa chính quy với λ ∈ [M, N].
Vì λι2 ∈ [M2, N] là nửa chính quy, nên tồn tại υ ∈ [N, M2] sao cho υ = υ(λι2)υ và (λι2)−(λι2)υ(λι2) ∈ J[M2, N]. Chúng ta viết ω = ι2υ ∈ [N, M]. Khi đó ω = ωλω, vì vậy chúng ta cần chứng minh λ −λωλ ∈
J[M, N]. Để có được điều này, trước hết ta xét γι2π2 = γ và do đó λ = λι2π2. Vì vậy
λ−λωλ = λι2π2 −λ(ι2υ)(λι2π2)
= (λι2 −λι2υλι2)π2 ∈ J[M, N]
theo Bổ đề 1.2.2 yêu cầu được chứng minh. Nên suy ra λ là nửa chính quy.
Định lý 2.2.9 ([14, Định lý 22]). Cho M = Lni=1Mi và N = Lmj=1Nj
là các môđun. Khi đó [M, N] là nửa chính quy khi và chỉ khi [Mi, Nj] là nửa chính quy với mọi i, j.
Chứng minh. Ta chứng minh điều kiện cần theo Bổ đề 2.2.5 và điều kiện đủ theo Bổ đề 2.2.6 và Bổ đề 2.2.8 bằng cách tổng quát i = 1,2, ..., n và j = 1,2, ..., m.
CHƯƠNG 3
CẤU TRÚC CỦA HomR(M, N ) VỚI ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY
Vấn đề chúng ta quan tâm trong chương này về ba cấu trúc của [M, N]: căn J[M, N] của môđun [M, N], môđun con suy biến △[M, N], môđun con đối suy biến ▽[M, N]. Trước hết ta đi vào các định nghĩa sau (xem [12] và [13]):
(C1) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M.
(C2) Mọi môđun con của M là đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của M thì cũng là hạng tử trực tiếp của M.
(GC2) Mọi môđun con của M là đẳng cấu với M thì cũng là hạng tử trực tiếp của M.
Một môđun M được gọi là liên tục (tương ứng, liên tục tổng quát) nếu M thỏa mãn (C1) và (C2) (tương ứng, (C1) và (GC2)).
Tương tự ta có định nghĩa sau
(D1) Cho môđun con A của M, khi đó tồn tại một hạng tử trực tiếp M1 của M sao cho M = M1 ⊕M2 và M1 ≤ A, A∩M2 ≪M2.
(D2) Cho mọi môđun con A của M mà M/A là đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của M, thì A là hạng tử trực tiếp của M.
(GD2) Cho mọi môđun con A của M mà M/A là đẳng cấu với M, thì A là hạng tử trực tiếp của M.
Một môđun M được gọi là rời rạc (tương ứng, rời rạc tổng quát) nếu M thỏa mãn (D1) và (D2) (tương ứng, (D1) và (GD2)).