Chương 3. Một số bài toán có liên quan 38
3.2 Bộ số Pythagoras và bài toán Fermat
Ta nhận xét rằng mọi số chính phương (perfect square) là tổng của hai số bình phương của các số nguyên: x2 =x2+ 02. Thật ra, đó là một trong những
"trường hợp cơ bản" mà ta đã dùng trong chứng minh Định lý 2.15 để xác định xem những số nguyên dương nào là tổng của hai số bình phương. Nhưng vấn đề sẽ rất khác nếu ta đặt câu hỏi: những số chính phương nào là tổng của hai số bình phương của các số nguyên dương? Số nhỏ nhất như thế là 25 = 42+ 32 = 52.
Phương trình x2 +y2 = z2 gắn liền với Pythagoras, nhà toán học và triết học cổ Hy Lạp. Ông không những đã chứng minh định lý nổi tiếng của mình khẳng định rằng đẳng thức này đúng nếu z là cạnh huyền của một tam giác vuông, còn x và y là hai cạnh còn lại, mà ông còn nêu ra qui tắc để tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình. (Nghiệm nổi tiếng 32 + 42 = 52 tạo ra một tam giác vuông mà từ trước thời Pythagoras đã được các nhà vẽ bản đồ địa chính sử dụng. Lấy một vòng dây có 12 nút thắt với khoảng cách đều nhau. Giữ cố định các nút thắt thích hợp và kéo căng vòng dây sẽ tạo ra một tam giác vuông, Hình 3.1).
Hình 3.1: Dùng vòng dây để dựng tam giác vuông
Định lý 3.3. Cho x, y và z là các số nguyên dương thỏa mãn x2 +y2 = z2. Khi đó, tồn tại các số nguyên dương d, s, t với gcd(s, t) = 1 sao cho ta có (đổi chỗ x và y, nếu cần) x = 2std, y = (s2−t2)d, z = (s2+t2)d.
Chú ý rằng khi d= 1, s = 2, t= 1 cho nghiệm (x, y, z) = (4,3,5).
Chứng minh.Ta sử dụng nguyên lý sau: nếu ab= c2 vàgcd(a, b) = 1 thìa và b là số chính phương (chẳng hạn, a = 4, b = 9, c = 6). Với một ước nguyên tố bất kỳ của ab (như 2, 3) mà có lũy thừa bậc chẵn phải xuất hiện chỉ ở a hoặc b và không xuất hiện ở số cồn lại thì mỗi một trong a và b là tích các lũy thừa
chẵn của các ước nguyên tố (a = 22, b = 32), do đó a và b là số bình phương.
Tổng quát hơn, nếu tích của một số bất kỳ các nhân tử từng đôi một nguyên tố cùng nhau là một số bình phương thì mỗi nhân tử là một số bình phương.
Theo cách tương tự, nếu ab = c2, trong đó gcd(a, b) = 2, thì a = 2m2, b = 2n2 với m, n là số nguyên. (Thay a và b bằng a′ = a/2 và b′ = b/2, a′ và b′ là nguyên tố cùng nhau và tích a′b′ = ab/4 = (c/2)2, nên a′ và b′ là một số bình phương).
Bây giờ giả sử x2+y2 = z2.
• Một nhân tử chung bất kỳ của hai trong ba số x, y, z phải là ước của số thứ ba, do đó ta có thể chia cả ba số x, y, z cho ước chung đó và nhận được nghiệm nhỏ hơn. Vì thế ta có thể giả thiết x, y, z từng đôi một nguyên tố cùng nhau, bằng cách chia cả ba số cho ước chung lớn nhất của chúng (chẳng hạn là d).
• Vì các số bình phương có phần dư bằng 0 hoặc 1 khi chia cho 4, nên phương trình x2+y2 = z2 lấy theo modulo 4 chỉ có các nghiệm là 0 + 0 = 0 hoặc 0 + 1 = 1. Nhưng do các biến từng đôi nguyên tố cùng nhau nên đó là nghiệm thứ hai, nghĩa là bằng cách đổi chỗ x và y nếu cần, ta có thể giả thiết x chẵn, y và z lẻ.
• Bây giờx2 = z2−y2 = (z+y)(z−y) vàgcd(z+y, z−y) = 2. (Do cả z+y vàz−y là số chẵn nên chúng có ước chung là 2 và nếu d là ước chung lớn nhất của chúng thì d là ước của cả (z+y) + (z−y) = 2z và (z+y)−(z−y) = 2y, do đód = 2). Từ đóz−y = 2t2 vàz+y = 2s2 với các số nguyên svà t nguyên tố cùng nhau.
• Cuối cùng, x2 = 4s2t2, do đó x = 2st, y = (z +y)−(z −y)
2 = s2−t2, z = (z+y) + (z−y)
2 =s2+t2
Bộ ba Pythagoras còn có thể tính theo s, tnguyên tố cùng nhau như ở bảng sau:
s t x=st y= s2−t2
2 z = s2+t2 2
3 1 3 4 5
5 1 5 12 13
7 1 7 24 25
9 1 9 40 41
5 3 15 8 17
7 3 21 20 29
7 5 35 12 37
9 5 45 28 53
9 7 63 16 65
Pierre de Fermat (1636) đã viết một ghi chú bên lề cuốn sách của ông về lý thuyết số của nhà toán học Hy Lạp Diophantus. Đoạn ghi chú ở đối diện với chỗ mà Diophantus trình bày định lý Pythagoras. Fermat tuyên bố rằng ông đã có một chứng minh thật tuyệt vời là: với bất kỳ n > 2, phương trình xn +yn = zn không có nghiệm nguyên dương, nhưng lề sách này lại quá hẹp để chứa nó. Phát hiện trên của Fermat thường được gọi là định lý cuối cùng của Fermat (Fermat’s Last Theorem).
Các nhà toán học đã gặp thách thức khi cố gắng tìm chứng minh của Fermat. Fermat đã đưa ra chứng minh cho n= 4. Năm 1770, Euler đã chứng minh (mặc dù chưa hoàn chỉnh) trường hợpn= 3. Dirichlet và Legendre chứng minh cho n = 5 năm 1820 và Lamé chứng minh cho n = 7 năm 1839. Cuối cùng, Andrew Wiles công bố lời giải vào mùa hè năm 1993 và sửa lại năm 1995, với lời giải dài 200 trang. Nhưng chứng minh đó rất phức tạp và đã sử dụng đến nhiều khái niệm chưa được phát hiện ra ở thời Fermat. Ngoài ra, không thấy có bằng chứng nào về một chứng minh như thế được tìm ra trong các bài báo của Fermat. Nói chung, ngày nay người ta tin rằng Fermat đã không có một chứng minh nào, có lẽ Fermat đã nghĩ rằng ông có một chứng minh, nhưng trong đó có sai sót.
Trong luận văn nhỏ này chúng tôi không thể trình bày chứng minh của
Wiles. Song để minh họa chúng tôi xin nêu lại chứng minh của Fermat cho trường hợp n= 4.
Định lý 3.4. Phương trình x4+y4 = z4 không có nghiệm nguyên dương x, y, z.
Chứng minh. Trên thực tế ta khảo sát một phương trình hơi khác một chút, cụ thể là x4 + y4 = z2. Nếu ta chỉ ra được rằng phương trình này không có nghiệm nguyên dương thì phương trình của định lý cũng không có nghiệm nguyên dương, vì nếu x, y, z thỏa mãn phương trình trong định lý thì x, y, z2 sẽ thỏa mãn phương trình vừa sửa ở trên.
Giả sử rằng x4+y4 =z2, trong đóx, y, z là các số nguyên dương. Ta có thể giả thiết rằng đó là nghiệm với giá trị z nhỏ nhất có thể. Khi đó x, y, z từng đôi một nguyên tố cùng nhau, vì nếu tồn tại ước nguyên tố chung pcủa bất kỳ hai trong số chúng thì p là ước của số thứ ba và ta có thể thay nghiệm (x, y, z) bằng (x/p, y/p, z/p2). Do đó một trong x2 và y2 là số chẵn và không mất tính tổng quát, ta giả thiết x là số chẵn.
Do (x2)2+ (y2)2 = z2 nên ta có thể áp dụng định lý Pythagoras để kết luận rằng
x2 = 2st, y2 =s2−t2, z =s2+t2, trong đó gcd(s, t) = 1.
Áp dụng định lý Pythagoras vào phương trình t2+y2 = s2 (nhớ rằng y là lẻ), ta có t = 2uv, y =u2 −v2, s = u2+v2, trong đó gcd(u, v) = 1. Từ đó suy ra gcd(u, u2 +v2) = gcd(v, u2 +v2) = 1. Khi đó, x2 = 2st = 4uv(u2 +v2) và uv(u2 + v2) là một số bình phương. Vì các thừa số từng đôi một nguyên tố cùng nhau, nên ta có u =m2, v = n2 và u2+v2 = r2. Như vậy
m4+n4 = r2.
Nhưng r≤ u2+v2 =s < s2+t2 = z, do đó ta có (m, n, r) là một nghiệm của phương trình ban đầu nhỏ hơn nghiệm (x, y, z) mà ta đã giả thiết đó là nghiệm với giá trị z nhỏ nhất. Mâu thuẫn này cho thấy rằng không tồn tại nghiệm
nguyên dương của phương trình x4+y4 = z4.