Việc tìm lời giải của bài toán QHPT là đối tợng nghiên cứu của rất nhiều lĩnh vực khác nhau. Hiện đã có rất nhiều công trình nghiên cứu về cách giải bài toán quy hoạch phi tuyến. Đó là vì bài toán QHPT là mô hình đầy đủ của hầu các đối tợng cần đợc tối u hóa. Tuy nhiên cho đến nay, cha có một phơng pháp gải chung nào đáp ứng đợc các yêu cầu xác định lời giải tối u hóa toàn cục, đủ độ tin cậy, với độ chính xác mong muốn. Vì lẽ đó không tồn tại những chơng trình máy tính ứng dụng đa chức năng cho phép tìm lời giải tối u của bài toán QHPT nh đã có đối với bài toán QHTT. Đối với các dạng riêng của bài toán QHPT nh: Quy hoạch lồi, quy hoạch DC, các phơng pháp tìm lời giải tối u cục bộ . . . tuy có thể có phơng pháp giải và thuật toán hiệu quả, song cũng gặp nhiều khó khăn khi số lợng biến và ràng buộc tăng lên. Mặt khác, các chơng trình đã đợc xây dựng chỉ có giá trị trong phạm vi rất hẹp của bài toán xét, nhiều phơng pháp nêu ra chủ yếu dựa
vào các thuật toán tối u hóa cục bộ, nhận lời giải với độ tin cậy thấp, không
đảm bảo tính hội tụ, tính toàn cục . . . Ngày nay với sự hỗ trợ của kỹ thuật máy tính đã làm phát sinh những ý tởng mới đó là tìm cách chuyển đổi bài toán QHPT thành một dãy các bài toán quy hoạch tuyến tính xấp xỉ.
Hàm phi tuyến một biến bất kỳ Fi(xi), xác định với xi ∈ [ximin; ximax] nếu chia miền lớn [ximin; ximax] thành nhiều miền con và chọn điểm chia hợp lý ta có thể thay thế bằng hàm tuyến tính, tiệm cận với nó trên từng khúc xác định.
Khi tăng số điểm chia, sai số hàm tiệm cận giảm đi, việc thay thế đợc thực hiện với sai số có thể chọn đợc. Điều đó cho khả năng thay vì nghiên cứu hàm phi tuyến Fi(xi) hoặc Φ j(xi) trong miền xét [ximin; ximax], ta nghiên cứu các hàm xấp xỉ trong các miền con với sai số đợc chọn trớc. Trên miền lớn hàm phi tuyến đợc thay thế xấp xỉ bằng tổng các hàm tuyến tính Fi(xi) hoặc
Φjk(xik) với các biến xik xác định tùy thuộc vị trí điểm chia và số khoảng chia.
Khi đó mô hình bài toán đợc thay bằng mô hình gần đúng, trong đó hàm mục tiêu và các ràng buộc là tổng các hàm tuyến tính. Đây là mô hình QHTT quen thuộc với các phơng pháp giải và chơng trình tính thuận tiện.
Nội dung của phơng pháp xấp xỉ là chuyển bài toán QHPT bất kỳ về mô
hình xấp xỉ của bài toán QHTT biến nguyên thực hỗn hợp, xây dựng chơng trình giải bài toán QHPT tổng quát dạng cộng tính (các hàm mục tiêu và các ràng buộc là tổng của các hàm phi tuyến một biến) nh sau:
Tìm cực trị hàm mục tiêu: F(x) = ∑
= n
i 1
f(xi) > (max)- Thỏa mãn các ràng buộc
∑
= n
i 1
Φj(xi) = 0 víi j =1,2 . . . n
xi ≥0
ximin≤ xi≤ ximax víi i= 1,2 . . .n
Trong đó fi(xi), Φ j(xi) là hàm phi tuyến xác định trong khoảng xi∈ [ximin; ximax]
4.4.2. Bài toán QHTT nguyên thực hỗn hợp xấp xỉ
Hai mô hình bài toán quy hoạch là xấp xỉ tơng đơng khi tập hợp các giá trị hàm mục tiêu tơng ứng xấp xỉ nhau. Hơn nữa, khi cho các biến của mỗi mô hình nhận mọi giá trị có thể, thỏa mã các ràng buộc thì tơng ứng cũng đợc tập hợp đủ các giá trị của hàm mục tiêu.
Trên cơ sở các điều kiện trên ngời ta biểu diễn xấp xỉ bài toán QHPT về dạng QHTT với biến nguyên và biến thực hỗn hợp.
Quy tắc mỗi hàm phi tuyến thành phần đợc xấp xỉ với một hàm tuyến tÝnh tõng khóc (h×nh 4.5)
fi(xi)
uo u1 u2 u3 un
yio yi1 yi2 yin-2 yin-1 xi
0
Hình 4.5 Tuyến tính hóa từng khúc hàm phi tuyến
Hãy xét hàm fi(xi) nào đó thuộc thành phần của hàm mục tiêu phi tuyến.
Hàm tuyến tính từng khúc xấp xỉ có giá trị cùng giá trị với hàm phi tuyến tại các điểm chia: u0 = a, u1, u2, . . . un= b.
Cách biểu diễn tơng đơng là:
Fi(xi) ≈
∑=
n j 0
f1(uj)xij;
Trong đó xij là các biến trong mô hình mới, các ràng buộc cần bổ sung:
∑= n
j 0
xij= 1
∑−
= 1
0 n
j
yij= 1 Xi0≤ yi0
Xi1≤ yi0+yi1
. . . Xin-1≤ yin-2+yin- 1
Xin≤ yin- 1
Xi0, Xi1, . . . Xin ≥0
Yi0, yi1, . . . yin-1 = 0 hoặc bằng 1 Quan hệ giữa biến cũ và biến mới
Xi =∑
= n
j 0
ujxij
Ta thấy rằng khi lựa chọn tổ hợp các biến nguyên yij , thỏa mãn các ràng buộc thì lần lợt chỉ có một giá trị trong n 1 biến khác 0, xác định một khoảng - chia trên trục xi. Đồng thời lúc ấy cũng chỉ có một cặp 2 biến thực xij khác 0, tổng 2 giá trị bằng 1. Sự lựa chọn giá trị của cặp biến này tơng ứng với chọn một điểm xitrên khoảng xét. Nh vậy các biến mới thay đổi giá trị sẽ tơng ứng xác định mọi giá trị của biến cũ trong toàn bộ khoảng xác định ban đầu.
Phơng pháp QHPT xấp xỉ gồm các nội dung sau:
1. Nhận biết dạng hàm Fi(xi) hoặc Φjk(xik) trong hàm mục tiêu và các ràng buộc, dạng hàm thứ i có thể ở dạng giải tích, dạng đồ thị hoặc nhận đợc từ các số liệu thực nghiệm. Kèm theo thông tin về dạng hàm là khoảng xác
định của biến xi (miền chứa nghiệm). Chọn trớc số điểm chia hoặc sai số cực
đại, nếu tăng số điểm chia có nghĩa là giảm sai số cực đại và ngợc lại. Việc lựa chọn số điểm chia và sai số cực đại phụ thuộc vào đại lợng vật lý mà hàm mục tiêu mô tả và phạm vi sai số cho phép cực đại của đối tợng. Có thể chọn sai số cực đại và từ đó xác định số điểm chia, hoặc định trớc số điểm chia rồi
kiểm tra lại sai số cực đại. Có thể áp dụng khoảng chia đều hoặc không đều tùy thuộc vào dạng hàm và sai số của đối tợng.
2. Thực hiện tính toán giá trị hàm tại các điểm chia. Đó là giá trị của hàm fi(uir), r=0,1,2, . . . k, ngoài ra cần tính giá trị hàm ở một số điểm khác để kiểm tra sai số giữa giá trị thực và giá trị hàm tiệm cận.
3. Sau khi đã chọn đợc số điểm chia và khoảng chia thỏa mãn, cần ghi nhận các điểm chia, các giá trị hàm tại các điểm chia đã thỏa mãn yêu cầu.
4. Thiết lập bài toán QHTT nguyên thực hỗn hợp.
5. Thực hiện giải bài toán QHTT đã thiết lập.
6. Kết quả nhận đợc của bài toán đợc chuyển trở lại theo biến cũ và ghi nhận kết quả bài toán theo mô hình dạng ban đầu.