4.2 Dao động tự do của thanh thẳng
4.2.2 Tính chất trực giao của các dạng dao động riêng
Xét hai tần số riêng ωi và ωj và các dạng dao động riêng tương ứng Xi, Xj. Phương trình chuyển động ứng với dạng dao động riêng thứ ivà thứ j:
yi(x, t) = Xi(x)Aisin(ωit+θi) (4.26) yj(x, t) = Xj(x)Ajsin(ωjt+θj) (4.27) Lực quán tính phân bố có cường độ:
(fI)i(x, t) = ωi2m(x)Xi(x)Aisin(ωit+θi) (4.28) (fI)j(x, t) = ωj2m(x)Xj(x)Ajsin(ωjt+θj) (4.29) Công của lực quán tính ở dạng dao động thứ i trên chuyển vị ở dạng dao động thứ j:
Z l 0
(fI)i(x, t)yj(x, t)dx= Z l
0
ωi2m(x)Xi(x)Xj(x)AiAjsin(ωit+θi) sin(ωjt+θj)dx (4.30) Công của lực quán tính ở dạng dao động thứ j trên chuyển vị ở dạng dao động thứ i:
Z l 0
(fI)j(x, t)yi(x, t)dx= Z l
0
ωj2m(x)Xi(x)Xj(x)AiAjsin(ωit+θi) sin(ωjt+θj)dx (4.31) Theo nguyên lý công tương hỗ Betti hai công này bằng nhau. Sau khi đơn giản hai vế cho AiAjsin(ωit+θi) sin(ωjt+θj) ta thu được:
ωi2−ωj2 Z l
0
m(x)Xi(x)Xj(x)dx = 0 (4.32) Với hai dao động riêng khác nhau thì ωi 6=ωj nên ta có:
Z l 0
m(x)Xi(x)Xj(x)dx= 0 với i6=j (4.33) Phương trình (4.33) biểu thị tính chất trực giao của các dạng dao động riêng qua khối lượng của hệ. Tính chất trực giao cũng có thể được biểu diễn qua độ cứng của thanh như sau.
Phương trình (4.18) viết cho dạng dao động thứ i:
h
EI(x)Xi00(x)i00
=ω2im(x)Xi(x) (4.34) Nhân hai vế phương trình trên với Xj(x) và lấy tích phân từ 0đến l ta có:
Z l 0
Xjh
EI(x)Xi00(x)i00
dx=ωi2 Z l
0
m(x)Xi(x)Xj(x)dx (4.35) Thay (4.33) vào phương trình trên ta thu được:
Z l 0
Xjh
EI(x)Xi00(x)i00
dx= 0 (4.36)
Xi(4)(x)− mωi
EI Xi(x) = 0 (4.38)
hay
Xi(4)(x)−k4iXi(x) = 0 (4.39) trong đó:
k4i = mωi2
EI (4.40)
Phương trình đặc trưng của (4.39) có dạng:
s4 −k4i = 0 (4.41)
Phương trình này có 4 nghiệm:
s1,2 =±ki s3,4 =±iki với i2 =−1 (4.42) Vậy nghiệm của phương trình (4.39) như sau:
Xi(x) =a1ekix+a2e−kix+a3sin(kix) +a4cos(kix) (4.43) hoặc có thể viết dưới dạng:
Xi(x) = b1cosh(kix) +b2sinh(kix) +b3sin(kix) +b4cos(kix) (4.44) trong đó sinh(x) và cosh(x) là các hàm siêu việt được xác định bởi:
cosh(x) = ex+e−x
2 sinh(x) = ex−e−x 2
Phương trình (4.44) biểu diễn dạng dao động riêng thứ i1 ứng với tần số dao động ωi.
Ta có thể đặt các hàm:
Akx = h
cosh(kx) + cos(kx)i /2 Bkx = h
sinh(kx) + sin(kx)i /2 Ckx = h
cosh(kx)−cos(kx)i /2 Dkx = h
sinh(kx)−sin(kx)i /2
(4.45)
1Để viết phương trình được đơn giản, trong phần sau ta sẽ bỏ đi chỉ số dướii
-
? 6
Bkx Ckx
Akx Dkx
k
k k
k
Hình 4.1:Quy luật đạo hàm của Akx, Bkx, Ckx và Dkx Phương trình (4.44) được viết lại dưới dạng sau:
X(x) = C1Akx+C2Bkx+C3Ckx+C4Dkx (4.46) Các hằng số Ci (i= 1, . . . ,4) vàbi (i= 1, . . . ,4) trong (4.44) có quan hệ:
C1 =b1+b3; C2 =b2+b4
C3 =b1 −b3; C4 =b2−b4 (4.47) Để việc tính toán được thuận tiện, giá trị các hàm số Akx, Bkx, Ckx và Dkx theo các biến sốkxđược lập sẵn thành các bảng trong phụ lục2. Các hàm này có tính chất sau:
A0kx =kDkx
Bkx0 =kAkx Ckx0 =kBkx Dkx0 =kCkx
(4.48)
A(0) = 1;B(0) = 0;C(0) = 0;D(0) = 0 (4.49) Các hằng số Ci (i = 1, . . . ,4) được xác định từ điều kiện biên. Giả sử tại x= 0 ta
có:
X(0) =X0
X0(0) =θ0
X00(0) = −M0/EI X000(0) =−Q0/EI
(4.50)
Từ phương trình (4.46) ta có các đạo hàm của X(x):
X0(x) = k(C1Dkx+C2Akx+C3Bkx+C4Ckx)
X00(x) = k2(C1Ckx+C2Dkx+C3Akx+C4Bkx) (4.51) X000(x) = k3(C1Bkx+C2Ckx+C3Dkx+C4Akx)
Thay các điều kiện biên (4.50) vào ta xác định được các hằng số:
C1 =X0 C2 = θ0 k C3 =− M0
k2EI C4 =− Q0
k3EI (4.52)
2Xem bảng 1
Các phương trình trên cho phép xác định các đại lượng cần nghiên cứu trong dao động riêng của thanh thẳng. Từ các điều kiện biên về biến dạng và nội lực ta sẽ lập được hệ phương trình xác định các thông số chưa biết. Xét điều kiện tồn tại dao động riêng ta sẽ lập được phương trình xác định thông số k, từ đó sẽ tính được tần số dao động riêng:
ω =k2 rEI
m (4.57)
Phương trình để xác định k là phương trình siêu việt nên sẽ có vô số nghiệm ki (i= 1,2, . . .) nghĩa là có vô số tần số riêng ωi (i= 1,2, . . .). Điều này phù hợp với ý nghĩa của bài toán có vô số bậc tự do.
Ví dụ 4.1: Xác định tần số dao động riêng và dạng dao động riêng của thanh thẳng như hình 4.2a , thanh có chiều dài l, đầu bên trái được ngàm chặt, đầu bên phải tự do. Khối lượng của thanh là m
Lời giải: Điều kiện biên:
Tại x= 0:
X(0) = 0 (4.58)
θ(0) = 0 (4.59)
Tại x=l:
M(l) = 0 (4.60)
Q(l) = 0 (4.61)
Thay (4.60), (4.61) vào (4.55) và (4.56) ta có hệ phương trình:
M0Akl + Q0
k Bkl = 0 (4.62)
M0kDkl +Q0Akl = 0 (4.63)
Điều kiện để tồn tại dao độngM0 6= 0 và Q0 6= 0 là định thức của hệ phương trình
3Theo Sức bền vật liệu:θ=X0(x), M(x) =X00(x), Q(x) =X000(x)
Hình 4.2: Dầm một đầu ngàm một đầu tự do (a), dạng dao động thứ nhất (b), dạng dao động thứ hai (c), dạng dao động thứ ba (d)
trên bằng không
Akl Bkl/k kDkl Akl
=A2kl−BklDkl = 0 (4.64) hay
coshklcoskl+ 1 = 0 (4.65) Phương trình siêu việt này được giải bằng phương pháp thử dần. Ta tìm được nghiệm thứ nhấtk1l = 1.875, nghiệm thứ haik2l = 4.68. . .Thay vào (4.57) ta tính được các tần số dao động riêng
ω1 = 1,8752 l2
rEI
m = 3,515 l2
rEI m
ω2 = 4,6802 l2
rEI
m = 21,90 l2
rEI m
Thay các giá trị kil vào hệ phương trình ta xác định được M0 và Q0. Từ đó tìm được các phương trình chuyển vị và nội lực của thanh ứng với tần số ωi. Ba dạng dao động của thanh ứng với ba tần số dao động riêng đầu tiên ω1, ω2 và ω3 lần lượt được biểu diễn trên hình 4.2b, 4.2c và 4.2d.
Ví dụ 4.2: Xác định tần số dao động riêng và dạng dao động riêng của thanh thẳng như hình 4.3a, thanh có chiều dàil, hai đầu được đặt lên hai gối cố định. Khối lượng của thanh là m
Hình 4.3: Dầm hai đầu khớp (a), dạng dao động thứ nhất (b), dạng dao động thứ hai (c), dạng dao động thứ ba (d)
Lời giải: Điều kiện biên:
Tại x= 0:
X(0) = 0 (4.66)
M(0) = 0 (4.67)
Tại x=l:
X(l) = 0 (4.68)
M(l) = 0 (4.69)
Thay (4.68), (4.69) vào (4.53) và (4.55) ta có hệ phương trình:
θ0
kBkl− Q0
k3EIDkl = 0 (4.70)
−θ0EIkDkl+Q0
k Bkl = 0 (4.71)
Điều kiện để tồn tại dao động Q0 6= 0 và θ0 6= 0 là định thức của hệ phương trình trên bằng không
Bkl2 −Dkl2 = 0 (4.72)
hay
sinhklsinkl = 0 (4.73)
Do sinhkl6= 0 nên sinkl= 0. Vậy ta tìm được
kil =iπ với i= 1,2, . . . (4.74)
Thay vào (4.57) ta xác định được các tần số dao động riêng ωi = (iπ)2
l2
rEI
m (4.75)
Do sinkl= 0 nên ta có Bkl=Dkl. Từ phương trình (4.70) ta rút ra đẳng thức:
θ0
k = Q0
k3EI (4.76)
Dạng dao động riêng thứ i được xác định theo biểu thức:
X(x) = θ0
kBkx− Q0
k3EIDkx= Q0
k3EI (Bkx−Dkx) (4.77) Thay biểu thức các hàm Bkx và Dkx vào phương trình trên ta có:
X(x) = Q0
k3EI sinkx= Q0
k3EI siniπx
l (4.78)
Các dạng dao động riêng được biểu diễn trên hình 4.3b, 4.3c và 4.3d.