Chương 3. Một số bài toán có liên quan 38
3.4 Bài toán áp dụng
Bài toán 3.5. Choa, b, c là một nghiệm nguyên bất kỳ củaa2+b2 = c2. Chứng minh rằng 5| abc.
Lời giải. Ta có thể giả thiết a, b, c tạo nên một bộ số Pythagoras. Không giảm tổng quát, giả sửb là số chẵn. Khi đó, tồn tại r, ssao cho a =r2−s2, b= 2rs, c = r2 +s2. Từ đó abc ≡ 2rs(r4 −s4). Nếu r hoặc s chia hết cho 5 thì
chứng minh xong. Nếurvàskhông chia hết cho 5 thìr4 ≡ 1 (mod 5)vàs4 ≡ 1 (mod 5). Do đó r4−s4 ≡ 1−1≡ 0 (mod 5). Như vậyr4−s4 chia hết cho 5.
Bài toán 3.6. Tìm x, y, z ∈ Z thỏa mãn phương trình x2 + y2 = z4 và gcd(x, y, z) = 1.
Lời giải. Để ý rằng x, y, z2 tạo nên một bộ số Pythagoras. Giả thiết y là số chẵn. Trường hợpxlà số chẵn cũng tương tự. Khi đó tồn tạir, svớigcd(r, s) = 1 và có tính chẵn lẻ khác nhau sao cho x = r2 −s2, y = 2rs, z2 = r2 +s2. Để ý rằng r, s, z cũng là một bộ số Pythagoras. Bây giờ giả sử r là số chẵn. Khi đó, tồn tại hai số nguyên p, q khác tính chẵn lẻ với gcd(p, q) = 1 và sao cho r = 2pq, s=p2−q2, z =p2+q2. Vì thế ta kết luận rằng
x= (2pq)2−(p2−q2)2 = −p4+ 6p2q2−q4, y = 4pq(p2−q2), z = p2+q2. Tương tự, khi s là số chẵn ta kết luận s = 2pq, r = p2−q2, z =p2+q2. Do đó
x = (p2−q2)2−(2pq)2 = p4−6p2q2+q4, y = 4pq(p2−q2), z =p2+q2. Các nghiệm khác nhận được từ các nghiệm đã có bằng cách tráo đổix và y.
Bài toán 3.7. Choa, b, c là một nghiệm nguyên bất kỳ củaa2+b2 = c4. Chứng minh rằng 7| abc.
Lời giải.Từ lời giải bài toán 3.6 ta biết rằng tồn tại hai số nguyên pvà q sao cho
abc= ±4pq(p2−q2)(p2+q2)(p4+p2q2+q4−7p2q2)
Lấy modulo 7 biểu thức này bằng 4pq(p2−q2)(p6+q6). Khi 7| p hay 7| q thì chứng minh xong. Khi 7 không là ước của pq, ta có p6 = q6 (mod 7). Do đó p6 =q6 = 1−1 = 0 (mod 7) và kết luận được chứng minh.
Bài toán 3.8. Chứng minh rằng không tồn tại tam giác vuông với độ dài các cạnh là số nguyên và diện tích của tam giác là một số bình phương.
Lời giải. Giả sử trái lại rằng tồn tại một tam giác (a, b, c) như thế. Khi đó a2+b2 =c2 và ab = 2d2
với d nguyên dương nào đó. Không giảm tổng quát, ta có thể giả thiết a > b, bởi vì trường hợp a =b không thể xảy ra do không thể có 2a2 = c2. Vì vậy
c2+ (2d)2 = (a+b)2 và c2−(2d)2 = (a−b)2
trái với điều đã chứng minh được rằng không tồn tại hai số nguyên dương sao cho tổng và hiệu hai bình phương của chúng cũng là các số bình phương.
Bài toán 3.9. Chứng minh rằng 7 không thể biểu diễn được thành tổng của ba số bình phương (tức là g(2)> 3).
Kết luận chương, chương này đã giới thiệu bài toán Waring về biểu diễn số nguyên thành tổng của nhiều số bình phương, bộ số Pythagoras(x2+y2 = z2) và định lý lớn Fermat về sự không tồn tại nghiệm nguyên khác không của phương trình xn +yn = zn, với mọi n > 2. Cuối chương giới thiệu một số bài toán của lý thuyết số hiện chưa có lời giải: Giả thuyết Goldbach, giả thuyết số nguyên tố sinh đôi, bài toán số đồng dư, bài toán số nguyên tố dạng n2 + 1.
Cuối chương nêu một số bài tập.
Kết luận
Luận văn đề cập tới một trong những bài toán tiêu biểu của lý thuyết số:
bài toán biểu diễn số nguyên thành tổng hai bình phương của số nguyên. Đây là bài toán hấp dẫn, thu hút nhiều người quan tâm tìm hiểu, học tập và nghiên cứu.
Luận văn đã trình bày những nội dung chính sau:
1. Một số khái niệm cơ bản của lý thuyết số: thương và phần dư trong phép chia nguyên, ước chung và ước chung lớn nhất lớn nhất của các số nguyên, số nguyên tố và hợp số, đồng dư và các phép toán đồng dư, số nguyên Gauss và vành Z[i] các số nguyên Gauss.
2. Bài toán biểu diễn một số nguyên dương thành tổng của hai số bình phương, các định lý về tính chất đặc trưng của các số nguyên tố, các số nguyên dương biểu diễn được thành tổng của hai số bình phương. Số cách biểu diễn một số nguyên dương thành tổng của hai số bình phương.
3. Bài toán Waring về biểu diễn số nguyên thành tổng của nhiều số bình phương, bộ số Pythagoras(x2+y2 = z2) và định lý lớn Fermat về sự không tồn tại nghiệm nguyên khác không của phương trình xn+yn =zn, với mọi n > 2.
4. Một số bài tập áp dụng, giúp hiểu sâu hơn những nội dung đã trình bày.