TÍNH CHÍNH QUY VÀ NỬA QUY CỦA CÁC ĐỒNG CẤU
3.1 MỐI QUAN HỆ GIỮA CĂN VÀ MÔĐUN CON SUY
Vấn đề phần này, chúng ta mô tả các môđunM vàN màJ[M, N] =
△[M, N] và J[M, N] = ▽[M, N]. Trước hết chúng ta có bổ đề sau.
Bổ đề 3.1.1. Cho M và N là các môđun.
(1) Nếu M thỏa mãn (GC2) thì △[M, N] ⊂ J[M, N].
(2) Nếu N thỏa mãn (GD2) thì ▽[M, N] ⊂ J[M, N].
Chứng minh. (1) Cho α ∈ △[M, N]. Khi đó với mỗi f ∈ [N, M], ta có Ker(α)∩Ker(1M −f α) = 0.
Đặt γ := 1M −f α. Suy ra Ker(γ) = 0 hay γ là đơn cấu và γ(M) ∼= M. Vì M thỏa mãn điều kiện (GC2) nên ta có γ(M) ≤⊕ M. Mặt khác, Ker(α) ≤ γ(M) nên ta được γ(M) = M. Do đó γ là khả nghịch trong [M, M], nghĩa là α ∈ J[M, N]. Vậy △[M, N] ⊂J[M, N].
(2) Choβ ∈ ▽[M, N]vàf ∈ [N, M]. Khi đó Im(β)+Im(1N−βf) = N. Đặt η := 1N −βf. Vì Im(β) ≪N nên ta có Im(η) = N. Từ đây ta suy ra được N ∼= N/Ker(η). Vì N thỏa mãn điều kiện (GD2) nên Ker(η) là hạng tử trực tiếp của N. Hơn nữa Ker(η) ≤ Im(β) nên ta suy ra Ker(η) ≪ N. Do đó Ker(η) = 0. Bây giờ η là một đẳng cấu. Vậy β ∈ J[M, N].
Định lý sau đây là mở rộng của Định lý 1.2.5 của Nicholson và Zhou.
Định lý 3.1.2. Cho M và N là các môđun. Nếu M vừa là (GC2) vừa là N-nội xạ trực tiếp, thì các điều kiện sau là tương đương:
(1) [M, N] là nửa chính quy và △[M, N] = J[M, N].
(2) Ker(α) nằm dưới một hạng tử trực tiếp củaM với bất kỳ α ∈ [M, N].
Chứng minh. (1) ⇒ (2). Cho α ∈ [M, N]. Khi đó tồn tại β ∈ [N, M] sao cho β = βαβ và α − αβα ∈ J[M, N]. Đặt π = βα. Suy ra π2 = π ∈ [M, M], α(1M −π) ∈ J[M, N] và Ker(α) ≤ Ker(π) = (1M − π)(M).
Điều này có nghĩa là Ker[α(1M −π)]∩Ker(π) = Ker(α). Theo (1) ta có Ker(α) là cốt yếu trong Ker(π) mà Ker(π) = (1M −π)(M) ≤⊕ M, từ đây ta có (2).
(2) ⇒(1). Cho α ∈ [M, N]. Theo (2) tồn tại π2 = π ∈ [M, M] sao cho Ker(α) ≤e π(M) =Ker(1M −π).
Ta thấy α|(1M−π)(M) : (1M −π)(M) −→N là đơn cấu. Vì M là N-nội xạ trực tiếp nên tồn tại một đồng cấu γ : N −→ M sao cho γα = 1M −π.
Đặt β = (1M −π)γ. Ta có
βαβ = (1M −π)γα(1M −π)γ
= (1M −π)(1M −π)(1M −π)γ
= β và
Ker(α−αβα) =Ker(α)⊕(1M −π)(M) ≤e M.
Từ đây suy ra J[M, N] ⊂ △[M, N] và do đó △[M, N] = J[M, N] theo Bổ đề 3.1.1(1). Vậy α−αβα ∈ J[M, N].
Định lý sau đây là đối ngẫu với Định lý 3.1.2 và mở rộng Định lý 1.2.6 của Nicholson và Zhou.
Định lý 3.1.3. Cho M và N là các môđun. Nếu N vừa là (GD2) vừa là M-xạ ảnh trực tiếp, thì các điều kiện sau là tương đương:
(1) [M, N] là nửa chính quy và J[M, N] = ▽[M, N].
(2) Im(α) nằm trên một hạng tử trực tiếp của M với bất kỳ α ∈ [M, N].
Chứng minh. (1) ⇒ (2). Cho α ∈ [M, N]. Theo (1) tồn tại β ∈ [N, M] sao cho β = βαβ và α−αβα ∈ J[M, N]. Đặt π = αβ. Khi đó
π2 = π ∈ [N, N],(1N −π)α ∈ J[M, N] và π(N) ≤ α(M). Theo (2) ta có α(M)∩ (1N −π)(N) = (1N −π)α(M) ≪ N. Vậy α(M) nằm trên hạng tử trực tiếp π(N) của N.
(2) ⇒ (1). Cho α ∈ [M, N]. Theo (2) ta viết được N = P ⊕ K, với P ≤ α(M) và α(M) ∩ K ≪ K. Gọi π : N −→ N là đồng cấu sao cho π2 = π, π(N) = P và (1N −π)(N) = K. Khi đó πα : M −→ P là toàn cấu. Do N là M-xạ ảnh trực tiếp nên tồn tại một đồng cấu γ :N −→M sao cho παγ = π. Đặt β = γπ. Từ đó ta có βαβ = β và
(α −αβα)(M) = (1N −αβ)α(M)
= α(M)∩(1N −αβ)(N)
= α(M)∩K ≪N.
Vì vậy J[M, N] ⊂ ▽[M, N] và do đó J[M, N] = ▽[M, N] theo Bổ đề 3.1.1 (2). Do đó ta suy ra α −αβα ∈ J[M, N].
Định lý 3.1.4. Cho M và N là các môđun. Giả sử M vừa là liên tục tổng quát vừa là N-nội xạ trực tiếp. Khi đó [M, N] là nửa chính quy và J[M, N] = △[M, N].
Chứng minh. Theo Bổ đề 3.1.1 (1), ta có △[M, N] ⊂J[M, N]. Cho α ∈ [M, N]. Khi đó ta có α − αβα = α(1M −βα) ∈ △[M, N] và 1M −βα là một đẳng cấu. Từ đây suy ra α ∈ △[M, N] nên J[M, N]⊂ △[M, N].
Do đó △[M, N] = J[M, N]. Hơn thế nữa, do M thỏa mãn (C1), nên M có phân tích M = P ⊕ Q sao cho Ker(α) ≤e P và Q ≤ M. Suy ra α|Q : Q−→ N là một đơn cấu. Mặt khác do M là N-nội xạ trực tiếp nên ta có thể suy raα(Q) là hạng tử trực tiếp của N. Khi đó N = α(Q)⊕W với W ≤ N. Xét p : N −→ α(Q) là phép chiếu chính tắc, ι : Q −→ M là đơn cấu chính tắc và β = ι(α|Q)−1p. Với mỗi n ∈ N, ta có thể viết n= α(q) +ω với q ∈ Q, ω ∈ W. Bây giờ ta suy ra
β(n) = (ι(α|Q)−1)(α)(q) = q
và
(βαβ)(n) = (ι(α|Q)−1pαι(α|Q)−1p)(n)
= (ι(α|Q)−1pαι(α|Q)−1)(α)(q)
= (ι(α|Q)−1pα)(q)
= (ι(α|Q)−1α)(q) = q = β(n).
Ta thấy Ker(α) ≤ Ker(α −αβα) và Q ≤Ker(α−αβα). Khi đó Ker(α)⊕Q≤ Ker(α−αβα).
Do Ker(α)⊕Q ≤e P ⊕Q = M, nên ta suy ra Ker(α−αβα) là cốt yếu trong M, tức là α −αβα ∈ △[M, N]. Vậy [M, N] là nửa chính quy.
Trường hợp M = N trong Định lý 3.1.4 ta có hệ quả sau.
Hệ quả 3.1.5 ([13, Định lý 1.25]). Cho M là môđun liên tục. Khi đó EM là nửa chính quy và J(EM) ={α ∈ S = End(M)|Ker(α) ≤e M}.
Định lý sau đây đối ngẫu của Định lý 3.1.4.
Định lý 3.1.6. Cho M và N là các môđun. Giả sử N vừa là rời rạc tổng quát vừa là M-xạ ảnh trực tiếp. Khi đó [M, N] là nửa chính quy và J[M, N] = ▽[M, N].
Chứng minh. Theo Bổ đề 3.1.1 (2), ta có ▽[M, N] ⊂J[M, N]. Cho mỗi α ∈ [M, N]. Do N thỏa mãn (D1), nên tồn tại N = N1 ⊕N2 với N1 ≤ Im(α) và N2∩Im(α) ≪ N. Do đó với mỗi m ∈ M, ta có α(m) =n1+x với n1 ∈ N1, x ∈ N2 ∩ Im(α). Ta xét ϕ : M/α−1(N2) −→ N1 được xác định bởi ϕ(m + α−1(N2)) = n1. Khi đó ϕ là một đẳng cấu. Do N là M-xạ ảnh trực tiếp, nên α−1(N2) là hạng tử trực tiếp của M. Do đó ta có thể giả sử M = α−1(N2) ⊕ H với H ≤ M. Khi đó, với mọi m ∈ M, ta có m = x + y với x ∈ α−1(N2), y ∈ H. Bây giờ ta xét đơn cấu ι : M/α−1(N2) −→ M được xác định bởi ι(m+ α−1(N2)) = y. Gọi p: N −→ N1 là phép chiếu chính tắc và β = ιϕ−1p. Từ đây suy ra
βαβ = ιϕ−1pαιϕ−1p = ια−1αιϕ−1p= ι2ϕ−1p= β
và Im(α −αβα) ≤ Im(α) ∩ N2. Do đó ta được α −αβα ∈ ▽[M, N].
Suy ra J[M, N] ⊂ ▽[M, N]. Vậy [M, N] là nửa chính quy và ▽[M, N] = J[M, N].
Với M = N, ta có hệ quả sau đây.
Hệ quả 3.1.7 ([12, Định lý 5.4]). Nếu M là một môđun rời rạc, thì EM là nửa chính quy và J(EM) ={α ∈ S = End(M)|Im(α) ≪ M}.
Hệ quả 3.1.5 và Hệ quả 3.1.7 được chứng minh trong hai định lý tiếp theo. Trước hết ta có bổ đề sau.
Bổ đề 3.1.8. Cho M và N là các môđun.
(1) Nếu M thỏa mãn (GC2) và N-nội xạ thì △[M, N] = J[M, N].
(2) Nếu N thỏa mãn (GD2) và M-xạ ảnh thì ▽[M, N] = J[M, N].
Chứng minh. (1) Theo Bổ đề 3.1.1 (1), ta có△[M, N] ⊂ J[M, N]. Ngược lại, với α ∈ J[M, N], ta giả sử Ker(α) ∩ X = 0, với X ≤ M. Cho ι : X −→ M là đơn cấu chính tắc. Khi đó αι : X −→ N là một đơn cấu. Do M là N-nội xạ nên tồn tại một đồng cấu β : N −→ M sao cho βαι = ι. Vậy (1M −βα)ι = 0. Bây giờ ta có ι = 0 vì α ∈ J[M, N]. Do đó X = 0.
(2) Theo Bổ đề 3.1.1 (2), ta có ▽[M, N] ⊂ J[M, N]. Ngược lại, với α ∈ J[M, N] và N = Im(α) + X với X ≤ N. Gọi p : N −→ N/X là toàn cấu chính tắc. Khi đó pα : M −→ N/X là một toàn cấu. Vì N là M-xạ ảnh nên tồn tại một đồng cấu β : N −→ M sao cho pαβ = p. Do đó p(1N −αβ) = 0. Bây giờ ta có p = 0 vì α ∈ J[M, N]. Suy ra X = N, nghĩa là Im(α) ≪N. Vậy α ∈ ▽[M, N].
Định lý 3.1.9. Cho M và N là các môđun. Nếu M vừa là (GC2) vừa là N-nội xạ, khi đó các điều kiện sau là tương đương:
(1) [M, N] là nửa chính quy.
(2) Ker(α) nằm dưới một hạng tử trực tiếp của M với mọi α ∈ [M, N].
Chứng minh. (1) ⇒ (2). Cho α ∈ [M, N]. Khi đó tồn tại β ∈ [N, M] sao cho β = βαβ và α − αβα ∈ J[M, N]. Đặt π = βα. Suy ra π2 = π ∈ [M, M], α(1M −π) ∈ J[M, N] và Ker(α) ≤ Ker(π) = (1M − π)(M).
Điều này có nghĩa là Ker[α(1M −π)]∩Ker(π) = Ker(α). Theo (1) ta có Ker(α) là cốt yếu trong Ker(π) mà Ker(π) = (1M −π)(M) ≤⊕ M, từ đây ta có (2).
(2) ⇒ (1). Cho α ∈ [M, N]. Theo (2) tồn tại π2 = π ∈ [M, N] sao cho Ker(α) ≤e π(M) = Ker(1M − π). Ta nhận thấy α|(1M−π)(M) : (1M − π)(M) −→ N là một đơn cấu. Do M là N-nội xạ nên tồn tại một đồng cấu γ :N −→ M sao cho γα = 1M −π. Đặt β = (1M −π)γ. Khi đó
βαβ = (1M −π)γα(1M −π)γ
= (1M −π)(1M −π)(1M −π)γ
= β
và Ker(α −αβα) = Ker(α)⊕(1M −π)(M) ≤e M. Suy ra α−αβα ∈
△[M, N]. Vì M là (GC2) và là N-nội xạ nên theo Bổ đề 3.1.8(1), ta có được α−αβα ∈ J[M, N], (1) được chứng minh.
Hệ quả 3.1.10. Cho M và N là các môđun. Nếu M là nội xạ thì [M, N] là nửa chính quy và J[M, N] = △[M, N].
Định lý sau đây là đối ngẫu của Định lý 3.1.9
Định lý 3.1.11. Cho M và N là các môđun. Nếu N vừa là (GD2) vừa là M-xạ ảnh, thì những điều kiện sau là tương đương:
(1) [M, N] là nửa chính quy.
(2) Im(α) nằm trên một hạng tử trực tiếp của M với mọi α ∈ [M, N].
Chứng minh. (1) ⇒ (2). Cho α ∈ [M, N]. Vì [M, N] là nửa chính quy nên tồn tại β ∈ [N, M] sao cho β = βαβ và α − αβα ∈ J[M, N]. Đặt
π = αβ. Khi đóπ2 = π ∈ [N, N],(1N−π)α ∈ J[M, N]và π(N) ≤α(M).
Theo (2) ta có α(M)∩(1N−π)(N) = (1N−π)α(M) ≪N. Suy ra α(M) nằm trên hạng tử trực tiếp π(N) của N.
(2) ⇒ (1). Cho α ∈ [M, N]. Theo (2) ta viết được N = P ⊕ K, với P ≤ α(M) và α(M) ∩ K ≪ K. Gọi π : N −→ N là đồng cấu sao cho π2 = π, π(N) = P và (1N −π)(N) = K. Khi đó πα : M −→ P là toàn cấu. Do N là M-xạ ảnh nên tồn tại một đồng cấu γ :N −→M sao cho παγ = π. Đặt β = γπ. Từ đó ta có βαβ = β và
(α −αβα)(M) = (1N −αβ)α(M)
= α(M)∩(1N −αβ)(N)
= α(M)∩K ≪N.
Suy ra α−αβα ∈ ▽[M, N]. Vì N là (GD2) và là M-xạ ảnh nên theo Bổ đề 3.1.8 (2), ta suy ra α−αβα ∈ J[M, N] và (1) được chứng minh.
Định lý sau đây mở rộng Định lý 1.2.9 của Nicholson và Yousif.
Định lý 3.1.12. Cho M và N là các môđun. Nếu N là xạ ảnh, khi đó những điều kiện sau là tương đương:
(1) [M, N] là nửa chính quy.
(2) N/K có phủ xạ ảnh với mỗi môđun con M-sinh hữu hạn K của N. Chứng minh. (1) ⇒ (2). Cho K là một môđun con M-sinh hữu hạn của N. Khi đó tồn tại một số nguyên k và một toàn cấu α : Mk −→ N sao cho Im(α) = K. Do [M, N] là nửa chính quy, nên [Mk, N] cũng là nửa chính quy theo Bổ đề 2.1.4. Do đó N = P⊕Qvới P ≤K vàK∩Q ≪Q theo Định lý 3.1.3. Vậy N/K có phủ xạ ảnh.
(2) ⇒ (1). Cho α ∈ [M, N]. Khi đó Im(α) là một môđun con M-sinh hữu hạn của N. Theo (2), N/Im(α) có một phủ xạ ảnh. Theo Bổ đề 1.2.8 ta có N = P ⊕Q với P ≤ α(M) và α(M)∩ Q ≪ Q. Nên suy ra α(M) nằm trên hạng tử trực tiếp của M với α ∈ [M, N]. Vậy [M, N] là nửa chính quy theo Định lý 3.1.3.
Theo Tutuncu và Tribak [14], môđun M được gọi là T-đối suy biến tương đối với N nếu với mỗi đồng cấu khác không f : M −→ N, f /∈ ▽[M, N].
Bổ đề 3.1.13. Cho M và N là các môđun. Nếu [M, N] là chính quy thì M là T-đối suy biến tương đối với N.
Chứng minh. Giả sử [M, N] là chính quy. Gọi f ∈ [M, N] sao cho f ∈
▽[M, N]. Khi đó tồn tại g ∈ [N, M] sao cho f = f gf. Do đó f g(M) là một hạng tử trực tiếp của N. Ta thấy f g(N) ≤ f(M) và f(M) ≪ N. Khi đó f g(N) ≪ N. Điều này có nghĩa là f g = 0 và vậy f = 0.
Định lý 3.1.14. Giả sử môđun M là T-đối suy biến tương đối với môđun N. Nếu N là rời rạc tổng quát và là môđun M-xạ ảnh trực tiếp, thì [M, N] là chính quy.
Chứng minh. Định lý được chứng minh theo Bổ đề 3.1.13 và Định lý 3.1.6.