Chương 2. Tổng bình phương của hai số nguyên 20
2.3 Số nguyên nào là tổng của hai bình phương?
Sau khi giải bài toán tổng của hai số bình phương với n là số nguyên tố.
Bây giờ ta sẽ xét trường hợp khi n không là số nguyên tố. Định lý sau là cần thiết để chứng minh định lý hai bình phương.
Định lý 2.10 (Định lý Fermat bé). Nếu p là một số nguyên tố và a là một số nguyên dương sao cho p∤ a thì ap−1 ≡ 1 (mod p).
Chứng minh. Xét p − 1 số nguyên a,2a, ...,(p− 1)a. Đầu tiên lưu ý rằng không có số nào trong những số nguyên này chia hết cho p: nếu p | ka với 1 ≤ k ≤ p− 1 thì do p ∤ a nên (từ Định lý 1.23) suy ra p | k, mâu thuẫn với 1 ≤ k ≤ p − 1. Cũng lưu ý là không có bất cứ hai số nào trong các số nguyên này lại đồng dư với nhau khi chia cho p: nếu ka ≡ ja (mod p) với 1 ≤ k < j ≤ p−1 thì do p là số nguyên tố và p ∤ a nên gcd(p, a) = 1. Do đó theo tính chất của phép toán đồng dư, ta có thể viết k ≡ j (mod p), điều này lại mâu thuẫn với 1≤ k < j ≤ p−1.
Vì các số nguyên a,2a, ...,(p− 1)a là tập gồm (p−1) số nguyên từng đôi một không đồng dư với nhau khi chia cho p, nên có thể thấy rằng
a.2a...(p−1)a ≡ 1.2...(p−1) (mod p)
⇔ap−1×(p−1)!≡ (p−1)! (mod p).
Do (p−1)! và p nguyên tố cùng nhau nên ap−1 ≡ 1 (mod p)).
Bổ đề 2.11. Cho a, b là hai số nguyên dương sao cho cả a và b đều có thể viết thành tổng của hai số bình phương. Khi đó, tích ab có thể viết thành tổng của hai số bình phương theo hai cách khác nhau.
Chứng minh. Giả sử a =x2+y2 và b = z2+t2 với x, y, z, t∈ Z . Khi đó ab = (x2+y2)(z2+t2)
= x2z2+x2t2+y2z2+y2t2
= (x2z2+ 2xyzt+y2t2) + (x2t2−2xyzt+y2z2) ab = (xz+yt)2+ (xt−yz)2
ab = (xz−yt)2+ (xt+yz)2.
Ví dụ 2.12. a = 5 và b = 13 có thể biểu diễn thành tổng của hai số bình phương:5 = 22+ 12 và 13 = 32+ 22. Khi đó theo Bổ đề 2.11, tích số 5.13 = 65 có thể biểu diễn thành tổng của hai số bình phương theo hai cách như sau:
65 = 5.13 = (22+ 12).(32+ 22)
= (2.3 + 1.2)2+ (2.2−1.3)2 = 82+ 12
= (2.3−1.2)2+ (2.2 + 1.3)2 = 42+ 72. Một ví dụ khác: a = 10 = 32+ 12 và b = 17 = 42+ 12. Khi đó
170 = 10.17 = (32+ 12).(42+ 12)
= (3.4 + 1.1)2+ (3.1−1.4)2 = 132+ (−1)2
= (3.4−1.1)2+ (3.1 + 1.4)2 = 112+ 72.
Nhận xét 2.13. Bổ đề trên cho thấy một hợp số mà mọi nhân tử của nó có thể được viết thành tổng của hai số bình phương thì số đó cũng có thể được viết thành tổng của hai số bình phương. Như vậy, ta biết rằng bất kỳ một số là tích của các thừa số nguyên tố dạng4k+ 1 có thể được biểu diễn thành tổng của hai số bình phương. Như ta sẽ thấy trong "Định lý hai số bình phương"
nêu dưới đây, một số có thể được viết thành tổng của hai số bình phương cả khi số đó bao gồm các thừa số nguyên tố dạng 4k + 3, miễn là các thừa số nguyên tố đó có lũy thừa bậc chẵn.
Định nghĩa 2.14. Ta gọi số nguyên dương a là khác bình phương (square free) nếu n2 ∤ a với mọi n > 1, n ∈ Z. Chẳng hạn, a = 1 là số nguyên khác bình phương. Số a bất kỳ là khác bình phương khi a = p1p2...pk, trong đó p1, p2, ..., pk là các số nguyên tố phân biệt.
Định lý 2.15 (Định lý hai bình phương). Số nguyên dương n là tổng của hai số bình phương khi và chỉ khi mỗi thừa số nguyên tố pcủa n màp≡ 3 (mod 4) xuất hiện với số mũ chẵn trong phân tích thừa số nguyên tố của n.
Ví dụ 2.16. Ta có234 = 2.32.13là tổng của hai bình phương (234 = 152+ 32), còn 78 = 2.3.13 thì không. Cũng vậy, 90 = 2.5.32 có biểu diễn 90 = 92 + 32, nhưng 30 = 2.5.3 không biểu diễn được thành tổng của hai số bình phương.
Chứng minh. Giả sử n= s2m với s, m∈ Z và m là số khác bình phương.
“⇒” Giả sử rằng mỗi thừa số nguyên tố p ≡ 3 (mod 4) xuất hiện với lũy thừa bậc chẵn trong phân tích thừa số nguyên tố của n.
Do mỗi thừa số nguyên tố p của n sao cho p ≡ 3 (mod 4) và p xuất hiện với lũy thừa bậc chẵn nên p ∤ m. Vì thế mỗi thừa số nguyên tố p0 > 2 mà là ước của m phải thỏa mãn p0 ≡ 1 (mod 4), do đó theo Định lý 2.9, mỗi p0 > 2 như thế viết được thành tổng của hai số bình phương. Ta biết rằng 2 có thể viết thành tổng của hai số bình phương: 2 = 12 + 12. Theo Bổ đề 2.11, nếu số m là tích của các số nguyên dương có thể viết thành tổng của hai số bình phương thì m cũng có thể được biểu diễn thành tổng của hai số bình phương. Như vậy m = x2 +y2 với x, y ∈ Z. Bây giờ ta có thể biểu diễn n = s2m = s2 × (x2 + y2) = (sx)2 + (sy)2, do đó n là tổng của hai số bình phương.
“⇐” Giả sử n = x2+y2. Nếu m = 1 thì n = s2, do đó mỗi số nguyên tố p trong phân tích thừa số nguyên tố của n mà p ≡ 3 (mod 4) xuất hiện với lũy thừa bậc chẵn. Bây giờ giả sửm > 1. Ta sẽ chỉ ra với mọi số nguyên tố lẻ pthỏa mãn p | m thì p ≡ 1 (mod 4). Chú ý rằng x và y có thể được viết dưới dạng x = dx1 và y = dx2, trong đó x1 và x2 nguyên tố cùng nhau và d = gcd(x, y).
Khi đó ta có
n=d2×(x21+x22), n
d2 =x21+x22, s2m
d2 =x21+x22,
Vì m là số khác bình phương nên d2 | s2 và s2 = td2 với t∈ Z. Từ đó tm =x21+x22.
Như vậy ta có p |m, do đó p| tm= x21+x22. Cho nên ta có đồng dư thức x21+x22 ≡ 0 (mod p) hay x21 = −x22 (mod p).
Ta sẽ chỉ ra rằngp≡ 1 (mod 4). Thật vậy, giả sử ngược lại: p≡ 3 (mod 4)với k ∈ Z. Khi đó p−1 = 4k+ 2 = 2(2k+ 1) nên ta có
x21 = −x22 (mod p),
(x21)2k+1 = (−1)2k+1×(−x22)2k+1 (mod p),
xp−11 =−xp−12 (mod p).
Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng dox1, x2 nguyên tố cùng nhau nênp không thể là ước chung của x1 và x2. Thật vậy, giả sử trái lại: p| x1. Nếu thế thì p| x21. Ta biết rằng p| tm nên p| (tm−x21) =x22 theo Định lý 1.19. Vì p là số nguyên tố nên p| x2 mâu thuẫn với gcd(x1, x2) = 1. Do vậy p∤ x1 và p∤ x2. Áp dụng Định lý bé Fermat ta có xp−11 ≡ 1 (mod p), do đó ta nhận được 1≡ −1 (mod p), mâu
thuẫn với p > 2. Như vậy p≡ 1 (mod 4).