7.2 Tính kết cấu chịu tác dụng của động đất
7.2.1 Hệ tuyến tính một bậc tự do
7.2.1.1 Sự kích động động đất:
Sự kích động động đất được biểu hiện qua gia tốc chuyển động của đất u¨g(t). Để ghi lại gia tốc của đất người ta dùng các thiết bị đo gia tốc. Kết quả được biểu diễn bằng biểu đồ gia tốc như trên hình 7.3
Hình 7.4: (a) Hệ một bậc tự do chịu ảnh hưởng của động đất, (b) Các lực tác dụng lên khối lượng
7.2.1.2 Phương trình vi phân dao động
Xét kết cấu chịu tác dụng của động đất như hình 7.4a. Chuyển vị của nền là ug(t).
Chuyển vị tuyệt đối của khối lượng ký hiệu là ut(t), chuyển vị tương đối giữa khối lượng và nền là u(t). Các chuyển vị này được liên hệ với nhau bởi biểu thức:
ut(t) = u(t) +ug(t) (7.6) Theo sơ đồ phân tích lực tác dụng lên khối lượng trên hình 7.4b, chúng ta có phương trình cân bằng động:
fI +fD+fS = 0 (7.7)
trong đó lực quán tính fI được biểu diễn bởi biểu thức:
fI =m¨ut (7.8)
Các lực đàn hồi và lực cản vẫn có dạng (2.2). Thay các biểu thức này và (7.8) vào phương trình (7.7) thu được:
m¨u(t) +cu(t) +˙ ku(t) =−m¨ug(t) (7.9) Phương trình trên có dạng tương tự phương trình vi phân dao động của hệ một bậc tự do chịu tác dụng của lực động −m¨ug(t). Như vậy, ảnh hưởng của chuyển động nền có thể được thay thế bởi "lực động đất có hiệu" pef f(t) xác định bởi biểu thức:
pef f(t) =−mu¨g(t) (7.10) Chia hai vế của phương trình (7.9) cho m, chúng ta có:
¨
u(t) + 2ξωu(t) +˙ ω2u(t) =−¨ug(t) (7.11) Nghiệm của phương trình chỉ phụ thuộc vào tần số dao động riêng ω và tham số tắt dầnξ khi đã biết gia tốc nềnu¨g(t). Trong quá trình xẩy ra động đất, gia tốc nền biến đổi bất kỳ không theo quy luật nên không thể xác định nghiệm giải tích của phương trình vi phân dao động. Do đó, các phương pháp số (tích phân theo thời gian) giới thiệu trong chương 6 được sử dụng để xác định nghiệm của bài toán.
với A(t) =ωnu(t).
Dễ thấy rằng lực tĩnh tương đương bằng m lần A(t) chứ không phải m lần gia tốc tổng u¨t(t). "Gia tốc giả" A(t) của hệ có thể được xác định từ chuyển vị u(t) bằng cách nhân u(t)với bình phương tần số góc ω2.
Nội lực của hệ (moment, lực cắt) được xác định tại thời điểm bất kỳ bằng phân tích tĩnh kết cấu chịu tác dụng của lực tĩnh tương đương tại cùng thời điểm đó.
7.2.1.4 Khái niệm phổ nghiệm-Response spectrum concept
Đồ thị biểu diễn cực trị của các đại lượng như chuyển vị, vận tốc hay gia tốc theo chu kỳ riêng T hay tần số riêng f của hệ được gọi là phổ nghiệm của đại lượng đó.
u0(T, ξ)≡max
t |u(t, T, ξ)| (7.14)
˙
u0(T, ξ)≡max
t |u(t, T, ξ)|˙ (7.15)
¨
u0(T, ξ)≡max
t |¨u(t, T, ξ)| (7.16)
• Phổ chuyển vị
Hình 7.5 thể hiện quá trình xác định phổ chuyển vị. Sự phụ thuộc của chuyển vị theo thời gian gây ra bởi chuyển động đất nền của 3 hệ một bậc tự do được biểu diễn bởi các hình bên trái. Đối với mỗi hệ, giá trị cực đại của chuyển vị được xác định (thông thường, cực đại thường xuất hiện trong quá trình đất nền chuyển động, tuy nhiên đối với những hệ có hệ số cản nhỏ và chu kỳ dao động lớn thì cực đại có thể xuất hiện trong quá trình dao động tự do sau khi chuyển động đất nền đã kết thúc). Giá trị chuyển vị cực đại u0 được xác định đối với mỗi hệ cho chúng ta một điểm trên phổ chuyển vị. Lặp lại quá trình tính toán cho các chu kỳTn khác nhau và giữξbằng hằng số sẽ cho phổ chuyển vị như hình vẽ bên phải. Phổ chuyển vị hoàn chỉnh sẽ gồm các đường cong tương tự đối với các giá trị ξ khác nhau.
• Phổ giả vận tốc
Xét đại lượng V của hệ một bậc tự do với tần số riêng ωn được liên hệ với chuyển vị cực đại D≡u0 của nó bởi biểu thức:
V =ωnD= 2π Tn
D (7.17)
Hình 7.5: (a) Nghiệm chuyển vị của hệ một bậc tự do với ba chu kỳ dao động riêng khác nhau, (b) Phổ chuyển vị
Đại lượng V có thứ nguyên của vận tốc và được gọi là giá trị cực đại "giả" vận tốc. Tiền tố "giả" được sử dụng vì V không bằng vận tốc cực đại u˙0 mặc dù cùng thứ nguyên. Chúng ta sẽ trở lại vấn đề này trong phần sau. Phổ giả vận tốc là đồ thị biểu diễn sự thay đổi của V theo chu kỳ dao động riêng Tn hay tần số riêng fn của hệ.
• Phổ giả gia tốc
Xét đại lượng A của hệ một bậc tự do với tần số riêng ωn được liên hệ với chuyển vị cực đại D≡u0 của nó bởi biểu thức:
A=ωn2D = 2π
Tn 2
D (7.18)
Đại lượng A có thứ nguyên của gia tốc và được liên hệ với giá trị cực đại của lực cắt ở chân của công trình theo biểu thức:
Vb0 =fs0 =mA= A
gQ (7.19)
trong đó Q là trọng lượng của công trình và g là gia tốc trọng trường. Dưới dạng này, tỉ số Ag được xem như hệ số lực cắt hay hệ số lực đẩy ngang. Chú ý rằng đại lượng Akhác với giá trị cực đại của gia tốcu¨o của hệ. Phổ giả gia tốc là đồ thị biểu diễn sự thay đổi của A theo chu kỳ dao động riêng Tn hay tần số riêng fn của hệ.
Hình 7.6:(a) Phổ chuyển vị, (b) Phổ giả vận tốc, (c) Phổ giả gia tốc
Hình 7.7:Kết hợp phổ nghiệm D-V-A, trường hợp ξ= 2%
Kết hợp các phổ nghiệm D-V-A
Mỗi phổ chuyển vị, phổ giả vận tốc hay phổ giả gia tốc của một chuyển động đất nền (động đất) đều cung cấp cùng một thông tin về ứng xử của kết cấu hay công trình. Biết một trong ba phổ nghiệm này, hai phổ nghiệm còn lại có thể dễ dàng thu được bằng các biến đổi đại số các phương trình (7.17) và (7.18). Tuy nhiên, chúng ta vẫn sử dụng 3 phổ nghiệm vì mỗi phổ cho biết trực tiếp ý nghĩa vật lý của đại lượng đó. Phổ chuyển vị cho biết chuyển vị cực đại của hệ. Phổ giả vận tốc liên hệ trực tiếp với năng lượng cực đại của hệ trong quá trình xẩy ra động đất. Phổ giả gia tốc liên hệ trực tiếp với giá trị cực đại của lực tĩnh tương đương và lực cắt ở chân công trình. Một lí do khác là trong thực tế, dạng của các phổ có thể được xấp xỉ để phục vụ cho việc thiết kế. Do đó, biểu diễn kết hợp cả 3 phổ nghiệm là rất cần thiết và có thể thực hiện được do 3 đại lượng được liên hệ với nhau theo biểu thức:
A
ωn =V =ωnD hay Tn
2πA=V = 2π
TnD (7.20)
Cách biểu diễn này được giới thiệu lần đầu tiên bởi A.S. Veletsos và N.M. Newmark vào năm 1960. Trên hình 7.7 các giá trị số của vận tốc V và chu kỳ Tn được biểu diễn trong thang tỉ lệ logarit. Với một giá trị của chu kỳ tự nhiênTn, các giá trị của D và A có thể được xác định từ thang tỉ lệ đường chéo. Ví dụ, với Tn = 2s ta có D= 7,47và A= 0,191g.
phương pháp số được trình bày trong chương 6 4. Xác định cực trịu0 của u(t)
5. Các phổ chuyển vị D = u0; phổ giả vận tốc V = (2π/Tn)D; phổ giả gia tốc A= (2π/Tn)2D
6. Lặp lại các bước từ 2 đến 5 với các giá trịTn và ξ
7. Biểu diễn kết quả các phổ nghiệm một cách riêng lẻ hay kết hợp 7.2.1.5 Xác định giá trị cực trị của kết cấu từ phổ nghiệm
Khi phổ nghiệm của một chuyển động nền đã có sẵn thì việc xác định chuyển vị lớn nhất hay nội lực trong một hệ tuyến tính một bậc tự do có thể được thực hiện một cách dễ dàng. Các đại lượng này được biểu diễn thông qua D, V, A và độ cứng ”k”
hay khối lượng ”m”của hệ.
Chuyển vị lớn nhất của hệ:
u0 =D= Tn 2πV =
Tn 2π
2
A (7.21)
Lực tĩnh tương đương lớn nhất:
fs0 =kD=mA (7.22)
Ví dụ 7.1: Một cột cao 12-ft có đường kính danh định 4-in bằng thép ống, đỡ trọng lượng Q = 5200-lb được gắn ở đầu tự do như hình 7.8a. Các thông số của cột thép: đường kính ngoài d0 = 4,5 in, đường kính trong di = 4,026 in, chiều dầy t = 0,237 in, moment quán tính của mặt cắt ngang I = 7,23 in4, module đàn hồi E = 29000 ksi. Giả thiết bỏ qua trọng lượng của cột thép so với trọng lượng được gắn ở đầu tự do. Xác định chuyển vị lớn nhất, moment uốn và ứng suất tại ngàm do động đất El Centro gây ra. Giả sử rằng tỉ số cản ξ= 2%.
Chú ý: Đơn vị trong ví dụ này tính theo hệ Mỹ
Hình 7.8:Ví dụ 7.1
ωn
Từ đường cong phổ nghiệm ứng với tỉ số cản 2% (hình 7.8), với chu kỳ dao động Tn = 1,59s tìm đượcD = 5in và A= 0,2g. Vậy chuyển vị lớn nhất:
u0 =D= 5 in (7.26)
Lực tĩnh tương đương lớn nhất:
fS0 = A
gQ= 0,2×5,2 = 1,04 kips (7.27) Biểu đồ moment được biểu diễn trên hình 7.8d với giá trị lớn nhất tại ngàm là M = 12,48kip-ft. Hai điểm A và B là vị trí có ứng suất lớn nhất:
σmax = M ×d0
2I = (12,48×12)4,5
2×7,23 = 46,5 ksi (7.28) Ví dụ 7.2:
7.2.1.6 Các đặc trưng của phổ nghiệm
Hình 7.9 biểu diễn một số phổ nghiệm đối với động đất El Centro cùng với các cực trị chuyển vị nền ug0, cực trị vận tốc nền u˙g0 và cực trị gia tốc nền u¨g0 được xác định từ hình 7.3. Để thấy rõ hơn mối liên hệ giữa phổ nghiệm và các thông số động đất, hình 7.9 được biểu diễn lại trên hình 7.10 với các trục được chuẩn hóa: D/ug0; V /u˙g0; A/¨ug0. Hình 7.11 biểu diễn một trong các phổ nghiệm (tỉ lệ cản 5%) và phổ nghiệm lý tưởng hóa (đường nét đứt). Trong phần sau sẽ trình bày cách xây dựng đường cong phổ thiết kế từ các thông số cực trị của động đất trên cơ sở phổ nghiệm lý tưởng hóa. Trong phần này, chúng ta nghiên cứu các tính chất của phổ nghiệm ứng với những khoảng của chu kỳ dao động riêng của hệ. Xét các điểm a, b, c, d, e và f trên hình 7.11.
Với hệ có chu kỳ rất ngắn Tn < Ta = 0,035s, giả gia tốc A tiệm cận u¨g0 và D rất nhỏ (đối với mọi tỉ số cản). Đối với hệ có khối lượng cố định có chu kỳ ngắn thì độ cứng lớn, biến dạng nhỏ và khối lượng sẽ chuyển động cùng với nền (hình 7.12d).
Hiện tượng này được kiểm chứng như trên hình 7.12, trong đó gia tốc nền được biểu diễn trên hình a, gia tốc tổng u¨t(t) của hệ cóTn = 0,02s và ξ = 2% được biểu diễn
Hình 7.9: Các phổ nghiệm ứng với các tỉ số cản khác nhau (từ trên xuống ξ = 0,2,5,10%) và các giá trị của gia tốc nền, vận tốc nền, chuyển vị nền đối với động đất El Centro
trên hình b, giả gia tốc A(t) của cùng hệ này được biểu diễn trên hình c. Dễ thấy rằng,u¨t(t)vàu¨g(t)gần như trùng nhau, cực trị gia tốcu¨t0 của khối lượng cũng trùng với cực trị giả gia tốc A.
Với hệ có chu kỳ dàiTn> Tf = 15s, D tiệm cậnug0 và A rất nhỏ (đối với mọi tỉ số cản). Do đó, lực tác dụng lên hệ sẽ rất nhỏ (fs0 =mA). Đối với hệ có khối lượng cố định có chu kỳ dài thì độ cứng rất nhỏ, dễ uốn. Khối lượng có thể vẫn giữ nguyên vị trí trong khi nền chuyển động (hình 7.13c). Điều này được thể hiện qua hình 7.13 mà trên đó chuyển vị u(t) của hệ có chu kỳ Tn = 30s và tỉ số cản ξ = 2% chịu tác dụng của động đất El Centro được so sánh với chuyển vị nền ug(t). Dễ thấy rằng các cực trị u0 và ug0 khá gần nhau.
Trường hợp hệ có chu kỳ ngắn 0,035s=Ta< Tn < Tc = 0,5s, giả gia tốc A lớn hơn
¨
ug0 với hệ số khuếch đại phụ thuộc vàoTn và ξ.
Trường hợp hệ có chu kỳ dài 3s = Td < Tn < Tf = 15s, chuyển vị D nói chung lớn hơn ug0 với hệ số khuếch đại phụ thuộc vàoTn và ξ.
Trường hợp hệ có chu kỳ trung bình 0,5s = Tc < Tn < Td = 3s, giả vận tốc V lớn hơn u˙g0. Trong khoảng chu kỳ này, V có thể được lý tưởng hóa như hằng số có giá trị bằng u˙g0 được khuếch đại bởi hệ số phụ thuộc ξ.
Từ những nhận xét trên, dễ thấy rằng có thể chia phổ nghiệm thành ba khoảng.
Khoảng ứng với chu kỳ dài đến bên phải điểm d (Tn > Td) được gọi là vùng nhậy với chuyển vị vì nghiệm của hệ có liên hệ trực tiếp với chuyển vị nền. Khoảng ứng với chu kỳ ngắn đến bên trái điểm c (Tn < Tc) được gọi là vùng nhậy với gia tốc vì nghiệm của hệ có liên hệ trực tiếp với gia tốc nền. Khoảng ứng với chu kỳ trung gian giữa điểm cvà d (Tc < Tn < Td) được gọi là vùng nhậy với vận tốc vì nghiệm có liên hệ với vận tốc nền hơn là với các thông số khác. Đối với một chuyển động nền, các chu kỳ Ta, Tb, Te vàTf trên các phổ được lý tưởng hóa là độc lập đối với lực
Hình 7.10: Các phổ nghiệm ứng với các tỉ số cản khác nhau (từ trên xuống ξ = 0,2,5,10%) với các trục được chuẩn hóa A/u¨g0, V /u˙g0, D/ug0
cản nhưng Tc và Td thì thay đổi đối với lực cản.
Lý tưởng hóa phổ nghiệm bằng các đường thẳng a−b−c−d−e−f như trên hình 7.11 rõ ràng không phải là một quá trình chính xác. Tuy nhiên, lợi ích lớn nhất của phổ nghiệm lý tưởng hóa mà chúng ta sẽ thấy ở phần sau là trong việc xây dựng phổ thiết kế đại diện cho nhiều chuyển động nền.
7.2.1.6 Phổ thiết kế
Trong phần này ta sẽ đưa vào khái niệm phổ thiết kế động đất đối với hệ đàn hồi và trình bày cách xây dựng phổ thiết kế từ các giá trị cực trị được đánh giá đối với gia tốc nền, vận tốc nền và chuyển vị nền.
Phổ thiết kế cần phải thỏa mãn một số điều kiện bởi vì mục đích của nó là nhằm thiết kế các công trình mới hay đánh giá sự an toàn của các công trình đang tồn tại chống lại các trận động đất trong tương lai.