CHƯƠNG 3 DỮ LIỆU VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 3.1. Dữ liệu nghiên cứu
3.2. Phương pháp nghiên cứu
3.2.3. Phương pháp hồi quy và kiểm định
3.2.3.2. Mô hình ngưỡng (Hansen, 2000)
Để đảm bảo tính vững cho nghiên cứu thực nghiệm, tác giả tiếp cận bằng mô hình hồi quy ngưỡng. Theo Lý thuyết phân phối tiệm cận của các ước lượng bình phương bé nhất, Hansen (2000) đề xuất xây dựng mô hình hồi quy ngưỡng dựa trên bộ dữ liệu cân bằng {yit, qit, xit : 1 ≤ I ≤ n, 1 ≤ t ≤ T}, trong đó I là chỉ số mẫu, t là chỉ số thời kỳ, yit là biến phụ thuộc, qit là biến phân ngưỡng và xit là véc-tơ của các biến độc lập.
Để đơn giản, đầu tiên, xét trong mô hình đơn ngưỡng (chỉ có một ngưỡng duy nhất), mô hình có thể được thể hiện qua phương trình sau:
𝑦𝑖𝑡 = 𝜇𝑖+ 𝛽1′𝑥𝑖𝑡𝐼(𝑞𝑖𝑡 ≤ 𝛾) + 𝛽2′𝐼(𝑞𝑖𝑡 > 𝛾) + 𝑒𝑖𝑡 (8) Với I là hàm mục tiêu, phương trình (8) có thể được viết lại như sau:
𝑦𝑖𝑡 = {𝜇𝑖+ 𝛽1′𝑥𝑖𝑡+ 𝑒𝑖𝑡 𝑛ế𝑢 𝑞𝑖𝑡 ≤ 𝛾 𝜇𝑖 + 𝛽2′𝑥𝑖𝑡+ 𝑒𝑖𝑡 𝑛ế𝑢 𝑞𝑖𝑡 > 𝛾 Đặt 𝛽′ = (𝛽1′, 𝛽2′), phương trình (8) có thể được viết thành:
𝑦𝑖𝑡 = 𝜇𝑖+ 𝛽′𝑥𝑖𝑡(𝛾) + 𝑒𝑖𝑡 (9)
Theo Hansen (1999), giá trị ngưỡng γ và hệ số 𝛽′của mô hình được ước lượng bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất OLS. Để thực hiện ước lượng, cần xác định giá trị trung bình của các biến và sai số trong phương trình (9):
𝑦̅ = 𝜇𝑖 𝑖+ 𝛽′𝑥̅ (𝛾) + 𝑒𝑖 ̅𝑖 (10) Với 𝑦̅ = 𝑇𝑖 −1∑𝑇𝑡=1𝑦𝑖𝑡
𝑒̅ = 𝑇𝑖 −1∑𝑇𝑡=1𝑒𝑖𝑡
𝑥̅ (𝛾) = 𝑇𝑖 −1∑𝑇𝑡=1𝑥𝑖𝑡(𝛾)
Lấy (9) trừ (10) theo từng vế, ta có phương trình mới như sau:
𝑦𝑖∗ = 𝛽′𝑥𝑖∗(𝛾) + 𝑒𝑖∗ (11) Với 𝑦𝑖∗ = 𝑦𝑖𝑡− 𝑦̅ 𝑖
𝑒𝑖∗ = 𝑒𝑖𝑡− 𝑒̅𝑖
𝑥𝑖∗(𝛾) = 𝑥𝑖𝑡(𝛾) − 𝑥̅ (𝛾) 𝑖 Khi đó, ta có các ma trận:
𝑦𝑖∗ = [ 𝑦𝑖1∗
⋮ 𝑦𝑖𝑇∗
] ; 𝑥𝑖∗(𝛾) = [
𝑥𝑖1∗(𝛾)
⋮ 𝑥𝑖𝑇∗ (𝛾)
] ; 𝑒𝑖∗= [ 𝑒𝑖1∗
⋮ 𝑒𝑖𝑇∗
]
𝑌∗ = [
𝑦1∗
⋮ 𝑦𝑖∗
⋮ 𝑦𝑛∗]
; 𝑋∗(𝛾) = [
𝑥1∗(𝛾)
⋮ 𝑥𝑖∗(𝛾)
⋮ 𝑥𝑛∗(𝛾)]
; 𝑒∗= [
𝑒1∗
⋮ 𝑒𝑖∗
⋮ 𝑒𝑛∗] Phương trình (11) tương đương với:
𝑌∗ = 𝑋∗(𝛾)𝛽 + 𝑒∗ (12)
Với mỗi giá trị ngưỡng γ, hệ số β có thể được ước lượng theo phương pháp OLS.
𝛽̂(𝛾) = (𝑋∗(𝛾)′𝑋∗(𝛾))−1𝑋∗(𝛾)′𝑌∗ Véc-tơ phần dư được xác định:
𝑒̂(𝛾) = 𝑌∗− 𝑋∗(𝛾)𝛽̂(𝛾) Tổng bình phương phần dư:
𝑆1(𝛾) = 𝑒̂(𝛾)′𝑒̂ (𝛾) ∗ (13)
Ước lượng của giá trị ngưỡng γ được xác định bằng cách tối thiểu hóa giá trị S1(γ) ở phương trình (13): 𝛾̂ = 𝑎𝑟𝑔𝑚𝑖𝑛𝛾𝑆1(𝛾)
Khi đó: 𝛽̂ = 𝛽̂(𝛾̂) và 𝑒̂∗(𝛾) = 𝑒̂∗(𝛾̂).
Sau khi xác định các giá trị ngưỡng, điều quan trọng là xác định xem liệu các hiệu ứng ngưỡng này có ý nghĩa thống kê hay không. Điều này được kiểm tra bằng cách kiểm định xem hệ số ước lượng của các regime có bằng nhau hay không, và kiểm định LR (Likelihood Ratio Test) được sử dụng theo gợi ý của Hansen (2000) với giả thuyết:
H0 : β1 = β2
Khi không có hiệu ứng ngưỡng, phương trình (8) tương đương:
𝑦𝑖𝑡 = 𝜇𝑖+ 𝛽1′𝑥𝑖𝑡 + 𝑒𝑖𝑡 (14)
Biến đổi (14) theo các bước trong phương pháp xác định ngưỡng, ta xác định được phương trình:
𝑦𝑖∗ = 𝛽1′𝑥𝑖∗(𝛾) + 𝑒𝑖∗ Từ đó có thể xác định được 𝛽̂, 𝑒̂1 𝑖𝑡∗, 𝑆0 = 𝑒̂𝑖𝑡∗′𝑒̂𝑖𝑡∗. Tỷ số LR được tính theo công thức:
𝐹1 =𝑆0− 𝑆1(𝛾̂) 𝜎̂2 Với 𝜎̂2 =1
𝑇𝑒̂ 𝑒1′̂ =1 1
𝑇𝑆1(𝛾̂)
Trong đó, S0 là tổng sai số (phần dư) bình phương đối với mô hình không có ngưỡng (8) ; S1 là tổng sai số (phần dư) bình phương của phương trình ngưỡng (12)
; 𝜎̂2 là phương sai của sai số đối với phương trình có ngưỡng.
Tuy nhiên, theo Hansen (1999 và 2000), phân phối tiệm cận của F1 là không chuẩn và không tuân thủ nghiêm ngặt phân phối Chi – bình phương. Vì thế, không thể kiểm định giả thuyết bằng phương pháp thông thường, mà thay vào đó, việc tính toán p-value nên được thực hiện theo phương pháp bootstrap. Trong quá trình thực hiện bootstrap, biến độc lập xit và ngưỡng γ sẽ được giữ cố định, phần dư 𝑒̂ = {𝑒̂ , 𝑒1 ̂ , … , 𝑒2 ̂) của phương trình không ngưỡng (8) sẽ được bootstrap. Về bản chất, 𝑛 bootstrap là một quá trình lấy mẫu có hoàn lại, do đó, các phần dư bootstrap được
tạo ra sẽ có dạng 𝑒̂ = {𝑒𝑖 ̂ , 𝑒1𝑖 ̂ , … , 𝑒2𝑖 ̂ ), trong đó, mỗi giá trị 𝑒𝑛𝑖 ̂𝑘𝑖 (với k=1,2,…,n) sẽ là một giá trị được lấy ngẫu nhiên trong tập hợp của 𝑒̂. Khi đó, biến phụ thuộc bootstrap sẽ được tạo ra và được sử dụng để hồi quy trong mô hình không ngưỡng (8) và phương trình có ngưỡng (12), từ đó, tính được giá trị bootstrap của tỷ lệ thống kê Likelihood F1. Việc bootstrap này sẽ được lặp đi lặp lại với rất nhiều lần, và chúng ta sẽ tính được tỷ lệ số lần có F1>F0, đây chính là ước lượng bootstrap của p-value tiệm cận cho F1. Nếu p-value nhỏ hơn các giá trị tới hạn (Critical Values) thì bác bỏ giả thuyết null mô hình không ngưỡng.
Mô hình đa ngưỡng là mô hình tồn tại từ 2 ngưỡng trở lên. Mô hình đa ngưỡng cũng được xử lý tương tự như mô hình đơn ngưỡng. Với mô hình 2 ngưỡng, khi ngưỡng đầu tiên γ1 đã được kiểm định và chấp nhận, ngưỡng γ2 cũng được xác định với: 𝛾̂2𝑟 = 𝑎𝑟𝑔𝑚𝑖𝑛 𝑆2𝑟(𝛾2𝑟)
Trong đó, 𝑆2𝑟(𝛾2𝑟) = {𝑆(𝛾̂ , 𝛾1 2) 𝑛ế𝑢 𝛾̂ < 𝛾1 2 𝑆(𝛾2, 𝛾̂ ) 𝑛ế𝑢 𝛾1 2 < 𝛾̂1
Và ngưỡng 𝛾2 sẽ được kiểm định với giá trị thống kê:
𝐹2 =𝑆1(𝛾̂ ) − 𝑆1 2𝑟(𝛾̂2𝑟) 𝜎̂2
Quy trình tương tự với mô hình nhiều ngưỡng hơn.
Áp dụng mô hình ngưỡng trong nghiên cứu tác động của nhân tố thanh khoản lên tỷ suất sinh lợi khi kiểm soát các nhân tố thị trường, giá trị, quy mô và momentum gồm 3 ngưỡng ứng với 4 danh mục đầu tư mô hình có thể được biểu diễn với dạng tổng quát như sau:
𝑟𝑖
̅ = {
𝛼1+ 𝛿1𝑀𝛽1𝑀+ 𝛿1𝑀𝛽1𝑀+ 𝛿1𝑀𝛽1𝑀+ 𝛿1𝑊𝛽1𝑊 + 𝑒1,𝑖 𝛽𝑖𝐿 ≤ 𝛾1 𝛼2+ 𝛿2𝑀𝛽2𝑀 + 𝛿2𝑀𝛽2𝑀 + 𝛿2𝑀𝛽2𝑀+ 𝛿2𝑊𝛽2𝑊 + 𝑒2,𝑖 𝛾1 < 𝛽𝑖𝐿 ≤ 𝛾2 𝛼3+ 𝛿3𝑀𝛽3𝑀 + 𝛿3𝑀𝛽3𝑀+ 𝛿3𝑀𝛽3𝑀 + 𝛿3𝑊𝛽3𝑊 + 𝑒3,𝑖 𝛾2 < 𝛽𝑖𝐿 ≤ 𝛾3 𝛼4+ 𝛿4𝑀𝛽4𝑀+ 𝛿4𝑀𝛽4𝑀 + 𝛿4𝑀𝛽4𝑀+ 𝛿4𝑊𝛽4𝑊 + 𝑒4,𝑖 𝛾3 < 𝛽𝑖𝐿
Mô hình ngưỡng sẽ được thực hiện theo quá trình sau đây:
- Xác định các ngưỡng bằng phương pháp tổng sai số bình phương nhỏ nhất.
- Bootstrap phần dư, từ đó tạo ra các biến phụ thuộc bootstrap.
Với ngưỡng đầu tiên được xem xét, các biến phụ thuộc bootstrap này lần lượt được hồi quy với phương trình có ngưỡng và không ngưỡng, F1 và F0 sẽ được so sánh.
- Tính tỷ lệ số lần F1 > F0, đó chính là giá trị p-value dùng để xem xét chấp nhận hay bác bỏ ngưỡng.
Nếu ngưỡng bị bác bỏ, thực hiện lại tương tự với ngưỡng tiếp theo.
Nếu ngưỡng được chấp nhận, ngưỡng thứ 2 sẽ được xem xét, phần dư của mô hình ngưỡng 1 sẽ được bootstrap, và biến phụ thuộc bootstrap sẽ được hồi quy theo mô hình 1 ngưỡng và 2 ngưỡng, F2 và F1 được so sánh và tỷ lệ p-value được tìm ra.
Các bước tương tự với ngưỡng 3.
Nếu quá trình bootstrap được lặp lại càng nhiều lần thì độ chính xác của việc chấp nhận hay bác bỏ ngưỡng càng cao. Thông thường, như một số nhà nghiên cứu đã từng áp dụng, 1000 lần bootstrap là một con số khá lý tưởng. Tuy nhiên, do hạn chế về mặt thời gian, tác giả chỉ bootstrap 500 lần đối với mỗi ngưỡng cần kiểm định.
TÓM TẮT CHƯƠNG 3
Chương 3 giới thiệu mẫu nghiên cứu, các mô hình sử dụng để phân tích mối quan hệ giữa thanh khoản và tỷ suất sinh lợi và cách đo lường các biến được sử dụng trong mô hình. Tác giả trình bày cụ thể các bước thực hiện hồi quy và kiểm định.