3.1. H ọ giải tích các ánh xạ tựa đa thức
3.1.4. Phát bi ểu và chứng minh các định lý chính
Trong phần còn lại của mục này, ta giả sử có một họ giải tích
{ fl :UÂl Ul}l ẻ L
= ắắđ
của các ánh xạ tựa đa thức bậc d. Ta cũng giả sử L
co rút được và tubing T của đã có.
Định nghĩa
( ), , ( ') ( )
o
R R R
T D T D Q T Q
= L ´ ¢= L ´ = ¢= L ´
A A A \ A
Đặt y = T- 1. Lặp lại quá trình xây dựng trong chứng minh mệnh đề 2.4 và 2.5, ứng với mỗi l , ta tìm được một đa thức Pl bậc d nguyên bản và không chứa số hạng bậc d- 1, một tương đương lai j l của fl với Pl, xác định trên Ao l .
Nếu d= 2, đa thức Pl có dạng z z2+ c l( ), và điều này xác định một ỏnh xạ :c L ắắđ.
* Các bước xây dựng
- Xét dạng Beltrami l,0 l l
m = ảy
ảy xỏc định trờn Ql.
- Cho m =l,n ( )fln * ml,0 là dạng Beltrami tương ứng trên Ql,n= f- n( )Ql . - Định nghĩa dạng Beltrami ml trên
o
Al bằng cách lập ml( )z = ml,n( )z nếu zẻ Ql,n và ml ( )z = 0 nếu zẻ Kl.
- Theo định lý ánh xạ đo được Riemann, dạng ml xác định một cấu trúc phức sl trờn Al . Ánh xạ yl :Qo l ắắđQo R chỉnh hỡnh đối với sl trong miền xác định và so trong miền giá trị.
- Dán
o
Al với cấu trúc sl vào ¥ \DR bằng cách sử dụng yl , ta có một mặt Riemann Sl đồng phôi với S2. Ánh xạ fl và P zo: zd được dán với nhau để tạo ra một ỏnh xạ giải tớch gl :S ắắđ Sl l.
- Theo định lý đơn trị hóa, tồn tại duy nhất một phép đẳng cấu
:
l l ¥
f S ắắđ tiếp xỳc với ỏnh xạ đồng nhất tại Ơ sao cho đa thức Pl = f l gl f -l1
không có số hạng bậc d- 1; j l là hạn chế của f l trên
o
Al .
Chúng ta lưu ý ở bước 3, ánh xạ l ml không nhất thiết liên tục, thậm chí đối với tôpô yếu trên L¥ . Nói chung, ánh xạ này gián đoạn tại những điểm fl có một chu trình (vòng tuần hoàn) trung hòa hữu tỷ không ổn định. Điều này liên hệ gần gũi với việc ánh xạ l Kl không liên tục tại những điểm như vậy đối với tôpô Hausdorff.
Nếu không thích kĩ thuật cắt, dán ở bước 4, 5, 6, ta có thể dùng cách sau.
Mở rộng ml thành một vi phôi yl từ Aol lên DR. Cho ql là cấu trúc phức trên DR có được bằng cách thay ml bởi yl . Cho vl là dạng Beltrami trên
¥ xác định ql trên DR và mở rộng bởi 0. Tồn tại một đồng phôi tựa bảo giỏc f l :ắắđ sao cho
à ( ) 0
v v z z z khi z
l
l l
l
ảf = f - đ đ đ q
ảj
Định nghĩa gl :ắắđ như sau
( )
1
' '
trên trên \
R d
R
g f D
g z z D
-
l l l l
l
ì = y y
ùớ
ù =
ợ
Khi đó j l = f l yl và Pl = f l gl f-l1 sai khác một liên hợp bởi một phép tịnh tiến.
Định lý 2
Cho  là tập mở của lớp phân hoạch Mane-Sad-Sullivan (M.S.S) thứ nhất của L . Khi đú j l à v Pl phụ thuộc liờn tục theo l với l ẻ  , Pl phụ thuộc giải tớch vào l với l ẻ  ầMo .
Định lý này suy ra từ mệnh đề 3.3 và hệ quả 3.2 bên dưới.
Định lý 3
Nếu d= 2 thỡ ỏnh xạ :c L ắắđ liờn tục trờn L , giải tớch trờn Mo. Tính liên tục của c có được do mệnh đề 3.5, tính giải tích có được do hệ quả 3.2 bên dưới.
Mệnh đề 3.2 a)
o
M Ì Â
b) Nếu d= 2 thỡ Â = L \ảM. Chứng minh
a) Chọn l ẻo Mo. Giả sử phản chứng rằng flocú một điểm tuần hoàn trung hòa không ổn định ao chu kì là k. Khi đó tồn tại một lân cận V của 0 trong , một ánh xạ giải tích t l( )t từ V vào L và các ánh xạ giải tích
1 1
, ,..., d-
a w w
từ V vào với l( )0 = l o, a( )0 = ao sao cho a( )t là điểm tuần hoàn chu kì k của fl( )t , cú giỏ trị riờng ( )r t với r :V ắắđ* là một hàm giải tớch khỏc hằng, và sao cho w1( )t ,...,wd-1( )t là d- 1 điểm tới hạn của f tl ( ), tẻ V.
Cho ( )tn là dãy trong V hội tụ đến 0 sao cho r( )tn < 1," n. Với mỗi n,
( )tn
a là điểm tuần hoàn hút, vì vậy tồn tại i, j sao cho ( )p i( ( ) )
n
k
j n
fl t+ w t hội tụ về
( )tn
a nhưng khụng chạm a( )tn khi pắắđƠ . Bằng cỏch chọn dóy con, ta có thể giả sử i, j không phụ thuộc vào n.
Vỡ l ( )t ẻ M," ẻt V nờn ta cú dóy ( )up cỏc hàm giải tớch trờn V xỏc định bởi:
( ) k( )p i( ( ))
p t j
u t = fl + w t
Dóy này bị chặn trờn mọi tập con compact của V vỡ up( )t ẻ UÂl( )t . Nếu một dóy con hội tụ đến hàm :h V ắắđ thỡ h t( )o = a( )tn ," n, suy ra h= a. Do đú up( )t ắắđ a( )t ," ẻt V .
Tuy nhiờn, trong V cú điểm t* sao cho p t( )* > 1 và up( )t* ạ a( )t* ," p. Điểm a( )t* là điểm tuần hoàn đẩy và không thể hút dãy up( )t* .
b) Theo hệ quả 3.1, Â è L ả\ M và Mè Â (theo phần a). Ta dựng giả thiết d= 2 để chứng minh L \Mè Â. Với l ẻ L , ỏnh xạ fl cú một điểm tới hạn duy nhất w l( ). Nếu l ẻ L \M thỡ w l ẻ( ) U K'\ l, vỡ vậy fl là hàm hyperbolic và mọi điểm tuần hoàn là đẩy. Suy ra, (L ả\ M)ầP = ặ và vỡ
\M
L mở nên L \MÌ Â .
Mệnh đề 3.3
Trên tập mở Â , cả j l và Pl đều phụ thuộc liên tục theo l . Chứng minh
Ta có l ¥ l,0
m = m ¥ bị chặn trên tập con compact bất kì của L bởi một hằng số nhỏ hơn 1.
Theo định lý ỏnh xạ đo được Riemann, ta cần chỉ ra rằng m ắắđ ml lo
khi l ắắđ lo theo chuẩn trong L1.
Vì m =l limml,n theo từng điểm, với ( )
( )
,
, 1
,
trên , 0 trên
i i
n n
n
f Q i n
A f A
-
l l
l - -
l l l
ì m £
ùớ m =
ùợ =
Vì với mỗi n, dạng ml,n phụ thuộc liên tục theo l đối với chuẩn trong L1, ta chỉ cần chỉ ra rằng
,n l 1
m - ml hội tụ đều về 0 trên bất kì tập con compact của
 . Điều này cũng dẫn đến diện tích của Al,n \Kl hội tụ đều về 0 trên mỗi tập con compact của  .
Chú ý rằng điều này không đúng trên tập con mở bất kì của L giao với T . Thật vậy, với mỗi n, diện tích của Al,n phụ thuộc liên tục theo l nhưng diện tích của Kl gián đoạn với mỗi giá trị của l mà fl có một điểm bất động trung hũa hữu tỷ, khụng ổn định. Chọn l ẻ Âo , dựng kớ hiệu của mệnh đề 3.1, tập tl ( )z = t l( ,z); Vl = t l ( )V ; Bl = Vl Kl; Bl,n= fl- n( )Bl . Tồn tại một lõn cận WÂ của lo với bao đúng compact chứa trong W và pẻ sao cho Al,pè Bl," l ẻ WÂ. Khi đú Al,n p+ è Bl,n, vỡ vậy ta chỉ cần chỉ ra rằng diện tích mn( )l của Bl,n \Kl hội tụ đều về 0 trên mỗi tập con compact của W¢. Ta có
( ) ( )
,n\
o o
n
B K
m Jacobi
l l
l = ò tl .
Đặt
( )
,
2
n\
o o
n
B K
n D
l l
l = ò t .
Hàm nn tạo thành một dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới. Vì tl tựa bảo giác với tỉ số co dãn bị chặn nên tồn tại các số a b, với 0< a< b< ¥ sao cho trên W¢ ta có
( ) ( ) ( )
n n n
an l < m l < bn l
Vỡ mn( )l ắắđ0 từng điểm, nn( )l ắắđ0 từng điểm nờn nn( )l ắắđ0 đều trờn mỗi tập con compact của WÂ, vỡ vậy mn( )l ắắđ0 đều trờn mỗi tập con
compact của W¢.
Ta phát biểu và bỏ qua chứng minh kết quả sau về quỹ tích của tương đương lai.
Mệnh đề 3.4
Cho = (f Ul : Âl ắắđUl); 𝔾= (g Vl : lÂắắđVl) là hai họ giải tớch cỏc ánh xạ tựa đa thức bậc d, được tham số hóa bởi cùng một đa tạp L . Cho  là tập con mở của L được cho bởi phân hoạch M.S.S thứ nhất đối với 𝔽, W là thành phần liên thông của  chứa trong M. Khi đó tập GÌ W các l để fl
và gl tương đương lai là một tập con giải tích phức của W.
Hệ quả 3.2
Pl phụ thuộc giải tớch theo l với l ẻ Mo . Chứng minh
Theo mệnh đề 3.2 a) và mệnh đề 3.3, ỏnh xạ M ắắđE, l Pl là ỏnh xạ liên tục, trong đó E là không gian affine các đa thức nguyên bản bậc d không có số hạng bậc d – 1. Theo mệnh đề 2.6, đồ thị của nó là tập các
(l;Pl)ẻ L ´ E sao cho cú một tương đương lai a của fl và Pl thỏa
( ) 0
i l = . Đây là một không gian con giải tích.
Hệ quả 3.3
Giả sử d= 2 và c là một điểm của tập Mandelbrot M (chuẩn). Khi đó tập ( )
1 c
c- là tập giải tích.
Chứng minh
Cho ℙ là họ (hằng) cácpl = P zc : z2+ c. Tập hợp  đối với ℙ là toàn bộ L . Áp dụng mệnh đề 3.4 cho ℙ và 𝔽 , hệ quả được chứng minh.
Phần còn lại của mục này chỉ ra tính liên tục của ánh xạ Straightening c bậc hai.
Bổ đề 3.1 (đúng cho bậc bất kì)
Chọn l ẻ Lo , cho ( )ln là một dóy trong L hội tụ đến l o. Khi đú tồn tại một dãy con ( )l*k = l( )nk sao cho *
k
Pl hội tụ đến đa thức P và thỏa mãn
*
lk
j hội tụ đều trên mỗi tập con compact của Alo đến một tương đương tựa bảo giác j của flo với P.
Lưu ý
Nếu l ẻ Âo thỡ bổ đề trờn được suy ra từ mệnh đề 2.3, với
P= Plo. Nếu l ẻo T thỡ ảj cú thể khụng triệt tiờu trờn Klo , kể cả khi d= 2. Nếu d³ 3, đa thức P không nhất thiết tương đương lai với flo và có thể phụ thuộc vào việc chọn dãy con.
Chứng minh bổ đề
Vì mọi j ln là các ánh xạ tựa bảo giác với cùng tỉ số co dãn, chúng tạo thành một họ đồng liên tục. Hơn nữa, bất kì tập con compact của Alođược chứa trong tất cả Alnngoại trừ hữu hạn tập hợp. Theo định lý Ascoli, bổ đề
được chứng minh.
Mệnh đề 3.5
Nếu d= 2 thỡ ỏnh xạ :c L ắắđ liờn tục.
Chứng minh
Theo mệnh đề 3.3, c liên tục trên  . Do đó chỉ cần chỉ ra rằng với bất kỡ dóy ( )ln trong L , hội tụ đến một điểm l ẻo T , ta cú thể chọn một dóy con ( )l*k = l( )nk sao cho c l( )*k hội tụ đến c l( )o .
Trước hết ta chứng minh rằng co= c l( )o ẻ ảM . Cho ( )mn là một dóy trong P hội tụ đến lo. Theo bổ đề 3.1, ta có thể chọn một dãy con ( )m*k sao cho c m( )*k hội tụ đến một điểm c¢ sao cho P z¢: z2+ c¢là tương đương tựa bảo giác với P zo: z2+ co.
Với n tựy ý, điểm cÂ= c m ẻ ản ( )n M vỡ P znÂ: z2+ cÂn cú một điểm tuần hoàn trung hũa giống như fmn. Do đú cÂ= limcÂnẻ ảM c; o= c theo mệnh đề 2.7.