CHƯƠNG 2. ĐỊNH VỊ ELLIPSOID THỰC DỤNG VÀ THIẾT LẬP DỮ LIỆU GỐC TRẮC ĐỊA QUỐC GIA
2.2 Các phương pháp tính toán lựa chọn Ellipsoit thực dụng
2.2.3 Phương pháp dựa vào các điểm GPS đã biết độ cao thủy chuẩn
Theo điều kiện (2.8), hàm mục tiêu của bài toán định vị là tìm cực tiểu của hàm:
Ф = 2( )
1
, ,
k i i
dX dY dZ z
ồ= = min (2.14) Trong đó: dX, dY, dZ là tọa độ tâm dịch tâm của Ellipsoid quy chiếu so với Ellipsoid WGS – 84
ζi = Hi + hi, với Hi là độ cao trắc địa xác định bằng GPS tính trong hệ WGS-84, hi là độ cao thủy chuẩn xác định bằng đo cao hình học.
Theo điều kiện (2.8), Ellipsoid quy chiếu sau định vị có các trục song song với trục của Ellipsoid WGS-84 ( tức là các góc Euler bằng 0). Bài toán định vị này có thể giải theo hai phương pháp là :
- Phương pháp tuyến tính: sử dụng công thức vi phân của tọa độ trắc địa (B, L, H) theo tọa độ vuông góc không gian (X,Y,Z) để xác định hàm ζ (dX, dY, dZ).
- Phương pháp phi tuyến: sử dụng trường vô hướng để xác định hàm ζ (dX, dY, dZ).
a. Phương pháp tuyến tính:
Thuận toán tuyến tính là thuật toán dựa vào việc khai triển tuyến tính hàm Φ theo các ẩn số để lập được phương trình số hiệu chỉnh của ζ. Trên cơ sở công thức (2.5) có thể lập công thức của ΔX, ΔY, ΔZ theo ΔB, ΔL, ΔH, Δa, Δf từ đó tìm được công thức vi phân của ΔB, ΔL, ΔH theo ΔX, ΔY, ΔZ,Δa, Δf.
Sau đây ta sẽ xét bài toán định vị Ellipsoid cụ thể ở Việt Nam Công thức ΔH có dạng:
.W2
cos .cos . cos .sin . sin . W. .
1
H B L dX B L dY B dZ da M df
D = + + - + f
-
trong đó: W= 1-e2.sin2B ; M a= .(1-e2) / W3
Từ đó có thể viết được phương trình số hiệu chỉnh của ζ đối với bài toán định vị Ellipsoid WGS – 84 phù hợp với lãnh thổ Việt Nam như sau:
ζi = cosBicosLidX + cosBisinLidY + sinBidZ – Wda + .W2
1 M
- f df + (H i84 – hi) (2.15) Nếu chọn Ellipsoid WGS-84 làm Ellipsoid quy chiếu thì da = 0, df = 0
khi đó phương trình có dạng :
ζi = cosBicosLidX + cosBisinLidY + sinBidZ + (Hi84 – hi) (2.16)
Đối với các quốc gia có diện tích lãnh thổ không lớn thì giải pháp sử dụng một Ellipsoid đã có hình dạng và kích thước để định vị phù hợp với lãnh thổ để xây dựng một hệ quy chiếu Quốc gia là một giải pháp hợp lý. Trong trường hợp này chúng ta chỉ còn xác định 3 ẩn số là dX, dY, dZ.
Để xác định ba ẩn số dX, dY, dZ theo điều kiện bình phương nhỏ nhất [ζζ]=min ta coi phương trình (2.16) như các phương trình số hiệu chỉnh trong bài toán bình sai gián tiếp. Ba ẩn số dX, dY, dZ hoàn toàn xác định được nếu số lượng điểm định vị (k) lớn hơn 3.
Các phương trình (2.16) có thể viết dưới dạng ma trận như sau:
ζ = AX + L (2.17) trong đó:
ζ =
1 2
...
k
z z z é ùê ú ê úê ú ờ ỳở ỷ
; A =
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
cos cos cos sin sin
cos cos cos sin sin
... ... ...
cos kcos k cos ksin k sin k
B L B L B
B L B L B
B L B L B
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ở ỷ
; L =
1 1
2 2
...
k k
H h H h
H h
é - ù
ê - ú
ê ú
ê ú
ê - ú
ở ỷ
; X =
dX dY dZ é ù ê ú ê ú ê ú ở ỷ
Khi tính toán véc tơ ma trận A và và véc tơ số hạng tự do L ta dùng tọa độ trắc địa Bi , Li và độ cao Hi xác định trong hệ WGS-84. Độ cao hi trong ma trận L chính là độ cao thủy chuẩn của điểm GPS được xác định bằng đo cao hình học.
Từ các phương trình số hiệu chỉnh ta lập hệ phương trình chuẩn:
ATA.X+AT.L = 0 (2.18) Coi các phương trình (2.17) có cùng độ chính xác (p= 1). Giải hệ phương trình chuẩn ta được véc tơ ẩn số:
X = - (ATA)-1 ATL (2.19) Sau khi có véc tơ ẩn số X ta thay vào (2.17) để nhận được độ cao Geoid (dị thường độ cao) của các điểm định vị từ đó tính ra tọa độ vuông góc không gian địa tâm của các điểm định vị. Sau đó ta dùng công thức tính chuyển tọa độ các điểm định vị về tọa độ trắc địa (B, L, H).
Theo phương pháp định vị sử dụng lưới GPS-TC, các điểm định vị đều có vao trò như nhau vì thế có thể chọn bất kì điểm nào trong số các điểm định vị làm điểm gốc của hệ tọa độ quốc gia. Để mức độ lan truyền sai số tương đối đồng đều về các phía thì nên chọn điểm gốc ở trung tâm mạng lưới GPS- TC đã sử dụng để định vị Ellipsoid thực dụng.
b. Phương pháp phi tuyến:
Trong nhiều nghiên cứu cho thấy độ phi tuyến của hàm mục tiêu (2.14) quá lớn vì vậy nên chọn thuật toán phi tuyến để giải quyết bài toán định vị hệ quy chiếu có thể sẽ cho một kết quả tốt hơn [5]
Xét trường thế ellipsoid:
E=X2+Y2+(1+e’2).Z2 (2.20) trong đó e’ là tâm sai thứ 2 của ellipsoid.
Trên cơ sở dE = || grad E ||.dH, có thể chứng minh được khoảng cách giữa 2 mặt đẳng thế E1 = a12 và E2 = a22 được tính theo công thức:
∆H1,2=
( )
2
1
'2 '2 2
2 . 1 1 . /
E
E
dE
E +e +e Z E
ò (2.21) Từ đây suy ra:
∆H1,2=
(2 )1
'2 '2 2
1 1 . /
E E
e e Z E
-
+ + (2.22) Hoặc:
∆H1,2 = K( ) (2.23) trong đó: K = 1 '2.(1 '2). 2 -1/2
þý ü ợớ
ì + +
F e Z
e (2.24) Xét mặt đẳng thế E1 = a2 trong đó a là bán trục lớn của Ellipsoid thì mặt đẳng thế này trùng với mặt đẳng thế Ellipsoid quy chiếu. Từ đây suy ra công thức tính độ cao trắc địa của 1 điểm bất kỳ (X,Y,Z) là:
H = K( E– a) (2.25) Gọi tọa độ tâm ellipsoid quy chiếu sau định vị là (∆xo,∆yo,∆zo), có thể tính dị thường độ cao sau định vị theo công thức:
ζ = K( E – a ) – h. (2.26) trong đó: E = ( X + ∆xo)2 + ( Y+ ∆yo)2 + (1 + e’2)(Z + ∆Zo)2
K = 1 '2.(1 '2). 2 -1/2
þý ü ợớ
ì + +
F e Z e
h là độ cao thủy chuẩn
Như vậy có thể thiết lập hàm mục tiêu của bài toán định vị như sau:
Ф = 2
1 k
i i
z
ồ= = { ( ) }2
1
.
k
i i i
i
K E a h
=
- -
ồ = min (2.27) Để giải bài toán cực tiểu hàm mục tiêu Ф có thể sử dụng thuật toán lặp của Gauss như sau:
ro(k+1) = ro(k) - HФ(k). gradФ(ro(k)) (2.28) trong đó: ro = [ ∆xo ∆yo ∆zo ]T
(k) là chỉ số bước lặp thứ k
HФ là ma trận Hessian của hàm Ф, tức làHF = ả F ả2 / r2
gradФ là vộc tơ gradient của làm Ф tức gradF = ảF ả/ r. Có thể chứng minh thuật toán (2.22) là hội tụ sau hữu hạn bước lặp nếu các điểm cơ sở định vị không trùng nhau.
Trong quá trình trình bày thuật toán phi tuyến nói trên chúng ta đã có giả thiết là ellipsoid đang sử dụng và Ellipsoid cần định vị có kích thước trùng nhau. Nếu kích thước 2 Ellipsoid này không trùng nhau thì chỉ cần làm phép chuyển đổi lại tọa độ.