Để chuẩn bị cho việc chứng minh hai định lí chính của chương này trong phần sau, chúng tôi sẽ nhắc lại các hàm cơ bản trong Lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C). Sau đó, chúng tôi giới thiệu Định lí cơ bản thứ
Σ
Σ
Σ nhất cho các ánh xạ đó với mục tiêu di động.
Để thuận tiện cho việc trình bày, chúng ta đưa ra một số kí hiệu sau.
Trong Cm, xột chuẩn Euclid ∥z∥ := (|z1|2 +ã ã ã+|zm|2)1/2 với z = (z1, . . . , zm)
∈ Cm. Ta định nghĩa
B(r) := {z ∈Cm : ∥z∥< r}, S(r) := {z ∈Cm : ∥z∥ = r}, (0 < r < ∞).
Định nghĩa 2.1.1. Một divisor ν trên Cm là một tổng hình thức có dạng ν = àλXλ,
λ∈Λ
trong đú àλ ∈ Z với mọi λ ∈ Λ và {Xλ}λ∈Λ là họ hữu hạn địa phương cỏc siờu mặt giải tích bất khả quy phân biệt trong Cm.
Nếu àλ ̸= 0 thỡ biểu thức λ∈Λ àλXλ được gọi là biểu diễn bất khả quy của ν. Giỏ của divisor ν được xỏc định bởi Supp(ν) = ∪àλ̸=0Xλ. Hơn nữa, ta cú thể xem divisor ν như một hàm trên Cm với giá trị nguyên bằng cách đặt:
ν(z) = àλ.
Xλ∋ z
Như vậy, ta thấy Supp(ν) = {z|ν(z) ̸= 0}.
Định nghĩa 2.1.2 (Hàm đếm chặn bội của một divisor). Cho divisor ν trên Cm và cho k > 0 là một số tự nhiên hoặc k = +∞. Hàm đếm được chặn bội đến bậc k của ν được định nghĩa bởi
N [k](r, ν) :=
∫ r
n[k](t, ν)
dt, (1 < r < +∞),
ở đó
∫
1 t2m−1
ν[k] ã (ddc∥z∥2)m−1 nếu m ≥ 2,
∪
n[k](t, ν) :=
Supp(ν) B(t)
Σ
|z|≤t min{k, ν(z)} nếu m = 1.
Ta bỏ kí hiệu [k] bên trên trong N [k](r, ν) nếu k = +∞.
Mỗi siêu mặt giải tích E của Cm có thể xem là một divisor rút gọn với giá là chính nó và hàm đếm của E cũng được kí hiệu là N (r, E).
Cho f là một hàm chỉnh hình trên Cm, A = {f = 0} là siêu mặt giải tích trên Cm. Kí hiệu R(A) và S(A) lần lượt là tập các điểm chính quy và tập các
Σ
điểm kì dị của A. Giả sử A có phân tích bất khả quy A = ∪λAλ. Khi đó, với mỗi x ∈ R(Aλ)\ S(A), tồn tại một lân cận U của x cùng với một hệ tọa độ địa phương z1, . . . , zm trên U sao cho x = (0, . . . , 0), U ∩ A = {z ∈ U ; z1 = 0} và f |Umλ (z) =
z1 g
với gλ là hàm chỉnh hình không có không điểm trên U . Số mλ chỉ phụ thuộc vào Aλ mà không phụ thuộc vào lân cận U . Khi đó, divisor xác định bởi f được định nghĩa bởi
νf = mλAλ.
λ
Nếu f là một hàm phân hình trên Cm thì tồn tại một phủ mở Uλcủa U sao cho
λ
f
f f f f
trên mỗi Uλ hàm f được viết dưới dạng f = gλ
hλ
với gλ và hλ
là các hàm chỉnh hình, hλ ≡ ̸ 0; {gλ = hλ = 0} là tập con giải tích có đối chiều 2 của Uλ. Khi đó,
gλ gβ = hλ
hβ
trên Uλ ∩ Uβ
̸≢= 0.
Định nghĩa 2.1.3. Divisor không điểm, divisor cực điểm và divisor xác định bởi f lần lượt được định nghĩa như sau:
ν0 = νg
, ν∞ = νh và νf = ν0 − ν∞ trên Uλ.
Với f là ánh xạ phân hình khác không trên Cm, chúng ta cũng sử dụng kí hiệu N [k](r) để chỉ hàm đếm chặn bội k của divisor không điểm của f , nghĩa là fN [k](r) := N [k](r, νf 0).
Cho f : Cm → Pn(C) là một ánh xạ phân hình khác hằng với biểu diễn rút gọn f˜ = (f0, . . . , fn). Nghĩa là f0, . . . , fn là các hàm chỉnh hình trên Cm cú tập cỏc khụng điểm chung If = {f0 = ã ã ã = fn = 0} là một tập con giải tớch cú đối chiều ớt nhất 2 của Cm và f (z) = (f0(z) : ã ã ã : fn(z)) với mọi z ̸∈ If. Tập If được gọi là tập không xác định của f .
Hàm đặc trưng của f được định nghĩa bởi Tf (r)
:=
∫ r dt ∫
ddclog∥f˜∥2
∧
.ddc∥z∥2Σm−
1 (r > s0 > 0),
1 t2m−1 B(t)
với ∥f˜∥ = (|f0|2) + ã ã ã + |fn|2)1/2. Theo cụng thức Jensen, ta cú Tf (r) =
∫
S(r )
log∥f˜∥σm
−
∫ S(1 )
log∥f˜∥σm. với σm(z) := dclog∥z∥2 ∧ .
ddclog∥z∥2Σ
trên Cm \ {0}.
m−1
Cho a là một ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C)∗với biểu diễn rút gọn (a0, ã ã ã , an).
a˜ =
λ λ
Định nghĩa 2.1.4. Ánh xạ a như trên được gọi là một siêu phẳng di động hay mục tiêu di động. Siêu phẳng di động a được nói là di động chậm đối với f nếu
∥ Ta(r) = o(Tf (r)).
Hàm xấp xỉ của f ứng với a được xác định bởi
i=
− ∫
m
mf,a
(r) =
∫
S(r )
log ∥f˜∥ ã
∥a˜∥
|(fσ˜, a˜)| S(1)
log ∥f˜∥ ã ∥a˜∥
σ ,
|(f˜, a˜)|
trong đó (f˜, a˜) = Σn
fiai. Ta thấy, định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc
chọn các biểu diễn rút gon f˜ và a˜. Hơn nữa, giá trị của divisor ν(f˜,a˜) cũng không phụ thuộc vào cách chọn các biểu diễn này. Vì vậy divisor này được kí hiệu là
ν(f,a).
Định lí 2.1.5 (Định lí cơ bản thứ nhất [32]). Cho f là ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) và a là một ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C)∗ sao cho (f, a) ≡ ̸ 0. Khi đó
Tf (r) + Ta(r) = mf,a(r) + N (r, ν(f,a)) + O(1) (r > 1).
Cho φ là một hàm phân hình trên Cm. Tương tự như trường hợp một biến, hàm xấp xỉ của φ được định nghĩa bởi
m(r, φ) =
∫
S(r )
log max{|φ(z)|, 1}σm.
Hàm đặc trưng Nevanlinna của φ được định nghĩa bởi T (r, φ) = N (r, νφ∞) + m(r, φ).
Nếu xem φ là ánh xạ phân hình từ Cm vào P1(C) thì ta cũng có T (r, φ) = Tφ(r) + O(1).
Tiếp theo, chúng tôi đề cập đến một bất đẳng thức gần tương tự định lí cơ bản thứ nhất cho tích của một họ các ánh xạ phân hình. Đây là kết quả cần thiết trong việc chứng minh định lý về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình. Trước tiên, ta có khái niệm về họ véc tơ ở vị trí đặc biệt trong không gian như sau.
Cho V là một không gian vector phức có số chiều N ≥ 1. Các vector {v1, . . . , vk} được gọi là ở vị trớ tổng quỏt nếu với mỗi cỏch chọn cỏc số nguyờn 1 ≤ i1 < ã ã ã <
m
Σ
ip ≤ k với p ≤ N thỡ vi1 ∧ ã ã ã ∧ vip 0. Cỏc vector {v1, . . . , vk} được gọi là ở vị trí đặc biệt nếu chúng không phải là ở vị trí tổng quát. Với 1 ≤ p ≤ k, ta nói {v1, . . . , vk} được gọi là ở vị trí p - đặc biệt nếu với mỗi cách chọn các số nguyên 1 ≤ i1 < ã ã ã < ip ≤ k thỡ cỏc vector vi1 , . . . , vip ở vị trớ đặc biệt.
Định lí 2.1.6 ([39], Định lí 2.1). Cho M là một đa tạp phức liên thông với số chiều m. Cho A là một tập con giải tích thuần túy (m − 1)-chiều của M. Cho V là một không gian véc tơ phức có số chiều n + 1 > 1. Lấy các số nguyên p và k thỏa mãn 1 ≤ p ≤ k ≤ n + 1. Cho fi : M → P (V ), 1 ≤ i ≤ k, là các ánh xạ phân hình. Giả sử rằng f1, . . . , fkở vị trí p-đặc biệt trên A. Khi đó, ta có
àf1∧ ∧fããã k ≥ (k − p + 1)νA,
trong đú àf1∧ ∧fããã k là divisor liờn kết với ỏnh xạ tớch f1 ∧ ã ã ã ∧ fk và νA là divisor rút gọn trên M với giá là A.
Sau đây chúng tôi phát biểu một bất đẳng thức gần tương tự Định lí cơ bản thứ nhất cho tích các ánh xạ phân hình ở vị trí tổng quát của W. Stoll.
Định lí 2.1.7 (Xem [39]). Cho fi : Cm → Pn(C), 1 ≤ i ≤ k là các ánh xạ phân hình ở vị trí tổng quát. Giả sử rằng 1 ≤ k ≤ n. Khi đó
j=
(f,aj
)
2n−k+2 m n
∗
Nàf1∧ããã∧fλ (r) + m(r, f1 ∧ ã ã ã ∧ fλ) ≤
1≤i≤λTfi (r) + O(1).