Ch ứng minh định lý

Chứng minh phần a) được suy từ mệnh đề 2.4 và 2.5, phần b) được suy ra từ hệ quả 2.2 của mệnh đề 2.6 dưới đây.

2.3.2a. Tương đương ngoài (external equivalence) và ánh xạ ngoài

Cho f U: ÂắắđU và g V: ÂắắđV là cỏc ỏnh xạ tựa đa thức với

f, g

K K là các tập liên thông. Khi đó , f g gọi là tương đương ngoài, (kí hiệu f ext g ) nếu tồn tại các tập mở, liên thông U1, , , U1¢ V V1 1¢ sao cho

1 1

1 1

1 1

1 1 1 1

( ) ; ( )

f g

K U U U

K V V V

f- U U g- V V

¢

Ì Ì Ì

¢ Ì Ì Ì

¢ ¢

= =

và tồn tại một đẳng cấu chỉnh hình

1 1

:U \Kf V \Kg

j ắắđ

sao cho j  f = g j .

Ta sẽ kết hợp một ỏnh xạ tựa đa thức :f UÂắắđU bậc d với một ỏnh xạ giải tớch thực mở rộng, hf :S1ắắđS1 cũng cú bậc d, duy nhất sai khỏc một phộp lấy liờn hợp bởi một phộp quay, ở đõy S1= {zẻ : z < 1} . Ta gọi

hf là ánh xạ ngoài của f .

Trước tiờn ta xõy dựng hf khi Kf liờn thụng. Cho :a U K\ f ắắđW+ là một đẳng cấu, trong đó W+ = {z:1< z < R} và với logR là môđun của

\ f

U K , thỏa mãn ( ) 1a z ® khi d(z K; f )® 0. Đặt W+¢= a(U¢\Kf)

: Wh+ = a f a- 1 +ÂắắđW+

Cho 1

:z

 z

t là phép đối xứng qua đường tròn đơn vị.

Đặt W- = t(W+ ); (W-¢= t W+¢); W = W+ ÈW- È S1; W¢= W+¢ÈW-¢È S1 Theo nguyên lý phản xạ Schwarz, h+ mở rộng thành một ánh xạ giải tích

: W W

h Âắắđ , hạn chế của h trờn S1 là hf . Ánh xạ này là ỏnh xạ mở rộng mạnh. Thật vậy, h W : đẼW lỏ một đẳng cấu vỏ h- 1:W  ẼWđè W lỏ co rỷt mạnh đối với mêtric Poincare trên W. Mêtric này hạn chế thành một mêtric có dạng a dz với a là hằng trên S1.

Trong trường hợp tổng quát (Kf không nhất thiết liên thông), ta xây dựng một mặt Riemann T, một tập mở Tđè T vỏ một õnh xạ giải tợch

:

F TÂắắđT như sau: Cho Lè UÂ là một tập liờn thụng, compact chứa

1( )

f- U¢ và các điểm tới hạn của f sao cho X0= U L\ liên thông. Cho Xn là khụng gian phủ của X0 bậc dn, ρ :n Xn+1ắắđXn; π :n Xn ắắđX0 là cỏc ánh xạ chiếu. Đặt X là hợp rời của các Xn. Với mỗi n, chọn một ánh xạ nâng của f :

fn:π ( \ )-n1 UÂ L ắắđXn+1

Khi đó T là thương của X theo quan hệ tương đương đồng nhất x với

f xn( ), " ẻx UÂ\L, " =n 0, 1, .... Tập mở TÂ là hợp cỏc ảnh của , 1, 2, ...

Xn n= và F T: ÂắắđT được cảm sinh từ rn.

Trong mọi trường hợp (kể cả khi Kf liên thông), T là mặt Riemann đẳng cấu với một hình vành khăn có môđun hữu hạn là logR . Ta có thể chọn đẳng cấu a:T ắắđW= {z:1< z < R} và tiếp tục quỏ trỡnh giống như trờn để xõy dựng ỏnh xạ mở rộng hf :S1ắắđS1.

Với các tập L khác nhau được chọn, T, T¢, F vẫn không đổi.

Cho f U1: 1ÂắắđU1 là ỏnh xạ tựa đa thức hạn chế của f lờn U1Â với

1

1 ( 1)

U¢= f- U . Mặt T1 được xây dựng từ f1 là một tập con mở của T, và nếu h1 là ánh xạ ngoài của f được xây dựng từ một đẳng cấu a1 từ T1 lên một hình vành khăn thì 11

b= a a - , là một tự đồng cấu giải tích thực của S1, liên hợp h1 với h (theo nguyên lý phản xạ Schwarz).

Cho f U: ÂắắđU và g V: ÂắắđV là 2 ỏnh xạ tựa đa thức, và , hf hg

lần lượt là các ánh xạ ngoài của , f g. Nếu Kf, Kg liên thông, bằng cách lý luận và chứng minh tương tự phần trên, ta có , f g tương đương ngoài nếu và chỉ nếu , hf hg liên hợp giải tích thực.

Nếu Kf, Kg không liên thông, ta lấy liên hợp giải tích thực của các ánh xạ ngoài như định nghĩa của tương đương ngoài.

Mệnh đề 2.4

Cho f là một ánh xạ tựa đa thức bậc d. Khi đó f tương đương chỉnh hình với một đa thức khi và chỉ khi f tương đương ngoài với ánh xạ zzd. Chứng minh

( )ị Cho P là một đa thức. Khi đú P liờn hợp giải tớch với ỏnh xạ zzd trong một lân cận của ¥ . Do đó, nếu U được chọn đủ lớn và L được chọn đủ lớn trong U¢= P- 1( )U thì mặt Riemann T được xây dựng sẽ đẳng cấu với mặt Riemann ứng với zzd bởi đẳng cấu mà liên hợp P với zzd.

( )ĩ Cho f U: ÂắắđU là một ỏnh xạ tựa đa thức và F T: ÂắắđT được xây dựng từ ánh xạ f như ở phần 2.3.2.a. Nếu f tương đương ngoài với

d

0: z z

P  thì tồn tại tập con mở T1 của T chứa Xn với n đủ lớn và một đẳng

cấu j từ T1 lên W1= V1\D, với V1 là một lân cận mở của D trong  sao cho j F= Poj trên T1¢= F- 1( )T1 . Ta chứng minh kết quả sau.

Bổ đề 2.1

Ánh xạ j được mở rộng thành một ánh xạ nhúng giải tích từ T vào

\D

 thỏa mãn j F= Poj . Chứng minh bổ đề

Ánh xạ F T: ÂắắđT là ỏnh xạ phủ, bậc d. Cho : 's T ắắđT' là tự đẳng cấu cảm sinh bởi hàm sinh chính tắc của p1( )T =  và s0 là tự đẳng cấu z e2diz

p

trên \D. Khi đó, j s = soj trên Xnvới n đủ lớn. Do đó,

 o 

j s = s j trên mỗi tập con liên thông của X mà j có mở rộng giải tích đến. Suy ra, nếu j xác định trên Xnvới n> 0, nó có thể được mở rộng tới

1

Xn- theo công thức j ( )x = Po(j (F- 1( )x ) ).  Kết thúc chứng minh mệnh đề 2.4

Xét mặt Riemann S có được bằng cách dán U và ¥ \j ( )L bằng cách sử dụng j |X0, và ỏnh xạ :g S ắắđS được cho bởi f trờn UÂ và Po trờn

\ ( )L

¥ j . Mặt S đồng phôi với mặt cầu Riemann và do đó đẳng cấu giải tích với mặt cầu này theo định lý đơn trị húa. Cho f :S ắắđƠ là một đẳng cấu thỏa ( )f Ơ = Ơ , đặt P= f  g f- 1. Ánh xạ P:Ơ ắắđƠ là giải tớch, do đú là một hàm hữu tỉ. Vì P- 1( )¥ = ¥ nên P là đa thức. Ánh xạ f j xác định

một tương đương giải tích giữa f và P. 

2.3.2b. Kết hợp một lớp lai với một lớp ngoài Mệnh đề 2.5

Cho f U: ÂắắđU là một ỏnh xạ tựa đa thức bậc d và h S: 1ắắđS1 là một ánh xạ mở rộng - giải tích, bậc d. Khi đó tồn tại một ánh xạ tựa đa thức g V: ÂắắđV là tương đương lai với f và cú lớp ngoài là h.

Chứng minh

Cho AÌ U là một đa tạp compact với biên thuộc lớp C1, đồng phôi với D và có phần trong chứa Kf . Hơn nữa, A¢= f- 1( )A đồng phôi với D và

o

Ađố A. Đặt Qf = A A\ ođ. ạnh xạ h mở rộng thỏnh ừnh xạ giải tợch VđắắẼV , với V, V¢ là các lân cận của S1 trong . Nếu V¢được chọn đủ nhỏ, tồn tại

1

R> sao cho B= {z:1< z £ R} được chứa trong V; B¢= h- 1( )B đồng phôi với B và được chứa trong Bo . Đặt \

o

Qh= B B¢.

Cho yo là vi phụi bảo toàn hướng từ ảA lờn ảB. Vỡ ảAÂ và ảBÂ lần lượt là cỏc phủ d- tờ của ảA và ảB nờn tồn tại một vi phụi y1:AÂắắđBÂ sao cho yo f = hy1. Cho y:Qf ắắđQh là một vi phụi cảm sinh yo trờn

ảA và y1 trờn ảAÂ.

Gọi so là cấu trúc phức chuẩn trên  và s1 là cấu trúc phức y*so trên Qf . Trờn A, định nghĩa cấu trỳc phức s bằng ( )fn *s1 trờn f- n(Qf \ảAÂ) và bằng so trên Kf . Cấu trúc này không xác định tại ảnh ngược của điểm tới hạn wi (nếu w ẽi Kf ), nú bị giỏn đoạn dọc theo cung f- n(ảAÂ) mặc dự những điểm gián đoạn này có thể loại được bằng cách chọn y phù hợp. Tuy nhiờn những điểm giỏn đoạn khú chịu hơn nằm dọc ảKf lại khụng thể loại được.

Vì f chỉnh hình, hệ số co dãn của s bằng hệ số co dãn của s1, do đó bị chặn vì j được chọn thuộc lớp C1. Theo định lý ánh xạ đo được Riemann, s xỏc định một cấu trỳc phức trờn A và tồn tại một đồng phụi :j Ao ắắđD chỉnh hình đối với s trên

o

A và đối với so trên D.

Đặt 1:

o

g  f - ổ ửA D ố đứ

= j j j ắắđ

ố ứ . Rừ ràng, g chỉnh hỡnh, do đú là ỏnh xạ tựa đa thức bậc d. Ánh xạ j là một tương đương lai của f đối với g, và

 - 1

y j là một tương đương ngoài của h và g. 

2.3.2c. Tính duy nhất

Cho f U: ÂắắđU và g V: ÂắắđV là hai ỏnh xạ tựa đa thức bậc d> 1 với Kf, Kg liờn thụng. Giả sử j :U1ắắđV1 là một tương đương lai và

2 2

:U \Kf V \Kg

y ắắđ là một tương đương ngoài. Định nghĩa f :U2 ắắđV2 như sau

trên 2 \ trên

f f

U K K ì f = y

ùớ f = j ùợ

Ta sẽ đưa ra một điều kiện tôpô để f liên tục và chỉ ra rằng nếu điều này được thỏa mãn thì j chỉnh hình.

Cho Q là không gian đồng luân với một đường tròn định hướng. Ánh xạ :

f QắắđQ và a:QắắđQ lần lượt cú bậc d và 1 thỏa món a f = f a. Định nghĩa [a; f]ẻ  d- 1như sau :

Cho  f Q: ắắđQ; a :QắắđQ là cỏc phộp nõng lờn khụng gian phủ phổ dụng và t :QắắđQ là tự đẳng cấu sinh ra hàm sinh của p1( )Q theo hướng đã có.

Rõ ràng,  f a = ti   a f với i nào đó. Nếu ta thay f bởi t  f thì i không thay đổi, trong khi nếu ta thay a bởi t a thì phải thay i bởi i+ d- 1. Do đó lớp [a; f] của i trong  d- 1 là một lựa chọn độc lập. Chúng ta đòi hỏi tính bất biến ở trên trong một bài toán tổng quát hơn.

Cho Q Q1, 2 là hai không gian đồng luân với đường tròn định hướng;

1, 2

Q Q¢ ¢ là các tập con sao cho các bao hàm thức là tương đương đồng luân.

Cho f Q: 1ÂắắđQ1 và g Q: 2ÂắắđQ2 là cỏc ỏnh xạ bậc d; j , :y Q1ắắđQÂ2 là các ánh xạ bậc 1, thỏa mãn gj = j  f và g y = y  f .

Định nghĩa [j y, ; ,f g]ẻ  d- 1 như sau: xõy dựng cỏc ỏnh xạ nõng của , , , f g

j y lên các không gian phủ phổ dụng là j   , , , y f g. Khi đó

  f i  g 

j = t j và y  f = t j   g y

với i, j nào đó. Lớp của j- i trong  d- 1 được chọn độc lập và được kí hiệu là [j y, ; ,f g].

Nếu Q1Â= Q1 và j là một phộp đồng phụi thỡ [j y, ; ,f g]= jộở - 1y, f ựỷ.

Mệnh đề 2.6

Cho f U: ÂắắđU và g V: ÂắắđV là hai ỏnh xạ tựa đa thức bậc d> 1 thỏa Kf, Kg liờn thụng. Cho j :U1ắắđV1 là một tương đương lai và

2 2

:U \Kf V \Kg

y ắắđ là một tương đương ngoài. Nếu [j y, ; ,f g]= 0 thỡ ánh xạ f trùng với j trên Kf và trùng với y trên U2 \Kf là một tương đương chỉnh hình giữa f và g.

Bổ đề 2.2

Ánh xạ f là một phép đồng phôi.

Chứng minh bổ đề

Cho a = y- 1j , ta cần chỉ ra a gần ánh xạ đồng nhất trong Kf. Giả sử ( )z dz

r là mêtric Poincare trên U K\ f và dp là khoảng cách liên kết, d là khoảng cách Euclide. Khi đó có hằng số M sao cho ( )

( ; f ) z M

d z K

r ³ . Ánh xạ

f U: Â\Kf ắắđU K\ f trờn khụng gian phủ là song ỏnh. Giả sử h là ỏnh xạ ngược của f . Khi đó h là ánh xạ co đối với dp.

Chọn tập compact CÌ U K\ f sao cho hợp ( )

0

i j( )

i j

h C

 >

ổ ử

ỗ t ữ

ố ứ là ảnh

ngược trong \U Kf của một lân cận của Kf . Đặt sup p(( ); )

x C

m d x x

ẻ

= a .

Ánh xạ h giao hoán với a vì [j y, ; ,f g]= 0 và t là một phép đẳng cự.

Dẫn đến, với xẻ C ta cú:

( ( ) ) ( )

( ) ( (( ) ) ( ) )

dp a hi t j( ) ;x hi t j( )x = dp hi a t j( ) ;x hi t j( )x

( )

( )

( )

( )

( ) ; ( ) ( ) ; ( )

j j

p

j j

p

d x x

d x x m

< a t t

= t a t <

Do đú, d(a( )x x; )ắắđ0 trờn Kf .Điều này chứng tỏ f liờn tục. Bằng cách đổi vai trò của j và y , hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được

- 1

f liên tục. 

Bổ đề 2.3

Cho U Ì  là tập mở, KÌ U là tập compact, j và f là hai ánh xạ từ U vào  đồng phôi lên ảnh của chúng. Giả sử j là ánh xạ tựa bảo giác, f là ánh xạ tựa bảo giác trên U K\ sao cho j = f trên K. Khi đó f là ánh xạ tựa bảo giác và Df = Dj hầu khắp nơi trên K.

Chứng minh bổ đề

Ta có thể giả sử f ( )U và j ( )U bị chặn. Ta cần chỉ ra rằng f thuộc không gian Sobolev H U1( ) và tìm một chặn cho tâm sai (excentricity) của elip ứng với đạo hàm của f . Vỡ j ẻ H U1( ) nờn u= Re(f - j ẻ) H U1( ), tương tự ta cú Im(f - j ẻ) H U1( ).

Đặt hn:ắắđ là hàm thuộc C1 sao cho ( )

( ) ( ) ( )

1 2

,

1 2

,

1 1

0 ,

2 2

' 1 ,

n

n

n

n

x x x

n n

x x x

n n

x x

n n

x x 

ì h = - >

ù

ù -

ùù h = + <

í

ù -

ù h = < <

ù

ù h < " ẻ ợ

Dãy un= hnu là dãy Cauchy trong H1, có giới hạn là u. Vì un hội tụ đều về 0 trên một lân cận của K nên Du= 0 hầu khắp nơi trên K.  Chứng minh mệnh đề 2.6

Ta có f thỏa điều kiện của phương trình Cauchy-Riemann hầu khắp nơi trên Kf , Df = Dj hầu khắp nơi trên U2 \Kf , f là hàm giải tích. 

Hệ quả 2.1

Cho , f g là hai ánh xạ tựa đa thức bậc 2, Kf, Kg liên thông. Nếu , f g tương đương lai và tương đương ngoài thì chúng tương đương giải tích.

Hệ quả 2.2

Cho P, Q là hai đa thức, KP, KQ liên thông. Nếu P và Q tương đương lai thì chúng liên hợp với nhau bởi một ánh xạ affine.

Chứng minh

Nếu P là đa thức bậc d thì tồn tại một tương đương ngoài

: \ \

p  Kp  D

y ắắđ giữa P với ỏnh xạ z zd xỏc định trờn \ Kp. Khi đó yP Q, = y-Q1yP là một đẳng cấu từ \KP lên \KQ và ánh xạ f được định nghĩa như trong mệnh đề 2.4 là một tự đẳng cấu lên , do đó là

ánh xạ affine. 

Gọi M là tập cỏc giỏ trị cẻ  sao cho tập Julia đầy của Qc= z2+ c liờn thông.

Hệ quả 2.3

Cho c c1, 2 là hai điểm của M. Nếu các đa thức z z2+ c1 và

2

zz + c2 là tương đương lai thì c1= c2.

Ta nêu sau đây một tương đương tựa bảo giác bậc 2.

Mệnh đề 2.7

Giả sử c c1, 2ẻ , c1ẻ ảM . Nếu đa thức P z1:  z2+ c1 và

2

2: 2

P z  z + c là tương đương tựa bảo giác thì c1= c2 Chứng minh

Cho j :U ắắđV là tương đương tựa bảo giỏc của P1 và P2. Nếu KP1 cú độ đo 0 thì j là tương đương lai và kết quả trên được suy ra từ hệ quả 2.3 của mệnh đề 2.6.

Trong trường hợp tổng quỏt, xột dạng Beltrami m= ảj

ảj và m0 bằng m trên

P1

K , bằng 0 trờn \KP1. Đặt k= m0 Ơ , 1k< . Với tẻ D1k tựy ý, tồn tại duy nhất một phộp đồng phụi tựa bảo giỏc f t :ắắđ sao cho

( ) ( )

0; 0 0; 1 0

t t

t t

t z khi z

z

ảf f

= m f = ắắđ ắắđ

ảf .

Khi đó, f t  P1 f -t 1 là một đa thức có dạng z  z2+ u t( ) với : 1k

u D ắắđ là hàm giải tớch. Vỡ u(0)= c1ẻ ảM và u t( )ẽ ảM, " tnờn hàm u là hàm hằng, nói riêng u(1)= c1. Khi đó j f -1 là tương đương lai của

1 và 2

P P. Từ hệ quả 2.3 của mệnh đề 2.6 ta có điều phải chứng minh. 

Chương 3

KHÔNG GIAN THAM SỐ

CỦA HỌ CÁC ÁNH XẠ TỰA ĐA THỨC

Các hiện tượng trong mặt phẳng động lực được phản ánh trong không gian các tham số. Chương này dành giới thiệu về không gian tham số các ánh xạ tựa đa thức.

Không gian tham số của họ các đa thức bậc hai Qc= z2+ c chứa một tập Mandelbrot xác định bởi

{ } 0

: (0)

{ cn n

M c Q

= ẻ  ³ bị chặn}

hay tập các giá trị c mà tập Julia đầy của Qc liên thông (xem hình 3.1).

Hình 3.1. Tập Mandelbrot

Khi nghiên cứu không gian tham số của các hàm khác, chúng ta thường gặp các phần lặp lại tập Mandelbrot. Điều này một lần nữa được giải thích bởi lý thuyết ánh xạ tựa đa thức. Vì tập Mandelbrot xuất hiện khi ta xem xét họ các ánh xạ đa thức bậc hai, ta mong rằng nó cũng xuất hiện khi ta xét họ các ánh xạ tựa đa thức bậc hai khi họ này đủ “đẹp”. Mục 3.1 của chương trình bày một số kiến thức về họ giải tích các ánh xạ tựa đa thức bậc d³ 2. Mục 3.2

trình bày về đặc trưng của họ các tập tựa Mandelbrot và các bản sao đồng phôi của tập Mandelbrot.