Định lý ánh xạ đo được Riemann là định lý được chứng minh vào năm 1960 bởi Lars Ahlfors và Lipman Bers trong giải tích phức và lý thuyết hàm hình học. Đây không phải là mở rộng trực tiếp định lý ánh xạ Riemann. Nó là kết quả liên quan các ánh xạ tựa bảo giác và nghiệm của phương trình Beltrami. Định lý của Alhfors và Bers phát biểu rằng: Nếu mlà hàm đo được bị chặn trên với m¥ £ 1 thì tồn tại nghiệm duy nhất f của phương trình
Beltrami z
z
f
= f
m với f là đồng phôi tựa bảo giác trên cố định 0, 1 và ¥ . Một kết quả tương tự cũng đúng nếu thay bởi đĩa đơn vị D.
Cho ( )d z u z dz
=
m là một dạng Beltrami trên với sup ( ) 1u z < . Khi đó tồn tại một phép đồng phôi tựa bảo giác
:ắắđ
j thỏa ả =
ả
j m
j
Kết quả trên còn có thể phát biểu như sau: “Mọi cấu trúc hầu phức đo được s trên một mặt Riemann X có tỉ số co dãn bị chặn theo cấu trúc phức ban đầu s0 là khả tích”.
Theo hai phát biểu trên đã chỉ ra, các dạng Beltrami và các cấu trúc hầu phức là hai cách nói khác nhau về cùng một đối tượng. Trong luận văn này, chúng ta sử dụng cả hai tên gọi trên, với tên gọi cấu trúc hầu phức nghe có vẻ hình học hơn.
Cho một mặt định hướng X với một cấu trúc hầu phức s nghĩa là ta cho mỗi xẻ X (đụi khi là hầu khắp nơi cỏc xẻ X ) một phộp nhõn với i trong T Xx , biến T Xx thành một không gian vectơ phức tương thích với hướng đã định.
Một ỏnh xạ - khả vi f X: ắắđ là chỉnh hỡnh tại x đối với s nếu
x : x
T f T X ắắđ là - tuyến tớnh với cấu trỳc phức sx trờn T Xx và cấu trỳc phức chuẩn trên .
Một cấu trúc hầu phức s xác định hầu khắp nơi trên X gọi là khả tích nếu với mọi xẻ X , cú một lõn cận mở U của x trong X và một đồng phụi
:U ắắđV
j , trong đó V là tập mở trong , j thuộc không gian Sobolev ( )
H U1 (tức đạo hàm của j thuộc L U2( )) và chỉnh hình với s tại hầu hết
các điểm của U. Những ánh xạ như vậy được sử dụng như các bản đồ với atlas biến X là một đa tạp - giải tích (đa tạp phức).
Một cấu trúc hầu phức được hình dung như là một trường các elip vô cựng bộ: với mỗi xẻ X , gỏn một elip u- 1( )S1 è T Xx , trong đú
: x
u T X ắắđ là ỏnh xạ - tuyến tớnh với cấu trỳc sx.
Một trường của các elip vô cùng bé xác định một cấu trúc hầu phức; Hai trường ( )Ex x X
ẻ và ( )Ex x X
 ẻ xỏc định cựng một cấu trỳc hầu phức nếu và chỉ nếu E¢x là - vị tự (homothetic) của Ex với hầu hết các x.
Nếu X, XÂ là cỏc mặt định hướng và j :XÂắắđX thuộc lớp C1 thỡ một cấu trúc hầu phức s trên X có thể được kéo ngược lại thành một cấu trúc hầu phức j *s trởn một tập mở Wđè Xđ, mỏ trởn đụ Jacobi( )j > 0 như sau: cho s được xác định bởi một trường các elip vô cùng bé ( )Ex thì j *s được xác định bởi (Ex¢)x W
Âẻ Â
¢ , trong đó E¢=x¢ (Tx¢j )- 1(Ej ( )x¢).
Nếu f chỉnh hình tại x= j ( )x¢ đối với s thì f j chỉnh hình tại x¢
đối với j *s .
Cho U là một tập mở trong và s0 là một cấu trúc phức ban đầu của U. Một cấu trúc hầu phức mới trên s trong U có thể được xác định bởi dạng Beltrami của nó ud z
= dz
m .
Với mỗi x, ta có ( ) f ( ) f ( )
u x x x
z z
ả ả
= ả ả , trong đú f là một hàm bất kỡ chỉnh hình tại x đối với s .
Tương ứng giữa dạng Beltrami và các elip như sau: argument của u x( ) bằng hai lần argument của trục lớn của Ex và 1
( ) 1
u x k k
= -
+ với k³ 1 là tỉ số
độ dài của các trục. Tỉ số k này là tỉ số co dãn của s tại x theo cấu trúc phức chuẩn s0.
Cho U, UÂ là hai tập mở trong và j :UÂắắđU là vi phụi. Nếu s là cấu trúc hầu phức được xác định trên U bởi dạng Beltrami u z( )d z
= dz
m , cấu
trúc s¢= j *s được xác định bởi w w vd
¢ = ¢= d
j m m , trong đó ( )
1 u a
v au
= + +
l ,
với
w w
ổả ử ả
= ỗ ữ
ả ả
ố ứ
j j
l ,
w w a
ổ ử
ổả ử ả
=ỗ ữ ỗ ữ ốả ứ ốả ứ
j j
.
Nếu j chỉnh hình đối với cấu trúc ban đầu thì s và s¢ có cùng tỉ số co dãn.
Liên quan đến sự phụ thuộc vào các tham số, ta sẽ sử dụng hai kết quả sau: Cho U là tập mở, bị chặn trong .
a) Cho n un d z
= dz
m là một chuỗi các dạng Beltrami trên U và ud z
= dz m
là một dạng Beltrami khác. Giả sử có số m<1 sao cho u ¥ £ m và
n ,
u m n
Ơ Ê " ẻ , un ắắđu theo chuẩn trong L1; j :U ắắđD là một đồng phụi tựa bảo giỏc sao cho ả =
ả
j m
j . Khi đó tồn tại một dãy ( )j n các đồng phôi tựa bảo giác từ U vào D sao cho n n
n
ả =
ả
j m
j với mỗi n và
n ắắđ
j j theo chuẩn trong U .
b) Cho L là một tập mở trong n và d z u dz
ẻ L
ổ ử
ỗ = ữ
ốml l ứl là một họ cỏc dạng Beltrami. Giả sử ỏnh xạ l ul ( )z chỉnh hỡnh với hầu hết zẻ U và cú
số m<1 sao cho u m
¥ £
l , với mỗi l ẻ L . Với mỗi l , mở rộng ml lờn với ml = 0 trờn \U . Cho j l :ắắđ là đồng phụi tựa bảo giỏc duy nhất thỏa ả =
ả
l l l
j m
j và j ( )z - zắắđ0 khi z ắắđƠ . Khi đú, (l ,z)(l j, l ( )z ) là một đồng phôi từ { }l ´ lên chính nó, và với mỗi
zẻ , ỏnh xạ l j l ( )z là giải tớch (chỉnh hỡnh).