TÍNH CHÍNH QUY VÀ NỬA QUY CỦA CÁC ĐỒNG CẤU
3.2 ĐỒNG CẤU I-CHÍNH QUY
Cho M và N là các môđun và I là EM − EN song môđun của [M, N]. [M, N] được gọi là I-chính quy nếu với mỗi f ∈ [M, N] thì tồn tại g ∈ [N, M] sao cho f gf −f ∈ I.
Trong [7], cho X ≤[M, N], Ker(X) = T{Ker(g)|g ∈ X} được gọi là môđun con M-linh hóa tử của M.
Định lý 3.2.1. Cho M và N là các môđun. Nếu M là N-nội xạ và M thỏa mãn ACC trên môđun con M-linh hóa tử của M, thì [M, N] là
△[M, N]-chính quy.
Chứng minh. Cho mỗi α ∈ [M, N] với α /∈ △[M, N]. Chúng ta cần chỉ ra tồn tại β ∈ [N, M] sao cho α − αβα ∈ △[M, N]. Giả sử tồn tại
m ∈ M, m 6= 0 sao cho Ker(α) ∩mR = 0. Khi đó α|mR : mR −→ N là đơn cấu. Gọi ι : mR −→ M là đơn cấu chính tắc. Do M là N-nội xạ, nên tồn tạiγ ∈ [N, M] sao cho γα = ι. Khi đó Ker(α) < Ker(α−αγα).
Nếu α−αγα ∈ △[M, N], ta đã chứng minh.
Nếu α −αγα /∈ △[M, N], thì đặt α1 = α − αγα. Khi đó tồn tại γ1 ∈ [N, M]sao choKer(α1) < Ker(α1−α1γ1α1). Nếuα1−α1γ1α1 ∈ △[M, N] thì α1 là △[M, N]-chính quy nên α là △[M, N]-chính quy theo Bổ đề 1.2.7. Lặp lại quá trình trên, ta nhận được một dãy tăng ngặt
Ker(α) < Ker(α1) < ... < Ker(αn)...,
vớiαi+1 = αi−αiγiαi vàγi ∈ [N, M], điều này mâu thuẫn và do đó có một số k sao cho αk là △[M, N]-chính quy. Từ đây suy ra αk−1, αk−2, ..., α1 là
△[M, N]-chính quy theo Bổ đề 1.2.7. Vậy α là △[M, N]-chính quy.
Định lý sau đây là đối ngẫu của Định lý 3.2.1.
Định lý 3.2.2. Cho M và N là các môđun. Nếu N là M-xạ ảnh và N thỏa mãn DCC trên {Im(α)|α ∈ [M, N]}, thì [M, N] là ▽[M, N]-chính quy.
Chứng minh. Với mỗi α ∈ [M, N], α /∈ ▽[M, N]. Chúng ta cần chỉ ra tồn tại β ∈ [N, M] sao cho α −αβα ∈ ▽[M, N]. Giả sử tồn tại A ≤ M sao cho Im(α) +A = N. Gọi π : N −→ N/A là phép chiếu chính tắc.
Từ đây ta suy ra πα : M −→ N/A là toàn cấu. Do N là M-xạ ảnh, nên tồn tại một đồng cấu γ ∈ [N, M] sao cho παγ = π. Vì Im(α) 6= A, nên ta có Im(α) > Im(α−αγα).
Nếu α−αγα ∈ ▽[M, N], ta đã chứng minh.
Nếu α −αγα /∈ ▽[M, N], thì đặt α1 = α − αγα. Khi đó tồn tại γ1 ∈ [N, M] sao cho Im(α1) > (α1−α1γ1α1). Nếu α1−α1γ1α1 ∈ ▽[M, N] thì α1 là ▽[M, N]-chính quy nên α là ▽[M, N]-chính quy theo Bổ đề 1.2.7.
Lặp lại quá trình trên, ta nhận được một dãy giảm ngặt Im(α) > Im(α1) > ....Im(αn)...,
với αi+1 = αi −αiγiαi và γi ∈ [N, M]. Điều này mâu thuẫn và do đó có một sốk sao choαklà ▽[M, N]-chính quy. Từ đây suy raαk−1, αk−2, ..., α1
là▽[M, N]-chính quy theo Bổ đề 1.2.7. Vậyα là ▽[M, N]-chính quy.
Bổ đề 3.2.3. Cho M và N là các môđun. Nếu a ∈ [M, N], b ∈ [N, M] và c = 1N −ab, thì các điều kiện sau được thỏa mãn.
(1) [M, N] = aEM +c[M, N].
(2) aEM ∩ c[M, N] = caEM.
Chứng minh. (1) Với f ∈ [M, N]. Do 1N = ab+c, nên ta có f = abf +cf ∈ aEM + c[M, N].
(2) Cho α ∈ aEM ∩ c[M, N]. Khi đó α = as = ct với s ∈ EM và t ∈ [M, N] nào đó. Từ đây suy ra t = a(s +bt) nên α ∈ caEM. Ngược lại, cho bất kỳ β = cav ∈ caEM với v ∈ EM. Khi đó β ∈ c[M, N] và β = a(1M −ba)v ∈ aEM. Do đó β ∈ aEM ∩c[M, N].
Mệnh đề 3.2.4. Cho M và N là các môđun. Giả sử 1N ∈ [M, N][N, M].
Khi đó những điều kiện sau là tương đương:
(1) [M, N] là J[M, N]-chính quy.
(2) Với bất kỳ f ∈ [M, N], thì tồn tại A≤ [M, N]EM sao cho [M, N] = f EM +A và f EM ∩A≤ J[M, N].
Chứng minh. (1) ⇒ (2). Cho f ∈ [M, N] \J[M, N]. Theo (1), tồn tại g ∈ [N, M] sao cho f − f gf ∈ J[M, N]. Đặt h = 1N − f g. Khi đó [M, N] = f EM + h[M, N] và f EM ∩ h[M, N] = f hEM ≤ J[M, N] theo Bổ đề 3.2.3. Vậy (2) được chứng minh.
(2) ⇒ (1). Cho bất kỳ f ∈ [M, N], thì tồn tại A ≤ [M, N]EM sao cho [M, N] = f EM+Avàf EM∩A ≤ J[M, N]. Do1N ∈ [M, N][N, M],1N = f g+ah với mọi g, h ∈ [N, M] vàa ∈ A. Từ đây suy ra f−f gf = ahf và ahf EM = f EM ∩ah[M, N]≤ f EM ∩A theo Bổ đề 3.2.3. Vậy f −f gf ∈ J[M, N].
Cho M = N, những điều ở trên cho ta hệ quả sau đây.
Hệ quả 3.2.5. Cho M là môđun với S = End(M). Những điều kiện sau là tương đương:
(1) S/J(S) là chính quy.
(2) Với bất kỳ s ∈ S, thì tồn tại I ≤ SS sao cho S = sS +I và sS ∩I ≤ J(S).
Cho M và N là các môđun. Ta sử dụng các kí hiệu sau đây.
r.U(EN) = {t∈ EN|∃t′ ∈ EN, tt′ = 1N} l.U(EN) = {t∈ EN|∃t′ ∈ EN, t′t = 1N} r.U(EM) = {s ∈ EM|∃s′ ∈ EM, ss′ = 1M} l.U(EM) = {s ∈ EM|∃s′ ∈ EM, s′s = 1M}.
Bổ đề 3.2.6. Cho M và N là các môđun. Giả sử f ∈ [M, N] và g ∈ [N, M], khi đó những điều kiện sau là tương đương:
(1) f EM = (f −f gf)EM (hay ENf = EN(f −f gf)).
(2) 1N −f g ∈ r.U(EN) (hay 1N −f g ∈ l.U(EN)).
(3) 1M −gf ∈ r.U(EM) (hay 1M −gf ∈ l.U(EM)).
Chứng minh. (1) ⇒ (2). Giả sử f EM = (f − f gf)EM. Khi đó ta có f = (f −f gf)s cho s ∈ EM nào đó. Bây giờ, ta có thể có được
1N = (1N −f g) +f g
= (1N −f g) + (f −f gf)sg
= (1N −f g) + (1N −f g)f sg
= (1N −f g)(1N +f sg).
(2) ⇒(3). Theo (2), ta có 1N = (1N −f g)t với mọi t ∈ EN. Khi đó 1M = (1M −gf) +gf
= (1M −gf) +g(1N −f g)tf
= (1M −gf) + (1M −gf)gtf
= (1M −gf)(1M +gtf).
(3) ⇒ (1). Theo (3), ta có (1M −gf)s = 1M và do đó (f −f gf)s = f . Từ đây suy ra f EM = (f −f gf)EM.
Định lý 3.2.7. Những điều kiện sau là tương đương đối với các môđun M và N:
(1) Dãy
f0EM ≥f1EM ≥... ≥ fnEM ≥ ...
ENf0 ≥ ENf1 ≥ ... ≥ENfn ≥ ...
là dừng, với mỗi gi ∈ [N, M], fi ∈ [M, N] và fi+1 = fi −figifi. (2) Với mỗi gi ∈ [N, M] và fi ∈ [M, N], đặt fi+1 = fi −figifi. Khi đó
ta có dãy
(a) Im(f0) ≥Im(f1) ≥... ≥ Im(fn) ≥...;
(b) Ker(f0) ≤ Ker(f1) ≤ ... ≤Ker(fn) ≤ ...
là dừng.
Trong trường hợp này [M, N] là J[M, N]-chính quy.
Chứng minh. (1) ⇒ (2). Theo giả thiết, tồn tại một số nguyên m sao cho fnEM = fn+1EM và ENfn = ENfn+1 với n > m. Do đó, với mỗi n > m, fnEM = (fn −fngnfn)EM và ENfn = EN(fn −fngnfn). Vì vậy theo Bổ đề 3.2.6, ta được 1M −gnfn ∈ U(EM). Từ đây ta suy ra được 1M −gnfn là một đẳng cấu. Do đó
fn+1(M) = (fn−fngnfn)(M) =fn(1M −gnfn)(M) = fn(M).
Mặt khác, Ker(fn+1) = Ker(fn)⊕Ker(1M −gnfn) =Ker(fn).
(2) ⇒ (1). Theo giả thiết, tồn tại một số nguyên m sao cho với mọi n > m thì fn+1(M) = fn(M) và Ker(fn+1) = Ker(fn). Khi đó ta có Ker(fn+1) = Ker(fn)⊕Ker(1M −gnfn) = Ker(fn) với mỗi n > m, và do đó Ker(1M −gnfn) = 0. Từ đây ta chỉ ra được Ker(1N −fngn) = 0.
Thật vậy, với mỗi x ∈ Ker(1N − fngn), ta có (1N − fngn)(x) = 0 hay x = fngn(x). Suy ra gn(x) = gnfngn(x) hay (1M −gnfn)(gn(x)) = 0. Từ đây ta có gn(x) = 0 vì Ker(1M −fngn) = 0. Vậy x = 0. Bây giờ ta có fn+1(M) = (fn−fngnfn)(M) = fn(M)và do đófn(M) ≤ (1N−fngn)(N).
Với mỗi x ∈ N, thì tồn tại y ∈ N sao cho fngn(x) = (1N −fngn)(y). Từ đây suy ra
x = (1N −fngn)(x) + (fngn)(x)
= (1N −fngn)(x) + (1N −fngn)(y)
= (1N −fngn)(x+y) ∈ (1N −fngn)(N).
Do đó (1N −fngn) là một toàn cấu và suy ra nó cũng là một đẳng cấu.
Vậy, theo Bổ đề 3.2.6, ta có (1).
Cuối cùng, ta chỉ ra [M, N] là J[M, N]-chính quy. Với f ∈ [M, N] và f /∈ J[M, N]. Khi đó tồn tại g ∈ [N, M] sao cho 1M −gf /∈ r.U(EM).
Do đó, theo Bổ đề 3.2.6, ta được f EM > (f − f gf)EM. Lặp lại quá trình chứng minh trong Định lý 3.2.1, thì tồn tại g0 ∈ [N, M] sao cho f − f g0f ∈ J[M, N]. Suy ra f là J[M, N]-chính quy hay [M, N] là J[M, N]-chính quy.
Cho M = N, ở Định lý 3.2.7 ta có hệ quả sau đây.
Hệ quả 3.2.8. Cho N là môđun. Cho mỗi fi ∈ Hom(N, RR), n0 ∈ N, ni+1 = ni −nifi(ni), nếu mỗi dãy n0R ≥ n1R ≥ ... ≥ nkR ≥ ... trên các môđun con của NR là dừng, thì những điều kiện sau là tương đương:
(1) Với mỗi fi ∈ Hom(N, RR), n0 ∈ N, ni+1 = ni−nifi(ni), dãy ENn0 ≥ ENn1 ≥... ≥ ENnk ≥ ...
các EN-môđun con của N là dừng.
(2) Với mỗi fi ∈ N∗, n0 ∈ N, ni+1 = ni −nifi(ni), dãy
r(n0) ≤ r(n1) ≤ ...≤ r(nk) ≤ ...
các linh hóa tử là dừng.
Ta nhận thấy nếu EM hay EN không chứa tập vô hạn các phần tử lũy đẳng trực giao thì r.U(EM) =l.U(EM) và r.U(EN) = l.U(EN).
Hệ quả 3.2.9. Cho M và N là các môđun, với T = End(N) và S = End(M). Giả sử EM hay EN không chứa tập vô hạn các phần tử lũy đẳng trực giao. Khi đó những điều kiện sau là tương đương:
(1) Với mỗi gi ∈ [N, M], f0 ∈ [M, N], fi+1 = fi−figifi, dãy f0EM ≥f1EM ≥... ≥ fnEM ≥ ...
là dừng.
(2) Với mỗi gi ∈ [N, M], f0 ∈ [M, N], fi+1 = fi−figifi, dãy ENf0 ≥ ENf1 ≥ ... ≥ENfn ≥ ...
là dừng.
(3) Với mỗi gi ∈ [N, M], f0 ∈ [M, N], fi+1 = fi−figifi, thì các dãy sau đây:
(a) Im(f0) ≥Im(f1) ≥... ≥ Im(fn) ≥...;
(b) Ker(f0) ≤ Ker(f1) ≤ ... ≤Ker(fn) ≤ ...
là dừng.