Khi xét đến ảnh hưởng lực cản, phương trình vi phân dao động có dạng:
M¨u(t) +C ˙u(t) +Ku(t) =0 (3.60) Tương tự như trường hợp không xét đến lực cản, ta có thể biểu diễn chuyển vị theo các dạng dao động. Thay u=Φq vào phương trình trên ta được:
MΦ¨q+CΦ ˙q+KΦq=0 (3.61)
Nhân trái cả hai vế của phương trình với ΦT, ta có:
M¨˜q+ ˜C ˙q+ ˜Kq=0 (3.62) trong đó M˜ và K˜ là các ma trận đường chéo, còn C˜ được xác định như sau:
C˜ =ΦTCΦ (3.63)
Ma trận C˜ có thể là ma trận đường chéo hoặc có thể không phải là ma trận đường chéo, điều này phụ thuộc vào sự phân bố lực cản trong hệ. Nếu C˜ là ma trận đường chéo, phương trình (3.62) biểu diễn n phương trình vi phân độc lập trong hệ tọa độ các dạng dao độngqi. Khi đó hệ được gọi là có ma trận cản cổ điển vì phương pháp phân tích dạng dao động cổ điển có thể áp dụng cho những hệ này. Những hệ mà C˜ không phải là ma trận đường chéo được gọi là có ma trận cản không cổ điển.
3.4.1 Ma trận cản
Các dạng dao động riêng của hệ hữu hạn bậc tự do không xét đến lực cản nói chung không trực giao đối với ma trận hệ số cảnC. Do vậy không thể phân tích hệ phương trình vi phân dao động của hệ có xét đến lực cản thành các phương trình vi phân độc lập. Tuy nhiên, với một vài điều kiện đối với hệ số cản, tính chất trực giao của các dạng dao động riêng có thể áp dụng đối với ma trận cản C. Rayleigh đã chỉ ra rằng một ma trận hệ số cản tỉ lệ với ma trận khối lượng và (hoặc) ma trận độ cứng sẽ thỏa mãn điều kiện trực giao
C=a0M+a1K (3.64)
trong đó: a0 và a1 là các hệ số bất kỳ. Ta có
φTi CΦ=a0φTi MΦ+a1φTi KΦ (3.65) hay
˜
ci =a0m˜i+a1˜ki = (a0 +a1ωi2) ˜mi (3.66) Tỉ số cản ξi ứng với dạng dao động thứ ”i” được xác định bởi biểu thức:
ξi = a0 2ωi
+ a1ωi
2 (3.67)
Trường hợp a1 = 0 ta có ma trận cản của hệ tỉ lệ với khối lượng (hình 3.11a), tỉ số cản đối với dạng dao động thứ ”i” trở thành:
ξi = a0
2ωi (3.68)
Dễ thấy tỉ số cản tỉ lệ nghịch với tần số dao động, do đó những dạng dao động bậc cao sẽ có hệ số cản nhỏ.
Ngược lại, khi a0 = 0 ta có ma trận cản tỉ lệ với độ cứng (hình 3.11b), biểu thức (3.67) trở thành
ξi = a1ωi
2 (3.69)
Hình 3.11: Lực cản tỉ lệ với khối lượng (a), lực cản tỉ lệ với độ cứng (b)
Hình 3.12: Liên hệ giữa tỉ số cản ξ và tần số ω theo giả thiết Rayleigh
Tỉ số cản tỉ lệ với tần số dao động. Trong trường hợp này các dạng dao động bậc cao có hệ số cản lớn.
Để xác định các hệ số a0 vàa1, cần biết các tỉ số cản ξi, ξj tương ứng với các tần số ωi, ωj. Biểu thức (3.67) được viết dưới dạng ma trận:
ξi ξj
= 1 2
" 1
ωi ωi 1 ωj ωj
# a0 a1
(3.70) Do đó ta có:
a0 a1
= 2ωiωj ω2i −ωj2
ωj −ωi
−ω1
j
1 ωi
ξi ξj
(3.71) Liên hệ giữa tỉ số cản ξ và tần số ω được biểu diễn trên hình 3.12. Dễ thấy rằng cách xây dựng ma trận cản như trên dẫn đến tỉ số cản rất cao đối với dạng dao động có tần số rất thấp và tần số rất cao trong khi tỉ số cản thấp nhất đối với các tần
Hình 3.13: Ví dụ xác định ma trận cản theo giả thiết Rayleigh
số trung bình. Do thiếu các thông tin về sự biến đổi của tỉ số cản với tần số nên ta thường giả thiết các tỉ số cản có cùng giá trị đối với hai tần số kiểm soát ωi và ωj. Tần số kiểm soát thứ nhất được chọn bằng tần số cơ bản của hệ ωi = ω1. Tần số kiểm soát thứ hai ωj được chọn bằng tần số cao nhất trong số các dạng dao động ảnh hưởng chủ yếu đến kết quả của bài toán. Điều đó đảm bảo rằng tất cả các dạng dao động trung gian sẽ có tỉ số cản nhỏ hơn ξ1 = ξj =ξ không nhiều và các dạng dao động có tần số ωk > ωj sẽ có tỉ số cản tăng đồng biến với tần số. Do đó ảnh hưởng của các dạng dao động có tần số rất cao sẽ bị loại bỏ do tỉ số cản rất cao của nó. Khi ξi =ξj =ξ, biểu thức (3.71) được đơn giản hóa:
a0 a1
= 2ξ ωi+ωj
ωiωj 1
(3.72) Ma trận cản được xác định từ phương trình (3.64), các tỉ số cản đối với các dạng dao động khác được xác định từ phương trình (3.67).
Ví dụ 3.6: Xét một kết cấu nhà ba tầng có các đặc trưng: trọng lượng sàn, độ cứng các tầng như hình 3.13. Giả thiết tỉ số cản ứng với hai dạng dao động đầu tiên đều bằng 5%. Xác định ma trận cản theo giả thiết Rayleigh và tỉ số cản ứng với dạng dao động thứ ba.
Chú ý: Đơn vị trong ví dụ này được tính theo hệ Mỹ
Lời giải: Ma trận khối lượng và ma trận độ cứng của hệ:
M= 1 386
400
400 200
K= 610
2 −1 0
−1 2 −1 0 −1 1
Xác định các tần số riêng và dạng dao động riêng tương ứng:
ω1 = 12,57rad/s; ω2 = 34,33rad/s; ω3 = 46,89rad/s
0 1
0,00 −1,30 1,78
Tỉ số cản ứng với dạng dao động thứ ba được xác định theo phương trình (3.67):
ξ3 = 0,9198
2×46,89 +0,0021×46,89
2 = 0,0593
3.4.2 Phương trình dao động
Trường hợp ma trận cản được xây dựng theo giả thiết Rayleigh thì ma trận C˜ được xác định theo (3.64) là ma trận đường chéo. Khi đó, phương trình (3.62) biểu diễn n phương trình vi phân độc lập:
˜
miq¨i+ ˜ciq˙i + ˜kiqi = 0 với i= 1,2. . . n (3.73) Tỉ số cản đối với mỗi dạng dao động được xác định như sau:
ξi = c˜i
2 ˜miωi (3.74)
Chia cả hai vế của (3.73) cho m˜i ta có:
¨
qi+ 2ξiωiq˙i+ω2iqi = 0 (3.75) Phương trình (3.75) có dạng tương tự phương trình vi phân dao động của hệ một bậc tự do có xét đến lực cản. Do đó nghiệm được cho dưới dạng sau:
qi(t) = e−ξiωit h
qi(0) cosωiDt+ q˙i(0) +ξiωiqi(0)
ωiD sinωiDt i
(3.76) trong đó tần số riêng thứ ”i” có xét đến cản được xác định bởi biểu thức:
ωiD =ωi q
1−ξi2 (3.77)
Phương trình dao động của hệ được xác định bởi biểu thức:
u(t) =
n
X
i=1
φiqi(t) =
n
X
i=1
φie−ξiωith
qi(0) cosωiDt+q˙i(0) +ξiωiqi(0)
ωiD sinωiDti
(3.78)