Trong mục này, chúng tôi sẽ chứng minh định lí về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolic có chung ảnh ngược của các siêu phẳng
j=
−
di động ở vị trí tổng quát không đếm bội.
Định lí 3.3.1. Cho M là một đa tạp parabolic chấp nhận được m-chiều với hàm vét cạn parabolic τ và hàm trội Y (r). Cho f1, . . . , fλ : M → Pn(C) là các ánh xạ phân hình khác hằng với Ricτ (r, s) = o(Tft (r, s0)) và logY (r) = o(Tft (r, s)) khi r → ∞, 1 ≤ t ≤ λ. Cho g1, . . . , gq : M → Pn(C)∗là các ánh xạ phân hình ở vị trí tổng quát thỏa mãn Tgj (r, s0) = o(max1≤t≤λ Tft (r, s0)) và (ft, gj) ≢ 0 với 1 ≤ j ≤ q, 1 ≤ t ≤ λ. Giả sử Aj = (f1, gj)−1(0) = (f2, gj)
−1(0) = ã ã ã = (fλ, gj)−1(0)
với mỗi j = 1, . . . , q, và dim(Ai ∩ Aj) ≤ m − 2 với 1 ≤ i ≤ j ≤ q. Đặt A = Sq Aj. Giả sử f1, . . . , fλ ở vị trí l đặc biệt trên A, trong đó l là một số nguyên với
n(n + 2)λ
q
i=
j=
i=
Σ Σ
2 ≤ l ≤ λ. Khi đó, nếu q >
f1 ∧ ã ã ã ∧fλ ≡ 0 trờn M. λ − l + 1
thì f1, . . . , fλở vị trí đặc biệt, tức là
Chứng minh. Ta xột với λ ≤ n + 1. Giả sử rằng f1 ∧ ã ã ã ∧ fλ ≢ 0. Kớ hiệu νf1∧ ∧fããã λ là divisor liờn kết với f1 ∧ ã ã ã ∧ fλ và Nf1∧ ∧fããã λ (r) là hàm đếm của divisor này. Với mọi 1 ≤ t ≤ λ, ta sẽ chứng minh khẳng định sau.
Σ(λ − l + 1) min{1, ν(ft,gj )} ≤ dνf1∧ ∧fããã λ + q(λ − 1) Σ νgβ
(1)∧ ∧gããã β(n+1) (3.17)
j=1 β
với mỗi z ̸∈ A S Sλ
I(fi), trong đó tổng trên được lấy trên tất cả các phép chiếu β : {1, . . . , n + 1} → {1, . . . , q}.
Thật vậy, tập A = Sq
(ft, gj)−1({0}). Kí hiệu P [n + 1, q] là tập hợp tất cả
các phép chiếu từ {1, . . . , n + 1} đến {1, . . . , q}. Khi đó, với mỗi điểm chính quy z0 ∈ A \ (Sλ
I(fi) ∪ S β∈P
[n+1,q]
{z|gβ(1) ∧ ã ã ã ∧gβ(n+1)(z) = 0}) và với mỗi dóy tăng 1 ≤ j1 < ã ã ã < jl ≤ λ, ta cú
fj1 (z0) ∧ ã ã ã ∧fjl (z0) = 0.
Theo Định lí 3.1.6, ta có
Do đó,
νf1∧ ∧fããã λ (z0) ≥ λ − (l − 1).
q
min{1 , ν
j=
1
(ft,gj
)
(z
0
q
)} ≤ min{1, ν
j=1
(ft,gj
)
(z
0
1 )} ≤ 1 ≤
λ − l +
1 ν fλ1∧ ∧fããã
(z0).
Σ S
Từ đây, ta suy ra
q
(λ − l + 1) min{1, ν(ft,gj )(z0)} ≤ νf1∧ ∧fããã λ (z0).
j=1
Nếu z0 ∈ β∈T [n+1,q]{z|gβ(1) ∧ ã ã ã ∧gβ(n+1)(z) = 0} thỡ
q
(λ − l + 1) Σ
min{1, ν(ft,gj )(z0)} ≤ (λ − 1)q Σ
gβ(1) ∧ ã ã ã ∧ νgβ(n+1) (z0).
j=
Σ(λ − l + 1)N
Σ
≤ Σ Σ
N
Σ
1≤i≤λ j=1
Như vậy, với mỗi z ̸∈
Sλ
q
I(fj), ta có
β∈T [n+1,q]
Σ(λ − l + 1) min{1, ν(ft,gj )} ≤ dνf1∧ ∧fããã λ + q(λ −
1) Σ
νgβ(1)∧ ∧gããã β(n+1).
j=1
Do đó, bất đẳng thức (3.17) được chứng minh.
Từ (3.17), ta có
q
β∈T [n+1,q]
(f[1]t,gj ) j=1
(r) ≤ Nν
λ
f1∧ããã∧fλ + q(λ − 1)
β∈T [n+1,q]
Nνgβ (1)∧ããã∧gβ(n+1)
n
(r)
≤ Σ
Tfi (r, s0) + q(λ − 1) Σ Σ
Tgβ(i) (r, s0).
i=
1λ
β∈T [n+1,q]
i=1
= Σ
Tfi (r, s0) + o( max Tfi (r, s0)).
Lấy tổng hai vế của các bất đẳng thức này theo t = 1, . . . , λ, ta được
λ q λ
[1]
(ft,gj )
t= j=
(r) λ
T λ − l + 1 (r, s0
) + o(
max Tfi
1≤i≤λ
(r, s0
)). (3.18) Tiếp theo, từ Định lí 3.2.2 (b), với mọi 1 ≤ t ≤ λ, đặt kt = rank R(ft) ta có
.. Σ
j=
q − 2( n − k )
N [1]
t
(r) ≥ Tf (r, s0) + o(Tf (r, s0)) + O( max Tg (r, s0))≥
n(n + 2)Tft (r, s0) + o(Tft (r, s0)) + O( max Tgi (r, s0)),
1≤i≤
i=
kt(kt + 2)
q
t t
1≤i≤q
i
i=
f
i
q
(ft,gj
)
..
≤
q
Kết hợp bất đẳng thức này với (3.17) và cho r tiến tới ∞, ta được n(n + 2)λ
q .
λ − l + 1
Điều này là mõu thuẫn. Do đú, f1 ∧ ã ã ã ∧fλ ≡ 0 trờn M , tức là họ {f1, . . . , fλ} là
phụ thuộc đại số qua C. Định lí 3.3.1 được chứng minh.
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Kết luận
Các kết quả chính của luận án:
• Chúng tôi đã chứng minh được hai định lí về sự liên kết bởi một phép biến đổi tựa Mo¨bius của hai hàm phân hình trên mặt phẳng phức nếu chúng có chung ảnh ngược của bốn cặp hàm nhỏ phân biệt với bội được ngắt ở mức 4 và không xét đến các không điểm với bội lớn hơn 865.
• Chúng tôi đã chứng minh được một định lí cơ bản thứ hai cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào không gian xạ ảnh phức Pn(C) và mục tiêu di động với hàm đếm có trọng. Đồng thời, chúng tôi đã sử dụng định lí này để chứng minh được một định lí về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình đó có chung ảnh ngược không cần đếm bội của các siêu phẳng di động.
• Chúng tôi đã chứng minh được một định lí cơ bản thứ hai cho các ánh xạ phân hình từ một đa tạp parabolic chấp nhận được vào không gian xạ ảnh phức Pn(C) với mục tiêu di động. Bằng cách áp dụng định lí này, chúng tôi cũng chứng minh được một định lí về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình đó có chung ảnh ngược không cần đếm bội của các siêu phẳng di động ở vị trí tổng quát.
Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo
Chúng tôi có suy nghĩ về một số hướng nghiên cứu tiếp theo như sau:
• Nghiên cứu về sự liên kết bởi phép biến đổi tựa M¨obius của hai hàm phân hình trên mặt phẳng phức khi chúng có chung ảnh ngược của một số cặp hàm nhỏ trong trường hợp giảm số bội chặn.
• Nghiên cứu cải tiến Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình từ Cm vào không gian xạ ảnh phức Pn(C) và mục tiêu di động với hàm đếm có trọng với số siêu phẳng tham gia nhỏ hơn.
• Nghiên cứu tổng quát hóa Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolic vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động trong đó các điều kiện ban đầu tổng quát hơn.
CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
[1] Van An Nguyen and Duc Quang Si (2017), Two meromorphic functions shar- ing four pairs of small functions, Bull. Korean Math. Soc. 54, No. 4, pp. 1159
- 1171.
[2]Pham Duc Thoan, Nguyen Hai Nam and Nguyen Van An (2019), Second main theorems with weighted counting functions and its applications, Indian J. Pure Appl. Math., 50(4), 849 - 861.
[3] S. D. Quang, N. V. An and P. D. Thoan (2023), Second main theorems and algebraic dependence of meromorphic mappings on parabolic manifolds with moving targets, Kyushu J. Math., Vol. 77, No.2, 203 - 220.
Tài liệu tham khảo
[1] Sĩ Đức Quang (2019), Lí thuyết phân bố giá trị cho ánh xạ phân hình và một số vấn đề liên quan, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, Hà Nội.
[2] Trần Văn Tấn (2017), Lí thuyết phân bố giá trị đối với đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, Hà Nội.
[3] T. T. H. An and J. Wang (2002), Uniqueness polynomials for complex mero- morphic functions, Internat. J. Math. 13, no. 10, 1095-1115.
[4] G. Ashline (1999), The defect relation of meromorphic maps on parabolic manifolds, Mem. Amer. Math. Soc. 139, no. 665, x+78 pp.
[5] H. Z. Cao and T. B. Cao (2014), Two meromorphic functions share some pairs of small functions with truncated multiplicities, Acta Math. Sci. 34, 1854-1864.
[6] H. Cartan (1933), Sur les zéroes des combinaisons linéaries de p fonctions holomorphes données, Mathematica 7, 80-103.
[7] T. Czubiak and G. Gundersen (1997), Meromorphic functions that share pairs of values, Complex Var. Elliptic Equ. 34, 35-46.
[8] G. Dethloff and T. V. Tan (2009), Uniqeness theorems for meromorphic mappings with few hyperplanes, Bull. Sci. Math. 133, 501-514.
[9] G. Dethloff, S. D. Quang and T. V. Tan (2012), A uniqeness theorems for meromorphic mappings with two families of hyperplanes, Proc. Amer.
Math. Soc. 140, 189-197.
[10] H. Fujimoto (2008), Uniqueness problem with truncated multiplicities in value distribution theory, Nagoya Math. J. 152, 131-152.
[11] H. H. Giang (2016), Multiple values and finiteness problem of meromorphic mappings sharing different families of moving hyperplanes, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie Vol. 59 (107), No. 3, 233-245.
[12] P. C. Hu, P. Li, C. C. Yang (2003), Unicity of meromorphic mappings, Advances in Complex Analysis and its Application, Vol. 1, Springer B. V.
[13] H. H. Khoái (1983), On p-adic meromorphic functions, Duke Math. J. 50, 695-711.
[14] P. Li and C. C. Yang (1997), On two meromorphic functions that share pairs of small functions, Complex Var. Elliptic Equ. 32, 177-190.
[15] P. Li and C. C. Yang (2009), Meromorphic functions that share some pair of small functions, Kodai Math. J. 32, 130-145.
[16] Y. Liu (2008), On the problem of integer solutions to decomposable form inequalities, Int. J. Number Theory 4, 859-872.
[17] Y. Liu and M. Ru (2005), A defect relation for meromorphic maps on parabolic manifolds intersecting hypersurfaces, Illinois J. Math. 49, 237- 257.
[18] R. Nevanlinna (1926), Einige Eideutigkeitss¨atze in der Theorie der mero- morphen Funktionen, Acta. Math. 48, 367-391.
[19] I. Nochka (1983), On the theory of meromorphic functions, Sov. Math. Dokl.
27, 377-381.
[20] J. Noguchi (2005), A note on entire pseudo holomorphic curves and the proof of Cartan-Nochka’s theorem, Kodai Math. J. 28, 336-346.
[21] J. Noguchi and T. Ochiai (1990), Introduction to Geometric Function The- ory in Several Complex Variables, Trans. Math. Monogr. 80, Amer. Math.
Soc., Providence, Rhode Island.
[22] S. D. Quang (2013), Two mermorphic functions share some pairs of small functions, Compl. Anal. Oper. Th. 7, 1357-1370.
[23] S. D. Quang (2013), Algebraic dependences of meromorphic mappings shar- ing few moving hyperplanes, Ann. Polon. Math. 108, 61-73.
[24] S. D. Quang (2016), Second main theorems with weighted counting func- tions and algebraic dependence of meromorphic mappings, Proc. Amer.
Soc. Math. 144, 4329-4340.
[25] S. D. Quang (2016), Second main theorems for meromorphic mappings in- tersecting moving hyperplanes with truncated counting functions and unicity problem, Abh. Math. Semin. Univ. Hambg. 86, 1-18.
[26] S. D. Quang (2019), Second main theorems for meromorphic mappings and moving hyperplanes with truncated counting functions, Proc. Amer. Math.
Soc. 147, no. 4, 1657-1669.
[27] S. D. Quang and D. P. An (2013), Unicity of meromorphic mappings sharing few moving hyperplanes, Vietnam Math. J. 41, 383-398.
[28] S. D. Quang and L. N. Quynh (2014), Two meromorphic functions sharing some pairs of small functions regardless of multiplicities, Internat. J. Math.
25, 1450014 (16 pages).
[29] L. N. Quynh (2017), Algebraic dependences and uniqueness problem of mero- morphic mappings sharing moving hyperplanes without counting multiplic- ities, Asian-European J. Math. Vol. 10, No. 1, 1750040 (15 pages).
[30] M. Ru (2001), A uniqueness theorem with moving targets without counting multiplicity, Proc. Amer. Math. Soc. 129, 2701-2707.
[31] M. Ru (1997), The second theorem with moving targets on parabolic mani- folds, Indiana Univ. Math. J. 46, 299-318.
[32] M. Ru and W. Stoll (1991), The second main theorem for moving targets, Journal of Geom. Anal. 1, No. 2, 99-138.
[33] M. Ru and J. T-Y. Wang (2004), Truncated second main theorem with mov- ing targets, Trans. Amer. Math. Soc. 356, 557-571.
[34] B. Shiffman (1983), Introduction to the Carlson - Griffiths equidistribution theory, Lecture Notes in Math. 981, 44-89.
[35] M. Shirosaki (1991), Another proof of the defect relation for moving target, Tohoku Math. J., 43, 355-360.
[36] M. Shirosaki (1990), On defect relations of moving hyperplanes, Nagoya Math. J., 120, 103-112.
[37] W. Stoll (1981), The Ahlfors-Weyl theory of meromorphic maps on parabolic manifolds, Lecture Notes in Math. 981, 101-219.
[38] W. Stoll (1977), Value distribution on parabolic spaces, Lecture Notes in Math., 600, Springer-Verlag, New York.
[39] W. Stoll (1989), On the propagation of dependences, Pacific J. Math., 139, 311-337.
[40] D. D. Thai and S. D. Quang (2005), Uniqueness problem with truncated mul- tiplicities of meromorphic mappings in several complex variables for moving targets, Internat. J. Math. 16, 903-939.
[41] D. D. Thai and S. D. Quang (2008), Second main theorem with truncated counting function in several complex variables for moving targets, Forum Math. 20, 163-179.
[42] P. D. Thoan and P. V. Duc (2010), Algebraic dependences of meromorphic mappings in several complex variables, Ukrain. Math. J. 62, 923-936.
[43] P. D. Thoan, P. V. Duc and S. D. Quang (2013), Algebraic dependence and unicity theorem with a truncation level to 1 of meromorphic mappings sharing moving targets, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie, 56 (104) No. 4, 513-526.
[44] P. M. Wong, W. Stoll (1994), Second main theorem of Nevanlinna theory for nonequidimensional meromorphic maps, Amer. J. Math. 116, 1031- 1071.
[45] K. Yamanoi (2004), The second main theorem for small functions and re- lated problems, Acta Math. 192, 225-294.
[46] Q. Yan (2015), Second main theorem and uniqueness theorem with moving targets on parabolic manifolds, J. Math. Anal. Appl. 422, 456-477.
[47] J. Zhang and L. Yang (2015), Meromorphic functions sharing pairs of small functions, Math. Slovaca 65, 93-102.